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三角函数专题 - 副本

时间:2012-10-30


2012 高三南校区三轮复习 (三角函数专题)
一、高考题
1、 (2008 江苏高考 15 题) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, Ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? , 以 它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标 分别为
2 2 5 , . 10 5

(Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值

; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值.

2、 (2009 江苏高考 15 题) 设向量 a ? (4 cos ? , sin ? ), b ? (sin ? , 4 cos ? ), c ? (cos ? , ? 4 sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2 c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

3、 (2010 江苏高考 15 题) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长
OC (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· =0,求 t 的值

4、 (2011 江苏高考 15 题) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c . (1)若 sin( A ? (2)若 co s A ?
?
6 1 3 ) ? 2 cos A ,求 A 的值;

, b ? 3 c ,求 sin C 的值.

二、各地模拟题
1 、 ( 淮 安 3 月 调 研 ) 在 斜 三 角 形 ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c 且
b ?a ?c
2 2 2

?

cos( A ? C ) sin A cos A

.

ac

(1)求角 A; (2)若
sin B cos C ? 2 ,求角 C 的取值范围。

π 2、 (江宁高级中学 3 月联考) 在△ ABC 中, a,b,c 依次是角 A, C 所对的边, 4sinB· 2( B, 且 sin 4 B + )+cos2B=1+ 3 . 2 (1)求角 B 的度数;(6 分) 1 (2)若 B 为锐角,a=4,sinC= sinB,求边 c 的长.(8 分) 2

3、(金陵中学三模)已知△ ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,其外接圆半径为 1,且 有 sinA-sinC+
2 2

cos(A-C)=

2 2

.

(1)求 A 的大小; (2)求△ ABC 的面积

4、(苏、锡、常、镇四市调研)已知函数 f ( x ) ? sin ( (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

?
2

? x ) co s x ? sin x co s( ? ? x ) ,

(2)在 ? A B C 中,已知 A 为锐角, f ( A ) ? 1 , B C ? 2, B ?

?
3

,求 A C 边的长.

5 、 ( 盐 城 中 学 第 七 次 月 考 ) 已 知 a , b , c 分 别 是 ? ABC 中 角 A , B , C 的 对 边 , 且
sin A ? sin C ? sin B ? sin A sin C
2 2 2

(1)求角 B 的大小; (2)若 c ? 3 a ,求 tan A 的值.

6、 (扬州大学附中 3 月月考) 在△ ABC 中, A, C 所对边分别为 a, c, 1 ? 角 B, b, 且 (1)求角 A; (2)若 m ? (0, ? 1) ,n ? co s B , 2 co s 2 C ,试求|m ? n|的最小值.
2

a n t a n t

A2 c ? B b

?

?

参考答案
一、高考题
1、 【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.
解:由已知条件及三角函数的定义可知, co s ? ?
2 10 7 2 5 5 , co s ? ? 2 5 5



因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = 因此 tan ? ? 7 , tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=
1 2

, sin ? ?

10

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? 2 tan ? 4 3

? ?3

(Ⅱ) tan 2 ? ?

1 ? tan ?
2

?

,所以 tan ? ? ? 2 ? ? ?
3? 2

tan ? ? tan 2 ? 1 ? tan ? tan 2 ?

? ?1

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ?

,∴ ? ? 2 ? =

3? 4

2



所以 a ∥ b .

3、解: (1) A B ? (3, 5), A C ? ( ? 1,1)
求两条对角线长即为求 | A B ? A C | 与 | A B ? A C | ,
??? ? ???? ??? ? ????

??? ?

????

由 A B ? A C ? ( 2, 6 ) ,得 | A B ? A C |? 2 10 , 由 A B ? A C ? ( 4, 4 ) ,得 | A B ? A C |? 4 2 。 (2) O C ? ( ? 2, ? 1) ,
OC ? A B ?O C ? t O C , ∵( AB ? t OC )·
??? ???? ? ???? 2 ???? ??? ? ???? ??? ? ????

??? ?

????

??? ?

????

易求 A B ?O C ? ? 1 1 , O C ? 5 ,
OC 所以由( AB ? t OC )· =0 得 t ? ?
11 5

??? ???? ?

???? 2



4、 (1) 3
(2)
1 3

?

二、模拟题 1、
解:⑴ ∵
2

b ?a ?c
2 2

2

? ? 2 co s B ,

co s( A ? C ) sin A co s A

? ?

2 co s B sin 2 A

,

ac

,……………………………… 2 分 为斜三角形,

又∵

b ?a ?c
2

2

?

co s( A ? C ) sin A co s A

,∴

? 2 co s B ?

? 2 co s B sin 2 A

, 而 ? ABC

ac

∵ co sB

? 0 ,∴ sin2A =1 .

……………………………………………………………… 4 分
?
4
? 3π ? sin ? ?C? ? 4 ? co s C sin ? 3π 4 co s C co s C ? co s 3π 4 sin C ?

∵ A ? (0, ? ) ,∴ 2 A

?

?
2

,A ?

. …………………………………………………… 6 分

⑵∵ B

?C ?

3π 4

,∴

sin B co s C

?

2 2

?

2 2

tan C ?

2

…12 分

即 tan C

? 1 ,∵ 0 ? C ?

3? 4

,∴

π 4

?C ?

π 2

.…………………………………14 分

B? ?? 2、 (1)由 4sinB · ? ? ? + cos2B = 1 + sin 4 2
2

?

?

3

得:2 sin B [1 ? cos(
3 2

?
2

? B )] ? cos 2 B ? 1 ? 3

2 sin B (1 ? sin B ) ? 1 ? 2 sin B ? 1 ?
2

3 ,

sin ? B

?0? B ??

?B ?

?
3



2? 3



(2)法 1:? B 为锐角 由 已 知 得 : c?
sin A ? sin ( 2? 3 ? C) ?
a sin A ?
1 2

?B ?

?
3

sin C ?

1 2

sin B ?

3 4 ? co s C ? 13 4

1 2

b?b ,
3 ( 1 3 ? 1) 8

角 C 为 锐 角

可 得 :

由正弦定理

c sin C

得: c ?

2 13 ? 2 3



法 2:由 sin C ?

sin B 得: b ? 2 c ,

由余弦定理知: ( 2 c ) 2 ? c 2 ? 16 ? 8 c cos 60 ?
1 3
?c ? 0
0

即: 3 c 2 ? 4 c ? 16 ? 0
0

c?

?2 ? 2 3

?c ?

2

1 3? 3

2

3、解: B=60 ,A+C=120 , C=120 (1)
0

-A,∴ sinA-sinC+
2 2

2 2

cos(A-C)

= 1 sinA-
2

3 2

cosA+
2

2 2

[1-2sin2(A-60° ]= )



∴sin(A-60° [1- )

sin(A-60° ]=0? )
2 2

-------------------------4 分

∴sin(A-60° )=0 或 sin(A-60° )=
1 1

又 0° <A<120° ∴A=60° 105° 分 或 --8
3 3 4

(2) 当 A=60° 时,S△ = acsinB= × R2sin360° 4 =
2 2

------------11 分 ----------------14 分

当 A=105° 时,?S△ = × R2· 4 sin105° sin15° sin60° =
2

1

3 4

4、(1) 由题设知
f ( x ) ? sin (

?
2

? x ) co s x ? sin x co s( ? ? x ) ,

? f ( x ) ? co s x ? sin x co s x ?
2

2 2

sin ( 2 x ?

?
4

)?

1 2
'

? T ? ? ……………………………………………………………………… 5

(2)

? f ( A ) ? cos A ? sin A cos A ? 1
2
2 2

? sin A cos A ? 1 ? cos A ? sin A ……………………………………………………7
? sin A ? cos A

?A? AC sin B

?
4 ?

………………………………………………………………… 9
BC sin A

'

AC sin

?
3

?

2 sin

?
4
'

? BC ?

6 …………………………………………………… 1 4
2

(1)由已知条件得: a 5、解: 所以 cos B ?
1 2

?c

2

?b

2

? ac

…………2 …………5


?
3

又 B ? ?0 , ? ? ,所以 B ?

…………6 分
?
3

(2)∵ c ? 3 a ,由正弦定理,得 sin C ? 3 sin A ,且 B ?
? 2? ? ? A ? ? 3 sin A , ? 3 ?

所以有 sin ?

…………10 分

整理得:

3 2

cos A ?

5 2

sin A ,从而有:

tan A ?

sin A co s A

?

3 5 .

A A sin 6、解: 1 ? tan B ? 2bc ? 1 ? sin B co ss B ? 2sin BC , (1) tan sin co A

即 ∴ ∵ ∴A
? π 3

sin B co s A ? sin A co s B sin B co s A sin ( A ? B ) sin B co s A ? 2 sin C sin B

?

2 sin C sin B


1 2
0? A? π

,∴ co s A ?

. ,

.………………………………………………………………7 分 (2)m ? n
? (co s B , 2 co s
2

C 2

? 1) ? (co s B , co s C ) , 2π 3 ? B) ? 1 ? 1 2 sin ( 2 B ? π 6

? |m ? n| 2 ? co s 2 B ? co s 2 C ? co s 2 B ? co s 2 (

)



∵A

?

π 3

,∴ B
? 2B ? ? π 6

?C ? π 6 ) ?

2π 3

,∴ B ? (0,

2π 3

)



从而 ?

π 6

7π 6


? π 3

∴当 sin ( 2 B 所 |m ? n| m in ?
2 2

=1,即 B

时,|m ? n| 取得最小值 以

2

1 2

. ,

.………………………………………………………………14 分


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