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江西省名校联盟2014届高三12月调研考试 数学理 Word版含答案


江西省名校联盟 2014 届高三 12 月调研考试 数学试卷(理科)
考试范围 集合与简单逻辑用语、函数与初等函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向 量、数列、不等式、立体几何、解析几何,概率(直线,直线与圆的位置关系部分,可少量 涉及圆锥曲线)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为底面积,h 为高。 3
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 M ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,集合 N ? { y | y ? ex , x ? R}(e 为自然对数的底数) 则 M∩N= A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. ?

2. 已知等比数列 {an } 中, a1a2 a3a4 a5 ? 32 ,且 a11 ? 8 ,则 a7 的值为 A. 4 B. -4 C. ±4 D. ± 2 2

3. 如图所示是一个几何体的三视图,若该几何体的体积为 的值为

1 ,则主视图中三角形的高 x 2

A.

1 2

B.

3 4

C. 1

D.

3 2

4. “ 2 ? 2 ”是“ ln a ? ln b ”的
a b

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 5. 已知函数 y ?

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1 tan 22.5? 与 x ? 1, y 轴和 x ? e 所围成的图形的面积为 M,N= , x 1 ? tan 2 22.5?

则程序框图输出的 S 为

A. 1 6. 设 x ? [ ?

B. 2

C.

1 2

D. 0

? ?

, ] ,则 f ( x) ? cos(cos x) 与 g ( x) ? sin(sin x) 的大小关系是 2 2
B. f ( x) ? g ( x) D. 与 x 的取值有关

A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x)

?y ? x ?x ? 2 y ? 4 ? 7. 已知实数 x,y 满足 ? ,则 r 的最小值为 ? y ? ?2 2 2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r (r ? 0)
A.

2

B. 1

C.

4 2 3

D.

5 2 3

8. 随着生活水平的提高,私家车已成为许多人的代步工具。某驾照培训机构仿照北京奥 运会会徽设计了科目三路考的行驶路线,即从 A 点出发沿曲线段 B→曲线段 C→曲线段 D, 最后到达 E 点。某观察者站在点 M 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况,设观察者 从点 A 开始随车子运动变化的视角为 ? ? ∠AMP (? ? 0 ) , 练车时间为 t, 则函数 ? = f (t ) 的图像大致为

9. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称 该位置关系为“平行相切” ;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离” ;否则称 为“平行相交” 。 已 知 直 线 l1 : ax ? 3 y ? 6 ? 0 , l2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 6 ? 0 , 和 圆 C : ,则 b 的取值范围为 x 2 ? y 2 ?2x ? b2 ?1(b ? 0) 的位置关系是“平行相交” A. ( 2,

3 2 ) 2

B. (0, 2)

C. (0,

3 2 ) 2

D. ( 2,

3 2 3 2 )?( , ??) 2 2
b2 ? a2 的 ab

] 时,0 ? f (a) ? 1 恒成立,则 10. 函数 f (a) ? (3m ?1) a ? b ? 2m , 当 m ? [0,1
最大值是 A. 3 B.

15 4

C. 4

D.

19 4

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。

1 的值为_________。 sin ? ? cos 2 ? ??? ? ??? ? ??? ? 12. 在平面直角坐标系中,O 是原点, OA ? (1,0), P 是平面内的动点,若 | OP ? OA | =
11. 直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ? ,则
2

??? ? ??? ? | OP ? OA | ,则 P 点的轨迹方程是___________。
13. 已知函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称,若 f ( x) ? 4 x ? 15 ,则不等式

g ( x) ? 0 的解集是_________。 x2 ?1
14. 在 区 间 [?a , a ](a? 0) 内 图 像 不 间 断 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 ,函数 且 g( 又当 0 ? x ? a 时, 有 f ?( x) ? f ( x) ? 0 , 则函数 f ( x ) 0 ) ?g (a ) 0? , g ( x) ? e x ? f ( x) , 在区间 [?a, a] 内零点的个数是________。 15. 将 2n 按如表的规律填在 5 列的数表中,设 2 列中的前 n 个数的和 Sn =___________。
2014

排在数表的第 n 行,第 m 列,则第 m

21 28 27 29 216
?

22 26 210 214
?

23 25 211 213
?

24

212

215
?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 2b cos C ? 2a ? c 。 (1)求 B; (2)若 cos C ?

2 ,求 sin A 的值。 3

17. (本小题满分 12 分) 方便、快捷、实惠的电动车是很多人的出行工具。可是,随着电动车的普及,它的安全 性也越来越受到人们关注。为了出行更安全,交通部门限制电动车的行驶速度为 24km/h。 若某款电动车正常行驶遇到紧急情况时,紧急刹车时行驶的路程 S(单位:m)和时间 t(单 位:s)的关系为: S (t ) ? ? t ? t ? 5ln(t ? 1) 。
2

3 8

(1)求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间; (2)求该款车正常行驶的速度是否在限行范围内? 18. (本小题满分 12 分) 正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? ( (1)求数列 {an } 的通项公式 an ;

an ? 1 2 ) 。 8

(2)求证:

2 2 2 2 ? ? ??? ? 4n ? 2 ? 2 。 a1 a2 a3 an

19. (本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,平面 A 1 AC ⊥平面 ABC,BC⊥AC,D 为 AC 的中点, AC=BC=AA1=A1C=2。 (1)求证:AC1⊥平面 A1BC; (2)求平面 AA1B 与平面 A1BC 的夹角的余弦值。

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

3 。它有一个顶点恰好是抛物线 2

x 2 =4y 的焦点。过该椭圆上任一点 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | 。
(1)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (2)设椭圆的左右顶点分别为 A,B,直线 AC(C 点不同于 A,B)与直线 x ? 2 交于 点 R,D 为线段 RB 的中点。试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论。 21. (本小题满分 14 分)

f ( x) ? x ? a( x ? 1) ln( x ? 1) 。
(1)求 f ( x ) 的极值点; (2)当 a ? 1 时,若方程 f ( x) ? t 在 [ ?

1 ,1] 上有两个实数解,求实数 t 的取值范围; 2

(3)证明:当 m ? n ? 0 时, (1 ? m)n ? (1 ? n)m 。

【试题答案】
1. C 2. A

M ? {x | x ? 1} , N ? { y | y ? 0} ,故 M ? N = {x | 0 ? x ? 1} 。
由等比数列的性质,得 a1a2a3a4a5 ? a3 ? 32 ,故 a3 ? 2 ,又 a11 ? 8 ,∴ a7 ? a3 ?a11 ,
5 2

解得 a7 ? 4 (负值舍去,因为 a3 , a5 , a7 同号)。 3. C 由题意可知,该几何体为一个四棱锥,底面面积为

3 ,高为x,体积为 2

V ? ? ?x ?
4. B

1 3 3 2

1 ,解得 x ? 1 ,故选C。 2

a b a b 当 ln a ? ln b 时, a ? b ? 0 ,则 2 ? 2 ;当 2 ? 2 时, a ? b ,此时无法得出

ln a ? ln b 。
5. C

M ?

?

e

1

1 1 1 e dx ? ln x 1 ? 1 , N ? ? tan 45o ? ? 1 ,所以 M ? N ,又框图的功 x 2 2
1 。 2

能是求 M , N 中的较小值,故输出的值为

6. B

? ? ? ? f ( x) ? cos(cos x) ? sin( ? cos x) ,又 ( ? cos x) ? sin x ? ? 2 sin( x ? ) 2 2 2 4
? ?
, ] 时, ( ? cos x) ? ,故 ?1 ? sin x ? ( ? cos x) ? ,而函数 2 2 2 2 2 2

? 0 ,当 x ? [ ?

?

?

?

?

? ? y ? sin x 在 [ ?1, ] 为增函数,故 sin(sin x) ? sin( ? cos x) ? cos(cos x) 。 2 2
7. A

? y ? x, ? 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 不 等 式 组 ? x ? 2 y ? 4 ,表示的平 面 区 域 D , 由 于 ? y ? ?2 ?

圆 ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? r 2 经 过 平 面 区 域 D , 因 此 其 半 径 r 的 最 小 值 为 圆 心 ( - 1 , 1) 到 直 线 y=x 的 距 离 , 即 r m i n ? 8. D

2。

观察图象,可知随着时间的增加,刚开始角度为 0 并且在增加,排除选项 A;在

曲线段 B 中间一段变化不大,然后角度减少到达曲线段 C,接着角度增加,故排除选项 C, 后面又略减少到达曲线段 D,之后一直增加到点 E,并且角度要大于前面几段,排除选项 B, 故选 D。 9. D 圆 C 的 标 准 方 程 为 (x+1) 2 +y 2 =b 2 , 由 两 直 线 平 行 可 得 a(a+1) - 6=0 , 解 得

a=2 或 a= - 3 , 又 当 a=2 时 , 直 线 l 1 与 l 2 重 合 , 舍 去 , 此 时 两 平 行 线 方 程 分 别 为 x - y - 2=0 和 x - y+3=0 ; 由 直 线 x - y - 2=0 与 圆 (x+1) 2 +y 2 =b 2 相 切 , 得 b ?

3 2

?

3 2 2 , 由直 线 x - y+3=0 与 圆 相 切 , 得b? 当两直线与圆都相离时, b? 2, ? 2, 2 2

? b? 2 3 2 3 2 ? 所以 “平行相交” 时, b 满足 ? 故 b 的取值范围是 ( 2, )?( , ??) 。 3 3, 2 2 ?b ? 2, b ? ? 2
10. B 设 h(m) ? (3a ? 2)m ? a ? b ,则依题意 0 ? h(0) ? 1, 0 ? h(1) ? 1 ,代入可得:

0 ? b ? a ? 1, 0 ? 2a ? b ? 2 ? 1 , 画 出 可 行 域 , 构 造 点 (a, b) 与 原 点 连 线 的 斜 率 可 得
1? b 1 ?a2 ? b2 a b 1 ? t ? 4; 而 易知函数 u(t ) ? ? ? t 为区间 [1, 4] 上的增函数, ?? ? ?? ?t, t ab b a t a
15 。 4
由题意可知, tan ? ? 2 ,则

故 u(t ) ?

11.

5 3

1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5 ? ? ? 。 sin 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 3

12. y2=2x- 1

设 P ( x , y ) ,则 OP ? ( x, y) ,又因为| OP ? OA |=| OP ? OA |,所以

(x-1)2+y2=x2,整理得 y2=2x- 1。 13. ( ??, ?1) ? [ ,1) 式

1 4

若 f(x)=4x- 15,则 g(x)=f(4- x)=4(4- x) - 15=1- 4x,故不等

g ( x) 1? 4x ? 0 等价于 2 ? 0 ,即 ( x ?1)( x ? 1)(4 x ?1) ? 0( x ? 1且x ? ?1) ,解得 x<-1, 2 x ?1 x ?1 1 ? x ? 1。 4
x ∵ f( - x) - f(x)= 0 , ∴ f(x) 为 偶 函 数 , ∵ g(x)=e x f(x) , ∴ g?( x) ? e [ f? ( x) ?



14. 2

f ( x)] ? 0 ,∴ g(x) 在 [0 , a] 上 为 单 调 增 函 数 , 又 ∵ g(0) ? g(a)<0 , ∴ 函 数 g(x)=e x f(x)
在 [0 , a] 上 只 有 一 个 零 点 ,又 ∵ e x ≠ 0 ,∴ f(x) 在 [0 , a] 上 有 且 仅 有 一 个 零 点 ,∵ f(x) 是 偶 函 数 , 且 f(0) ≠0 , ∴ f(x) 在 [ - a , a] 上 有 且 仅 有 两 个 零 点 。 15.

2 2018 ? 4 15

由于 2014=4×503+2, 故2
4 504 22 ? ?1 ? (2 ) ? ?

2014

位于表格的第 504 行第 3 列, 所以 n=504,

m=3。所以 Sn ?

1 ? 24

?

22018 ? 4 。 15
a 2 ? b2 ? c2 ? 2a ? c , (2 分) 2ab

16. 解 : ( 1 ) 由 余 弦 定 理 知 得 2b ? ∴ b ? a ? c ? ac , ? ? 4 分
2 2 2

∴ cos B ?

? 1 ,又 0 ? B ? ? ,∴ B ? 。 (6 分) 3 2

( 2 ) ∵ c o sC ?

2 5 , 0 ? C ? ? ,∴ sin C ? , (8 分) 3 3 2? ? C ) ( 10 分 ) 3

∴ sin A ? sin(? ? B ? C ) ? sin(

? sin

2? 2? 2 3? 5 。 ( 12 分 ) cos C ? cos sin C ? 3 3 6

17. 解: (1)? 紧急刹车后电动车的速度 v(t ) ? S ' (t )

3 5 v(t ) ? ? t ? 1 ? , (2 分) 4 t ?1 3 5 当电动车完全停止时 v(t ) ? 0 m ,令 v(t ) ? ? t ? 1 ? =0,

s

4

t ?1

2 得 3t ? t ? 24 ? 0 ,解得 t ? 3 或 t ? ?

8 (舍去), 3

即从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s。 (6 分) (2)由(1)知,从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s, 又由车的速度 v(t ) ? ?

3 5 t ?1? , (4 分) 4 t ?1

∴车子正常行驶的速度为:当 t ? 0 时, v(0) ? 6 m 故在限速范围内。 (12 分) 18. 解:(1)由 S n ?

s

? 21.6km / h ? 24 km / h ,

(an ? 2)2 知 8

当 n ? 1 时, 8a1 ? a12 ? 4a1 ? 4 ,解得 a1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ?

(an ? 2)2 (an ?1 ? 2)2 , (3 分) ? 8 8

整理得 (an ? an ?1 ? 4)(an ? an ?1 ) ? 0 ,又 {an }为正项数列, 故 an ? an ?1 ? 4 ( n ? 2 ),因此数列 {an }是首项为 2,公差为 4 的等差数列,

an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 。(6 分)
(2)由于

2 2 4 ? ? an 4n ? 2 2 4n ? 2

?

4 4 ? 4 n ? 2 ? 4n ? 2 4 n ? 2 ? 4n ? 2

= 4n ? 2 ? 4n ? 2 (8 分)

因此

2 2 2 2 ? ? ??? a1 a2 a3 an

? [( 6 ? 2) ? ( 10 ? 6) ? ?? ( 4n ? 2 ? 4n ? 2)
= 4n ? 2 ? 2 。 (12 分) 19. 解法一: (1)由于平面 A1 AC ? 平面 ABC , BC ? AC 所以 BC ? 面 A1 AC ,所以 BC ? AC1 。(2 分) 而 A1 ACC1 是菱形,因此 AC ? AC1 , 1 所以 AC1 ? 平面 A1 BC 。 (4 分) (2)设 AC1 ? A1C ? O ,作 OE ? A1 B 于 E ,连接 AE , 由(1)知 AC1 ? 平面 A1 BC ,即 AO ? 平面 A1 BC ,所以 AO ? A1 B 又 OE ? A1 B 于 E ,因此 A1 B ? AE , 所以 ?AEO 为二面角的平面角 ? , (8 分)
? OE ? 在 Rt ?A1 EO 中, A1O ? 1, ?OA 1E ? 45 ,故直角边

2 , 2 14 , 2

又因为 Rt ?AEO 中斜边 AO ? 3, 因此 Rt ?AEO 中斜边 AE ? 所以 cos ? ? 解法二: 如图,取 AB 的中点 E ,则 DE / / BC ,

OE 7 7 ? ,所以所求两平面夹角的余弦值为 。 (12 分) 7 AE 7

因为 BC ? AC ,所以 DE ? AC ,又 A1 D ? 平面 ABC , (2 分) 以 DE, DC, DA1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则 A? 0, ?1,0? , C ? 0,1,0? , B ? 2,1,0? ,
A1 0, 0, 3 , C1 0, 2, 3 ,

?

?

?

?

???? ? ???? ???? ? ??? ? (1) AC1 ? 0,3, 3 , BA1 ? ?2, ?1, 3 , CB ? ? 2,0,0? , A1C ? 0,1, ? 3

?

?

?

?

?

?

由 AC1 ? CB ? 0,

知 AC1 ? CB , (5 分)

? AC1 ,从而 AC1 ? 平面 A1 BC ; 又 AC (6 分) 1
? ? ???? (2)由(1)知平面 A1 BC 的一个法向量为 n ? AC1 ? 0,3, 3 ,

?

?

???? ?? ??? ? 再设平面 A1 BA 的法向量为 m ? ? x, y, z ? , AB ? ? 2,2,0? , AA1 ? 0,1, 3 ,

?

?

?? ??? ? ?? ? m ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ? 所以 ??? ???? ,设 z ? 1 ,则 m ? ? ?m ? AA1 ? y ? 3z ? 0
故 cos? m,n? ?

?

3, ? 3,1 ,

?

m?n m?n

?

?2 3 7 ?2 3

??

7 . 7

因此所求两平面夹角的余弦值为

7 。(12 分) 7

20. 解: (1) 设椭圆 C 的方程为

x2 y2 c 3 则由题意知 b = 1, , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , e? ? 2 a b a 2 x2 (2 分) ? y 2 ? 1。 4

∴ c ? 3 , a ? 2 ,所以椭圆的方程为

? x0 ? x ? x ? x0 ? 设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , y0 ? y ? y ? 2 y0 ? 2 ?
2 x0 x2 1 2 2 又 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y) ? 1 ,即 x2 ? y2 ? 4 。 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 。 (6 分) (2)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC ∥ AR , 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) ,∴ t ? ∴点 R 的坐标为 (2,

??? ?

??? ?

4n , m?2

4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n (9 分) m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , 2 2 m?2 m ?4 m ?4

2 2 2 2 而 m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ?n ,∴ k ?

mn m ?? , 2 ?n n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ?

4 m ?n
2 2

?

4 ?2?r, 4

所以直线 CD 与圆 O 相切。 (13 分) 21. 解: (1) f / ( x) ? 1 ? a ln( x ? 1) ? a (1 分) ① a ? 0 时, f / ( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在(-1,+∞)上是增函数,函数既无极大值点,也无极小值点。 ②当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (?1, e 点为 x ? e
1? a a

(2 分)

1? a a

? 1] 上递增,在 [e

1? a a

? 1, ??) 单调递减,函数的极大值

-1,无极小值点(3 分)
1? a a

③当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (?1, e 点为 x ? e
1? a a

? 1] 上递减,在 [e

1? a a

? 1, ??) 单调递增,函数的极小值

-1,无极大值点(4 分)

(2)由(1)知, f ( x ) 在 [ ?

1 , 0] 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减, 2

又 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ? ln 4, f (? ) ? ? ∴ f (1) ? f ( ? ) ? 0 ,∴当 t ? ??
n m

1 2

1 1 ? ln 2 , 2 2

1 2

? 1 1 ? ? ln 2,0 ? 时,方程 f ( x) ? t 有两解 (8 分) ? 2 2 ?

(3)要证: (1 ? m) ? (1 ? n) 只须证 n ln(1 ? m) ? m ln(1 ? n), 只须证: 设 g ( x) ?

ln(1 ? m) ln(1 ? n) ? , m n ln(1 ? x) , ( x ? 0) x

x ? ln(1 ? x) x ? (1 ? x) ln(1 ? x) , 则 ? (10 分) 1 ? x g ( x) ? ? 2 2 x x (1 ? x)
由(1)知 x ? (1 ? x) ln(1 ? x) 在 (0, ??) 单调递减, (12 分) ∴ x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 0 ,即 g ( x) 是减函数,而 m>n, ∴ g (m) ? g (n) ,故原不等式成立。 (14 分)


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