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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题09


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题九

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题九
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.如果 f ( x) ? 1 ? log x 2 ? log x2 9 ? log

x3 64 ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围为____________ 2.已知集合 A ? {x | cos 2 x ? 2(1 ? 2)sin x ? (2 2 ? 1) ? 0, x ? R} , B ? {x | sin x ? cos x, x ? R} , 则A
B ? ____________

3.以 1, 1, 1,

2,

2,

2 为六条棱长的四面体个数为____________

4.从1至 169 的自然数中任意取出 3 个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有_______种. 5.若在复平面上三个点 A (0), B ( z0 ? z ), C ( z0 ? z ) 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,
1 2 i ,则 ?ABC 的面积为____________ 其中 z0 ? ? ? 3 3
2 2 6.设 {an } 为 a1 ? 4 的单调递增数列,且满足 an ?1 ? an ? 16 ? 8(an ?1 ? an ) ? 2an ?1an ,则 an ? _________

7.设 a、 b、 c 为方程 x3 ? k1 x ? k2 ? 0 的根( k1 ? k2 ? 1 ) ,则 8.设 xk , yk (k ? 1, 2, 3) 均为非负实数,则

1? a 1? b 1? c ? ? ? ____________ 1? a 1? b 1? c
2 2 2 2 2 ? x3 ? y3 ? x2 ? y2 ? x12

? 2014 ? y1 ? y2 ? y3 ?

? y12 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 的最小值为____________
9.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ;又当 0 ? x ? 1时, f ( x) ?

1 x, 2

1 则 {x | f ( x) ? ? } ? ____________ 2
10.设 N ? 24028 ,则不超过 ?
n ?1 N

1 n

的最大整数为____________

1

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题九

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二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分.

1 1 11 1 1 11.已知抛物线 y ? ?2 x 2 ? x ? 和点 A( , ) ;过点 F ( , ? ) 任作直线,交抛物线于 B 、 C 两点; 8 4 8 4 8
(1)求 ?ABC 的重心轨迹方程,并表示成 y ? f ( x) 形式; (2)若数列 { xk } , 0 ? x1 ?
n 1 3 k ,满足 xk ?1 ? f ( xk ) ,试证: ? xk . ?1 ? 2 5 k ?1

2

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题九

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12.设正实数 a、 b、 c 及非负实数 x、y 满足条件: a6 ? b6 ? c6 ? 3, ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ; 求: I ?
1 1 1 ? 3 ? 3 的最小值,并论证之. 3 2 3 2 2a x ? b y 2b x ? c y 2c x ? a 3 y 2
3

13.如图,在锐角 ?ABC 中,已知 AB ? AC ,且点 D、E 在边 BC 上,满足 BD ? CE ;若在 ?ABC 内 存在点 P 满足: PD // AE ,且 ?PAB ? ?EAC ;求证: ?PBA ? ?PCA .
A

P B C

D

E

3

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14.设 M ? {1, 2, ??? , 65} , A ? M 为子集;若 | A |? 33 ,且存在 x, y ? A , x ? y , x y ,则称 A 为 “好集” ;求最大的 a ? M ,使含 a 的任意 33 元子集为好集. (注: x y 表示 x 能整除 y )

4

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题九答案
一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.解:显然 x ? 0 , x ? 1 ; f ( x) ? 1 ? log x 2 ? log x2 9 ? log x3 64 ? 1 ? log x 2 ? log x 3 ? log x 4 ? log x

3 x. 8

3 8 3 要使 f ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, x ? 1 ,即 1 ? x ? ;当 0 ? x ? 1时, x ? 1 ,此时无解; 8 8 3
由此可得,使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围为: 1 ? x ?

8 . 3

2.解: cos 2 x ? 2(1 ? 2)sin x ? (2 2 ? 1) ? 0 ? sin 2 x ? (1 ? 2)sin x ? 2 ? 0

? (sin x ? 2)(sin x ? 1) ? 0 ;没有实数 x 可以使上述不等式成立,故 A ? ? ;
从而有: A
B??.

3.解:以这些边为三角形仅有四种: (1, 1, 1) , (1, 1,

2) , (1,

2,

2) , ( 2,

2,

2) ;

固定四面体的一面作为底面:当底面的三边为 (1, 1, 1) 时,另外三边的取法只有一种情况, 即 ( 2,

2,

当底面的三边为 (1, 1, 2) ;

另外三边的取法有两种情形, 即 (1, 2) 时,

2,

2) ,

( 2, 1,

2) ;其余情形得到的四面体均在上述情形中;由此可知,四面体个数有 3 个.

4.解:若取出的 3 个数构成递增等比数列 a, aq, aq 2 ,则有 1 ? a ? aq ? aq 2 ? 169 ; 由此有 2 ? q ? 13 ;当 q 固定时,使三个数 a, aq, aq 2 为整数的 a 的个数记作 N (q) ; 由 aq 2 ? 169 ,知 N (q) 应是
169 ?169 ? ?169 ? 的整数部分; N (2) ? ? 2 ? ? 42 , N (3) ? ? 2 ? ? 18 , q2 ?3 ? ?2 ?

N (4) ? 10 , N (5) ? 6 , N (6) ? 4 , N (7) ? 3 , N (8) ? 2 , N (9) ? 2 ,
N (10) ? N (11) ? N (12) ? N (13) ? 1 ;∴取法共有 N (1) ? N (2) ? ??? ? N (13) ? 91 .

5.解:依题意,

z0 ? z ?1 ? i ?i ?z? z0 ? iz0 , z0 z0 ? z 1? i

2

?

1 ; 3

∴ ?ABC 的面积为:

1 1 1 1 2 AB AC ? z0 ? z z0 ? z ? (1 ? i)(1 ? i) z0 ? . 2 2 2 3

2 2 2 6.解: an ?1 ? an ? 16 ? 8(an ?1 ? an ) ? 2an ?1an ? (an ?1 ? an ) ? 8(an ?1 ? an ) ? 16 ? 4an ?1an

? (an ?1 ? an ? 4)2 ? 4an ?1an ? an ?1 ? an ? 4 ? 2 an ?1an (由题意可知取正号)

? ( an ?1 ? an ) 2 ? 4 ? an ?1 ? an ? 2

5

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题九

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∴ { an } 公差为 2 的等差数列,即 an ? 2n ;从而可得 an ? 4n 2 . 7.解:由题意, x3 ? k1 x ? k2 ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ;由此可得:
a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? ?k1 , abc ? k 2 ,以及: 1 ? k1 ? k2 ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ;



1 ? a 1 ? b 1 ? c 3 ? (a ? b ? c) ? (ab ? bc ? ca ) ? 3abc 3 ? k1 ? 3k2 ? ? ? ? . 1? a 1? b 1? c (1 ? a )(1 ? b)(1 ? c) 1 ? k1 ? k2

8.解:在直角坐标系中,作点 O(0, 0) , A(0, 2014) , P 1 ( x1 ? x2 ? x3 , y1 ) , P 2 ( x2 ? x3 , y1 ? y2 ) ,
P3 ( x3 , y1 ? y2 ? y3 ) ;则有:

? 2014 ? y1 ? y2 ? y3 ?

2

2 2 2 2 ? x3 ? y3 ? x2 ? y2 ? x12 ? y12 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2

?| AP3 | ? | P | 3 P2 | ? | P 2 P1 | ? | PO 1

(应用三角形不等式)

?| AP2 | ? | P2 P1 | ? | PO |?| AP1 | ? | PO |?| AO |? 2014 ; 1 1
当 A? P 1 ? P 2 ? P 3 即 x1 ? x2 ? x3 ? 0, y1 ? 2014, y2 ? y3 ? 0 时,原式取到最小值 2014. 9.解:依题意, f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) ,即 f ( x) 是以4为周期的周期函数; ∵当 0 ? x ? 1时, f ( x) ?

1 1 x ,且 f ( x) 为奇函数,∴当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? x ; 2 2

? 1 x, ?1 ? x ? 1 ? 1 ? 此时有: f ( x) ? ? 2 ;可得 f (?1) ? f (3) ? ? ; 1 2 ?? x ? 1, 1 ? x ? 3 ? ? 2
1 又∵ f ( x) 是以 4 为周期的周期函数,∴也有 f (4k ? 1) ? ? , k ? Z ; 2

1 ∴ {x | f ( x) ? ? } ? {x | x ? 4k ? 1, k ? Z} . 2
10.解:∵
N

2 n ?1 ? n

?

1 n
N

?
1 n

2 n ? n ?1
N

;∴ 2( n ? 1 ? n ) ?

1 n

? 2( n ? n ? 1) ;

∴ 2? ( n ? 1 ? n ) ? ?
n ?1 n ?1

? 1 ? 2? ( n ? n ?1) ;
n?2 N

∴ 2( N ?1) ? 2( N ? 1 ?1) ? ?
n ?1 N

1 n 1 n

? 1 ? 2( N ?1) ; ? 2 ? 22014 ?1 ;∴不超过 ?
n ?1 N

∴ 2(22014 ?1) ? 2( N ? 1 ?1) ? ?
n ?1

1 n

的最大整数为 2 2015 ? 2 .

二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分.

1 1 1 1 11.解: (1)设过 F ( , ? ) 的直线方程为: y ? ? k ( x ? ) ;又设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) , 4 8 8 4

6

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题九

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1 1 ? y ? ? k(x ? ) ? ? 8 4 ,消去 ,得: 2 x 2 ? (k ? 1) x ? k ? 0 ; 联立方程组, ? y 4 ? y ? ?2 x 2 ? x ? 1 ? 8 ?
从而有, x1 ? x2 ? ?

k ?1 1 1 k2 1 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? ) ? ? ? ? . 2 2 4 2 4

3 ? 2k x1 ? x2 ? 1 ? ? 4 x? x ? ? ? ? ? 12 3 ?? 设 ?ABC 的重心坐标为 ( x, y ) ,则 ? ; 2 11 y ? y ? 1 2 8 ?y ? ?y ? ? k ? 3 ? ? 3 ? 6 8 ?
消去 k ,即得 ?ABC 的重心轨迹方程: y ? ?6 x 2 ? 3x . (2)∵ 0 ? x1 ?

1 , x2 ? f ( x1 ) ? ?6 x12 ? 3x1 ? 3x1 (1 ? 2 x1 ) , 2

1 3 2 x ? (1 ? 2 x1 ) 2 3 ∴ 0 ? x2 ? 3x1 (1 ? 2x1 ) ? ( 1 ) ? ,当且仅当 x1 ? ,等号成立; 4 2 2 8

3 3 2 x ? (1 ? 2 xk ) 2 3 假设 0 ? xk ? ,则 0 ? xk ?1 ? 3xk (1 ? 2 xk ) ? ( k ) ? , 8 2 2 8
上式右边等号成立当且仅当 xk ?

1 3 ;由此得到: 0 ? xk ? ( k ? 2, 3, ??? ) ; 4 8

n n 3 kk 3 3 3 k 从而有: 0 ? ? xk ? [1 ? ( )n ] ? . ?1 ? ? ( ) 8 5 8 5 k ?1 k ?1

12.解:根据柯西不等式: ?

ak2 ? k ?1 bk
n

( ? ak ) 2
k ?1 n

n

?b
k ?1



k

有I ?
?

1 1 1 9 ? ? ? 3 2a 3 x ? b3 y 2 2b3 x ? c 3 y 2 2c 3 x ? a 3 y 2 2a x ? b3 y 2 ? 2b3 x ? c 3 y 2 ? 2c 3 x ? a 3 y 2 9 (注意到: (a3 ? b3 ? c3 )2 ? 3(a6 ? b6 ? c6 ) ? 9 ) 2 x(a 3 ? b3 ? c3 ) ? y 2 (a 3 ? b3 ? c 3 ) 3 3 3 ? ? ? 3; 2x ? y2 2 x ? 2 ? ( x ? 1) 2 1 ? x2
A

?

上式取等号当且仅当: a ? b ? c ? 1, x ? 0, y ? 1 . 13.证明:平移 AB ,得到 PG 和 CF ,构成□ABFC 和□ABGP; 则 AC ? BF , ?ACE ? ?FBD ; 又∵ BD ? CE ,∴ ?AEC ≌ ?FDB ??BDF ? ?AEC ; ∴ FD // AE ;而 PD // AE ,∴ P、D、F 三点共线;
G B P

D

E

C

7
F

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题九

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∴ ?BFP ? ?BFD ? ?EAC ? ?BAP ? ?BGP ; ∴ B、G、F、P 四点共圆;由于 AP //BG , AC //BF , ∴ ?APC ≌ ?BGF ;∴ ?ABP ? ?BPG ? ?EAC ? ?BFG ? ?ACP . 14.解:令 P ? {21 ? i i ? 1, 2, ??? , 44} ? {2(21 ? i) i ? 1, 2, ??? , 11} , 则 | P |? 33 (即集合 P 中有 33 个元素) ; 显然对任意 1 ? i ? j ? 44 ,不存在 n ? 3 ,使得 21 ? j ? n(21 ? i ) 成立,故 P 是非好集. 因此: a ? 21 .下证:包含 21 的任意一个 33 元子集A一定为好集. 设 A ? {a1 , a2 , ??? , a32 , 21} ; 若 1,3,7,42,63 中之一为集合 A 的元素,显然为好集; 现考虑 1,3,7,42,63 都不属于集合 A ;构造集合:

A1 ? ?2, 4, 8, 16, 32, 64? , A2 ? ?5, 10, 20, 40? , A3 ? ?6, 12, 24, 48? , A4 ? ?9, 18, 36? , A5 ? ?11, 22, 44? , A6 ? ?13, 26, 52? , A7 ? ?14, 28, 56? , A8 ? ?15, 30, 60? , A9 ? ?17, 34? , A10 ? ?19, 38? ,A11 ? ?23, 46? ,A12 ? ?25, 50? ,A13 ? ?27, 54? ,A14 ? ?29, 58? ,A15 ? ?31, 62? , A? ? ?33, 35, 37, ??? , 61, 65? ;
由上可见, A1 , A2 , ??? , A15 每个集合中两个元素都是倍数关系; 考虑最不利的情况,即 A? ? A ,也即 A' 中 16 个元素全部选作 A 的元素, A 中剩下 16 个元素必须从 A1 , A2 , ??? , A15 这 15 个集合中选取 16 个元素.根据抽屉原理,至少有一个集 合有两个元素被选,即集合 A 中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述,包含 21 的任意一个 33 元子集 A 一定为好集即 a 的最大值为 21.

8


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