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2015-2016学年高中数学北师大版必修3配套课件:3-2.3 《第1课时 互斥事件》


2.3 互斥事件
第1课时 互斥事件

1.了解事件“A+B”的含义,并能将一些复杂的事件表示
为互斥事件的和,以便于利用概率加法公式求其概率; 2.正确理解互斥事件和对立事件的概念; 3.掌握互斥事件的概率加法公式以及对立事件的概率之间 的关系.

古典概型两个特征: 1、试验的所有结果只有有限个且每次只有一个结果

, 2、每一个试验结果出现的可能性相同. 古典概型 概率公式 概率模型 一般来说,在建立概率模型时,我们把什么看作是一 个基本事件是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验, 可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型.

m(事件A包含的可能结果数) P ( A) ? n(试验的所有可能结果数)

一袋中装有2个红球,3个黄球,5个白球,各球除了颜色外 其他都相同,从中任意摸出一球,设A=“摸出红球”,B=“摸出 黄球”,C=“摸出白球”, D=“摸出的球不是白球”.回答下 列问题:

(1)求这些事件发生的概率 P(A),P(B),P(C),P(D);
(2) 摸出红球或黄球的概率是多少? (3)C与D能同时发生吗? A与B呢?

互斥事件
在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两 个事件A与B称作互斥事件.

如:

从字面上如何 理解“互斥事 件”

互:相互;斥:排斥

相互排斥,即不能同时出现
互斥事件:一次试验下不能同时发生 的两个或多个事件. 若A,B互斥,则A,B不能同时发生. 你还能举出一些生活 抛硬币,“正面朝上”和“反面朝上” 中的其他例子吗? 抽奖时,“中奖”和“不中奖”.

抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与事件B是互斥事件吗? (1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3” (2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4” (3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3” (4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3” 解:互斥事件: (1)(2)(3) 但(4)不是互斥事件,当点为5时, 事件A和事件B同时发生 从集合意义理解,

A
A、B互斥

B

A
A、B不互斥

B

A与B交集为空集

A与B交集不为空集

(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3” (2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”

(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”
(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3” 在(1)中,A表示事件“点数为2”,B表示事件“点数为3”, 我们把事件“点数为2或3”记作 A+B

事件A+B发生的意义:事件A和事件B中至少有一个发生
当A与B互斥时,A+B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B

发生”;

例题中(2)(3)和(4)中的事件A和B,A+B各表示什么事件?

(2)A+B表示“点数为奇数或4”
(3)A+B表示“点数不超过3或点数超过3”,即事件全体 (4)A+B表示“点数为5或点数超过3”即事件B

(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3” (2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”

(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”
对例中(1),(2),(3)中每一对事件,完成下表
(1) P(A) P(B) (2) (3)

同时根据你的结 果,你发现P(A+B) 与P(A)+P(B)有什 么样的大小关系?

1/6 1/6 2/6 2/6

3/6 1/6 4/6 4/6

3/6 3/6 1 1

P(A)+P(B)
P(A+B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

例3 在例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,下面的事件 A和B是否是互斥事件? (1)事件A=“总质量为20kg”,事件B=“总质量为30kg”;

(2)事件A=“总质量为7.5kg”,事件B=“总质量超过10kg”;
(3)事件A=“总质量不超过10kg”,事件B=“总质量超过 10kg”; (4)事件A=“总质量为20kg”,事件B=“总质量超过10kg”.

解:在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不可能同时发生,因此

,事件A与事件B是互斥事件.
对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取 1个质量盘,当总质量为20kg时,事件A与事件B同时发生, 因此,事件A与事件B不是互斥事件.

例如:在例3(1)中,事件A=“总质量为20kg”,
B 表示事件“总质量为30kg”, 我们把事件“总质量为20kg或30kg”记作A+B. 给定事件A,B,我们规定A+B为一个事件,事件A+B发生 是指事件A和B至少有一个发生.

用集合解释 (1)与集合类比,事件A+B可用右图表示. (2)事件A+B与事件B+A是同一事件.即 A+B=B+A. (3)A+B有三层意思:

A

B

事件A发生,事件B不发生;
事件A不发生,事件B发生; 事件A发生,事件B同时发生.

(1)对于例3的(2)和(3)中的事件A和事件B,A+B表示什么事 件? (2)对例3的(1),(2)和(3)中的每一对事件,通过计算完成表 3-10:

表3-10 (1) (2)

(3)

P(A) P(B) P(A)+P(B) P(A+B)
根据表3-10中的结果,你发现P(A+B)与P(A)+P(B)有什么样 的大小关系?

第二个质量 总质量 第一个质量

2.5

5

10

20

2.5
5 10

5
7.5 12.5

7.5
10 15

12.5
15 20

22.5
25 30

20

22.5

25

30

40

表3-10 (1) (2) P(A) P(B) P(A)+P(B) P(A+B)
1/16 1/8 3/16 3/16 1/8 3/4 7/8 7/8

(3)
1/4 3/4 1 1

(4)
1/16 3/4 13/16 3/4

在一个随机实验中,如果随机事件A和B是互斥事件, 那么有

P(A+B)=P(A)+P(B).
说明: (1)上面的公式叫互斥事件的概率加法公式; (2)加法公式的前提条件是:事件A与B互斥.

如果没有这一条件,加法公式将不能应用.

例4

从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到

的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C=“抽到 的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05. 求下列事件的概率: (1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”; (2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”. 解 (1)事件D即事件A+C, 因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三 等品”是互斥事件,

由互斥事件的概率加法公式得,
P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.

(2)事件E即事件B+C,因为事件B=“抽到的是二等品”和事件 C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公

式,
P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.

事件D+E表示的是什么?它的概率P(D+E)等于

P(D)+P(E)吗?
容易看出,事件D+E表示“抽到的是一等品或二等品或三 等品”.事件D和事件E不是互斥事件,因此不满足互斥事 件的概率加法公式. 事实上,P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C)=0.85,而P(D)+P(E)= [P(A)+P(C)]+[P(B)+P(C)]=0.9, “抽到的是三等品”的 概率P(C)在P(D)和P(E)中各算了一次,因此,事件D+E的概 率P(D+E)不等于P(D)+P(E).

例5

某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整,为此

政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查,他们被要
求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选 一项.调查结果如表3-11所示:
男 赞成 反对 不发表看法 总计 18 12 20 50
表3-11

女 9 25 16 50

总计 27 37 36 100

随机选取一个被调查者,他对这次调整表示反对或不发表 看法的概率是多少?

解:用A表示事件“对这次调整表示反对”,B表示 事件“对这次调整不发表看法”,则A和B是互斥

事件,并且A+B就表示事件“对这次调整表示反
对或不发表看法”,由互斥事件的概率加法公式, 37 36 73 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? ? ? 0.73. 100 100 100 因此,随机选取的一个被调查者对这次调整表示反 对或不发表看法的概率是0.73.

一次实验中,必有一个发生的互斥事件,称为 对立事件.

(1)对立事件也称逆事件,A的对立事件记作A.
(2)其含义是:在一次实验中,事件A与A只发生其中之 一,并且必然发生其中之一. (3)对立事件是针对两个事件来说的,一般地,两个 事件对立,则两个事件必互斥.反之,两个事件互斥, 则未必是对立事件.

(4)对立事件的概率公式:
P(A)=1–P(A)

例6 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个 小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组, 具体情况如图所示.随机选取1个成员: (1)他至少参加2个小组的概率是多少?

(2)他参加不超过2个小组的概率是多少?

英语 音乐 7 6 8 8 10 11 数学 10

解:(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组总人
数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个 ” 则 A 就表示“选取的成员至少参加2个小 组”,于是,
6 ? 8 ? 10 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? ? 0.6. 60 因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.

(2)用B表示事件“选取的成员参加3个小组”,则B就表示 “选取的成员参加不超过2个小组”,于是,

8 13 P (B ) ? 1 ? P (B ) ? 1 ? = ? 0.87. 60 15
所以,随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率约等
于0.87

知识扩展
1.事件A1,A2, ? ? ? ,An中至少有一个发生表示

事件A1+A2+ ? ? ? +An发生.
2.一般地,如果随机事件A1,A2, ? ? ? ,An中任 意两个是互斥事件,那么有

P(A1+A2+ ? ? ? +An)=P(A1)+P(A2)+ ? ? ? +P(An)

练习:在例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,如果一
个人不能拉动超过22kg的质量,那么他将不能拉开拉力器, 则他不能拉开拉力器的概率是多少?

解: 总质量超过22kg,即质量为22.5kg,25kg,
30kg,40kg. 用A1表示事件“总质量为22.5kg”, 用A2表示事件“总质量为25kg”, 用A3表示事件“总质量为30kg”, 用A4表示事件“总质量为40kg”, 则A1+A2+A3+A4就表示事件“总质量超过22kg”.

第二个质量 总质量

2.5
第一个质量

5

10

20

2.5 5 10 20

5 7.5 12.5 22.5

7.5 10 15 25

12.5 15 20 30

22.5 25 30 40

而A1,A2,A3,A4中任意两个是互斥事件,由互斥事件的概率 加法公式,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,总质量超 过22kg的概率为: P(A1+A2+A3+A4 ) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4) = = 2 16 7 + 2 16 +

2
16

+

1 16

16 ?0.44. 因此,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,此人不能拉 开拉力器的概率约为0.44.

互斥事件:不同时发生的两个或多个事件. 若事件A与B互斥: P(A+B) = P(A) + P(B) 事件A1,A2,?,An彼此互斥 P(A1+A2+?An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An) 对立事件:必有一个发生的两个互斥事件(A与B对 立). P(A)=1-P(B)=1- P(A)

一个人如果胸无大志,即使再有壮丽的

举动也称不上是伟人.
-------拉罗什夫科


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