nbhkdz.com冰点文库

2013届高三数学二轮复习 专题六 第3讲 统计与统计案例教案


第3讲
自主学习导引

统计、统计案例

真题感悟 1.(2012·福建)一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人,按男女比例用分层 抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取的女运动员人数是 ________. 解析 利用分层抽样的特点,按比例抽样去分析.

x 28

依题意, 女运动员有 98-56=42(人). 设应抽取女运动员 x 人, 根据分层抽样特点, 得 = , 42 98
解得 x=12. 答案 12 2.(2012·湖北)容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表: 分组 频数 [10,20) 2 [20,30) 3 [30,40) 4 [40,50) 5 [50,60) 4 [60,70] 2

则样本数据落在区间[10,40)的频率为 A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65 解析 根据频率的定义求解.由表知[10,40)的频数为 2+3+4=9, 9 所以样本数据落在区间[10.40)的频率为 =0.45. 20 答案 B 考题分析 统计与统计案例部分的高考试题难度一般不大,考查的内容多为抽样方法,用样本估计总体、 线性回归分析、独立性检验等,这类题目作为解答题出现时,往往与概率结合命题. 网络构建

高频考点突破 考点一:抽样方法 【例 1】(2012·中山模拟)某校共有学生 2 000 名,各年级男、女学生人数如图表示,已知在 全校学生中随机抽取 1 名, 抽到高二级女生的概率是 0.19, 现用分层抽样的方法(按年级分层)
-1-

在全校学生中抽取 100 人,则应在高三级中抽取的学生人数为________. 高一级 女生 男生 385 375 高二级 高三级

x
360

y z

[审题导引] 据题意求出字母的值,按照分层抽样的规则计算. [规范解答] 据题意得 x=2 000×0.19=380, ∴高三级的学生人数为 y+z=2 000-385-375-380-360=500, 100 ∴在高三级中抽取的学生人数为 500× =25. 2 000 [答案] 25 【规律总结】 抽样方法的选取 注意分层抽样与系统抽样的计算方法,分层抽样是按比例抽样,比例的性质、方程的方法起 主要作用;系统抽样首先是对总体分段的计算,注意分段时可能要排除一些个体,各段的间 隔距离是一样的,但各段中抽取的个体就可有不同的规则,要根据这些规则通过计算确立抽 取的个体. 【变式训练】 1.某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1~50 号,并分组,第一组 1~5 号,第二组 6~10 号,?,第十组 46~50 号.若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码为________的学生. 解析 由于组距为 5, 所以所抽号码为(8-3)×5+12=37. 答案 37 考点二:用样本估计总体 【例 2】 (1)(2012·西城二模)下图是 1、 两组各 7 名同学体重(单位: 2 kg)数据的茎叶图. 设 1、2 两组数据的平均数依次为 1 和 2,标准差依次为 s1 和 s2,那么

(注:标准差

s=

1

n

[?

x1- x ?



2

- +? x2- x ?

2

+?+?

xn- x ?



2

],

- 其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平均数) - - A. x 1> x 2,s1>s2 - - C. x 1< x 2,s1<s2 - - B. x 1> x 2,s1<s2 - - D. x 1< x 2,s1>s2

-2-

(2)(2012·徐州模拟)某年级 120 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之 间.将测试结果分成 5 组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示 的频率分布直方图.如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为 1∶3∶7∶6∶3,那么成绩在 [16,18]的学生人数是________.

- - 2 2 [审题导引] (1)根据茎叶图中的数据分别计算 x 1, x 2,s1,s2,然后比较大小; (2)根据直方图中各小矩形的面积和为 1 计算出成绩在[16,18]的频率,然后计算成绩在 [16,18]的学生人数. [规范解答] (1)由茎叶图知 -

x 1=

58+57+56+53+61+72+70 =61. 7

s 2 = [(58-61)2 +(57-61)2 +(56-61)2 +(53-61)2 +(61-61)2 +(72-61)2 +(70- 1
299 2 61) ]= , 7 390 - - - 2 同理 x 2=64,s2= ,所以 x 1< x 2,s1<s2. 7 6+3 9 (2)由频率分布直方图可知成绩在[16,18]的学生的频率为 = , 1+3+7+6+3 20 9 所以成绩在[16,18]的学生人数为 ×120=54. 20 [答案] (1)C (2)54 【规律总结】 用样本估计总体时应注意的问题 (1)理解在抽样具有代表性的前提下,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布,用样本的 特征数估计总体的特征数,这是统计的基本思想; (2)反映样本数据分布的主要方式,一个是频率分布表,一个是频率分布直方图,要学会根据 频率分布直方图估计总体的概率分布以及总体的特征数,特别是均值、众数和中位数; (3)要掌握好样本均值和方差的实际意义,并在具体的应用问题中会根据计算样本数据的均值 和方差对实际问题做出解释; (4)茎叶图是表示样本数据分布的一种方法,其特点是保留了所有的原始数据,这是茎叶图的 优势. 【变式训练】 2.(2012·义乌模拟)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是________;若从甲、乙两
-3-

1 7

组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后,两组数据的平均数中较大的一组是________ 组.

解析 把乙组数据从小到大排, 得 79,84,84,84,86,87,93, - - 故中位数是 84, x 甲=84, x 乙=85, - - ∴ x 乙> x 甲. 答案 84 乙 3.(2012·杭州二模)将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,若第一组至第六组数据的频率之 比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 的值为 A.70 B.60 C.50 D.40 2+3+4 27 解析 据题意知 = , 2+3+4+6+4+1 n ∴n=60. 答案 B 考点三:线性回归分析 【例 3】某种设备的使用年限 x 和维修费用 y(万元)有以下的统计数据,如表所示

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)画出上表数据的散点图;


(2)请根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (3)估计使用年限为 10 年,维修费用是多少? [审题导引] (1)根据对应值组成点的坐标,画出各点即可; (2)直接套用求回归直线系数的公式,求出 b,a; (3)根据求出的回归直线方程,求当 x=10 时对应的 y 值,即使用年限为 10 年时,维修费用 的估计值. [规范解答] (1)作出散点图如图所示.

-4-

4

4 2 2 2 2 2

(2)∑xiyi=66.5,∑xi=3 +4 +5 +6 =86, i=1 i=1 -

x =4.5, y =3.5,
66.5-4×4.5×3.5 66.5-63 = =0.7, 2 86-4×4.5 86-81 - -



b=

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35,


所以所求的回归方程为y=0.7x+0.35.


(3)当 x=10 时,y=0.7×10+0.35=7.35, 所以使用年限为 10 年,维修费用的估计值是 7.35 万元. 【规律总结】 求线性回归分析问题的方法 (1)画出两个变量的散点图; (2)求回归直线方程; (3)用回归直线方程进行预报. 其中求回归直线方程是关键.而求回归直线方程的最好方法是“最小二乘法”,即对于


线性回归模型y=a+bx 来说,估计模型中的未知参数 a 和 b 的最好方法就是用最小二乘法, n n - - - - ∑ ? xi- x ? ? yi- y ? ∑xiyi-n x y i=1 i=1 - - 其计算公式为 b= = n ,a= y -b x . n - 2 -2 2 ∑ ? xi- x ? ∑xi-n x i=1 i=1 [易错提示] 虽然由任何一组不完全相同的数据都可以求出回归直线方程,但只有具有线性 相关关系的一组数据才能得到有意义的回归直线方程,求出的方程才具有实际价值.线性相 关系数可以是正、负或零,线性相关系数为正时是正相关,为负时是负相关,反之也成立. 【变式训练】 4.(2012·深圳模拟)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此


进行了 5 次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程y=0.67x+54.9.

现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为________. - 解析 由表知 x =30,设模糊不清的数据为 y, 307+y - 1 则 y = (62+y+75+81+89)= , 5 5

-5-

- - ∵ y =0.67 x +54.9, 即 307+y =0.67×30+54.9, 5

解得 y=68. 答案 68 考点四:独立性检验 【例 4】有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统 计成绩后,得到如下列联表. 优秀 甲班 乙班 合计 105 2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . 7 (1)请完成上面的列联表. (2)根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”? (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进 行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 6 号 或 10 号的概率. 2 [审题导引] 第(1)问由题易知成绩优秀的概率是 ,则成绩优秀的学生数是 30,成绩非 7 优秀的学生数是 75, 据此即可以完成列联表; 第(2)问按照独立性检验的原理进行判断; 第(3) 问列举基本事件个数和随机事件含有的基本事件个数,按照古典概型的概率公式进行计算. [规范解答] (1)列联表如表所示 优秀 甲班 乙班 合计 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计 55 50 105 105×? 10×30-20×45? 55×50×30×75
2

非优秀

总计

10 30

(2)根据列联表中的数据,得到 k= 95%的把握认为“成绩与班级有关系”.

≈6.109>3.841,因此有

(3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,

y).所有的基本事件有(1,1),(1,2),?(6,6),共 36 个.事件 A 包含的基本事件有(1,5),
8 2 (2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 8 个,故 P(A)= = . 36 9 【规律总结】
-6-

独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列出 2×2 列联表,假设两个变量无关系;

n? ad-bc? 2 (2)根据公式 K = ? a+b? ? c+d? ? a+c? ?
(3)比较 K 与临界值的大小关系作统计推断.
2

2

b+d?

计算 K 的值;

2

【变式训练】 5.(2012·南京模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某学校随机抽出 20 名 15 至 16 周岁的男生,将他们的身高和体重制成 2×2 列联表,根据列联表的数据,可以有 ________%的把握认为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系. 超重 偏高 不偏高 合计 4 3 7 不超重 1 12 13 合计 5 15 20

独立性检验临界值表:

P(K2≥k0) k0

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

独立性检验随机变量 K 值的计算公式:

2

K2=

n? ad-bc? 2 . ? a+b? ? c+d? ? a+c? ? b+d?
4×12-3×1? 5×15×7×13
2

20? 解析 k=

=5.934, 根据临界值表可知有 97.5%的把握认为该学校 15

至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系. 答案 97.5 名师押题高考 【押题 1】根据下面频率分布直方图(如图所示)估计样本数据的中位数、众数分别为

A.12.5,12.5 B.13,12.5 C.12.5,13 D.14,12.5 解析 中位数是位于中间的数,故中位数是 13,众数是 12.5,中位数把图形的面积一分为二. 答案 B
-7-

[押题依据] 高考要求考生能通过样本的分布估计总体的分布;根据样本的特征数估计总体 的特征数,考查考生的读图能力、概括能力,故押此题. 【押题 2】某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取 50 名学生的成绩作为样本,得 频率分布表如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合计 分组 [230,235) [235,240) [240,245) [245,250) [250,255] ① 15 10 5 50 频数 频率 0.16 0.24 ② 0.20 0.10 1.00

(1)写出表中位置①②处的数据; (2)为了选拔更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第 二轮考核,分别求出第三、四、五组参加考核的人数; (3)在(2)的前提下,高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生,求 2 人中至少有 1 人在第四组 中的概率. 解析 (1)由题知位置①的数据是 50×0.24=12, 15 位置②的数据是 =0.30. 50 (2)第三组参加考核的人数为 15 ×6=3; 30

10 第四组参加考核的人数为 ×6=2; 30 5 第五组参加考核的人数为 ×6=1. 30 (3)设第三组的 3 名学生为 A、B、C,第四组的 2 名学生为 D、E,第五组的 1 名学生为 F, 则从这 6 名学生中录取 2 名学生的方法有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,

CF,DE,DF,EF,共 15 种,而至少有 1 人是第四组的有 AD,AE,BD,BE,CD,CE,DE,DF, EF,共 9 种.故所求的概率 P= = .
[押题依据] 概率与统计相结合的解答题是高考的一个热点题型.本题考查了频率分布表、 抽样方法、古典概型,突出了知识和能力的考查,故押此题. 9 3 15 5

-8-


2013届高三数学二轮复习 专题六 第3讲 统计与统计案例教案

2013届高三数学二轮复习 专题六 第3讲 统计与统计案例教案 隐藏>> 第3讲自主学习导引 统计、统计案例 真题感悟 1.(2012·福建)一支田径队有男女运动员 98 人,...

2013高考数学能力加强集训:专题六第3讲 统计、统计案例(含详解)

2013高考数学能力加强集训:专题六第3讲 统计统计案例(含详解)_数学_高中教育...据 此模型可预测 2012 该地区的恩格尔系数(%)为___. 9.(2012· 日照模拟...

2013高三数学精品复习教案:统计、统计案例

2013高三数学精品复习教案:统计统计案例_数学_高中...从报名的 24 名大三的学生中选 6 人组成志愿小组...2013届高三数学二轮复习... 8页 5下载券 2013高三...

专题六 第3讲 统计与统计案例

专题六 第3讲 统计与统计案例_数学_高中教育_教育专区。第3讲 自主学习导引 ...2013届高三数学二轮复习... 8页 免费 专题六 第一讲 统计、统... 暂无评价...

2013高考数学 专题辅导专题六 第3讲 统计、统计案例课时训练提能 2

6页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2013高考数学 专题辅导专题六 第3讲 统计统计案例课时训练提...

2013高考数学能力加强集训:专题六第3讲 统计、统计案例(含详解)

2013高考数学能力加强集训:专题六第3讲 统计统计案例(含详解) 隐藏>> 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 专题六 第 3 讲 统计统计案例一、选择题(每小题...

2013届高三数学第二轮专题复习教案:数列

高​三​数​学​第​二​轮​专​题​复​习​教​案​:​数​列2009 届高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构: 二...

高三一轮复习 统计案例教案

高三轮复习 统计案例教案_数学_高中教育_教育专区...课 题 第 课时 1.通过实例引入线性回归模型,感受产生...3 4 5 6 7 155 43 8 170 59 身高/cm 165 ...

2014届高考数学二轮复习复习升级训练篇专题六第一讲统计及统计案例

第一讲 统计统计案例 1.(2013· 高考湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间...第 2 页共 5 页 (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学...

《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练1-5-2第二讲 统计、统计案例

《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练1-5-2第二讲 统计统计案例_...3∶ 6∶ 1,且前三组数 据的频数之和为 27,则 n=___. 解析:依题意得...