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山东省临清市高中数学 2.1.1-1 根式全套教案 新人教A版必修2

时间:2014-06-15


2.1.1

第一课时根式教案

【教学目标】 1、通过与初中所学的知识进行类比,理解根式的意义,掌握根式的性质。培养学生观察 分析、抽象类比的能力。 2、掌握根式的化简,渗透“转化”的数学思想。通过运算训练,养成学生严谨治学,一 丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理。 【教学重难点】 教学重点: (1)根式概念

的理解。 (2)根式的化简 教学难点: (1)根式的化简 【教学过程】 一、导入新课 同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根?n 次方根 呢?答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:根式 二、新知探究 1、提出问题 (1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? (2)如 x4 =a,x5 ? a, x6 ? a 根据上面的结论我们又能得到什么呢? (3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗? (4)可否用一个式子表达呢? 活动:教师指示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的, 对照类比比方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题(2)的结论进行引申、推广、相互 交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出 n 次方根的概念,评价 学生的思维。 讨论结果:
2 (1)若 x ? a ,则 x 叫做 a 的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数, 3 如:4 的平方根为 ?2 ,负数没有平方根,同理,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的立方根,一个

数的立方根只有一个。 (2)类比平方根、立方根的定义,得到相应的结果。 (3)类比(2)得到一个数的 n 次方等于 a ,则这个数叫 a 的 n 次方根。
n (4)用一个式子表达是,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根。 n * 教师板书 n 次方根的意义: 一般地, 如果 x ? a , 则 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n ? 1, n ? N 。

2、提出问题 (1)你能根据 n 次方根的意义求出下列数的 n 次方根吗?教师板书于黑板 ①4 的平方根; ② ? 8 的立方根; ③16 的 4 次方根; ④32 的 5 次方根; ⑤-32 的 5 次方根;
用心 爱心 专心 -1-

⑥0 的 7 次方根;⑦ a 6 的立方根。 (2)平方根,立方根,4 次方根,5 次方根,7 次方根,分别对应的方根的指数是什么数, 有什么特点?4, ? 8,16,-32,32,0, a 6 分别对应什么性质的数,有什么特点? (3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数 a 有正有负,还有零,结论有一个 的,也有两个的,你能否总结一般规律呢? (4)任何一个数 a 的偶次方根是否存在呢? 活动:教师提示学生切实紧扣 n 次方根的概念,求一个数 a 的 n 次方根,就是求出的那个 数的 n 次方等于 a , 及时点拨学生, 从数的分类考虑, 可以把具体的数写出来, 观察数的特点, 对问题(2)中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不 准确的学生提示引导考虑问题的思路。 讨论结果: (1)因为 ? 2 的平方等于 4, ? 2 的立方等于 8, ? 2 的 4 次方等于 16,2 的 5 次方等于 32,-2 的 5 次方等于-32,0 的 7 次方等于 0, a 2 的立方等于 a 6 ,所以 4 的平方根,

? 8 的立方根,16 的 4 次方根,32 的 5 次方根,-32 的 5 次方根,0 的 7 次方根, a 6 的立方
根分别是 ? 2, ? 2, ? 2,2,-2,0, a 6 。 (2)方根的指数是 2,3,4,5,7?特点是有奇数和偶数。总的来看,这些数包括正数, 负数和零。 (3)一个数 a 的奇次方根只有一个,一个正数 a 的偶次方根有两个,是互为相反数。0 的任何次方根都是 0。 (4)任何一个数 a 的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个 数的偶次方是一个负数。 类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到 n 次方根的性质: ①当 n 为偶数时, a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表示,如果 是负数,负的 n 次方根用- n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写在 ?
n

。 a ( a >0)

②n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时 a 的 n 次 方根和符号 n a 表示。 ③负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是零. 活动:让学生举例说明上述几种情况,教师巡视,及时纠正学生在举例过程中的问题. 思考 a 表示 a 的 n 次方根, 等式 a = a 一定成立吗?如果不成立, 那么 a 等于什么? 活动:教师让学生注意讨论 n 为奇偶数和 a 的符号,充分让学生多举例,分组讨论,教师 点拨,注意归纳整理. 结论:①n 为奇数, a =
n n

n

n

n

n

n

n

n

a ,②当 n 为偶数 n a n ? a ? ?

a , a ?0
? a , a ?0

用心 爱心 专心

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3、应用示例 例 1、求下列各式的值 (1) 3 (?8)
3

; (2) ( ?10)
3

2

4 ; (3) 4 (3 ? ? )

4 解: (1) 3 ( ?8) ? ?8 ; (2) (?10) ? 10 ; (3) 4 (3 ? ? ) ? ? ? 3

2

点评:不注意 n 的奇偶对式子 an 的值影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理 解的基础之上,记准,记熟,会用. 变式训练: 例 2、求下列各式的值

n

(1) 7 ( ?2) 7 ;
拓展提升

(2) 3 (3a ? 3)3 (a ? 1);

(3) 4 (3a ? 3) 4

问题: a ? a 与 ( n a )n ? a(n ? 1, n ? N ) 哪个是恒等式,为什么?请举例说明. 活动:组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣 n 次方 根的定义. 通过归纳,得出问题结果,对 a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,再对 a 是 负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论. 4、课堂小结
n ①如果,如果 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n ? 1, n ? N * 。用式子 n a 表示,式

n

n

子 n a 叫根式,其中 a 叫被开方数,n 叫根指数. 说明: (1) 当 n 为偶数时, a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表示, 如果是负数,负的 n 次方根用 ? n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写成

? n a ( a >0)
(2) n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时 a 的 n 次方根用符号 n a 表示. (3) 负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是零. ②掌握两个公式:n 为奇数时, a ? a ,n 为偶数时, a n ? a ? ? ? a,a?0
n n
n

a , a ?0

【板书设计】 一、活动一 二、活动二 三、例题 例1 变式 1
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例2 变式 2 【作业布置】 课本习题 2.1A 组 1

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