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【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第4篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算

时间:2014-11-09


第1讲 [最新考纲] 1.了解向量的实际背景.

平面向量的概念及其线性运算

2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知 识 梳

理 1.向量的有关概念

名称 平行向量

定义 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 2.向量的线性运算

备注 0 与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等,不能比较大小 0 的相反向量为 0

共线向量

相等向量

相反向量

向量 运算





法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量 和的运算

三角形法则

(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c)

平行四边形法则 续表

减法

求a与b的 相反向量 -b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 求实数 λ 与 向量 a 的积 的运算 3.共线向量定理

a-b=a+(-b) 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; λ(μa)=λμa; (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向 (λ+μ)a=λa+μa; 相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的 λ(a+b)=λa+λb 方向相反;当 λ=0 时,λa=0

数乘

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. 辨 析 感 悟 1.对共线向量的理解 (1)若向量 a,b 共线,则向量 a,b 的方向相同. (2)若 a∥b,b∥c,则 a∥c. (×)

(×) (3)(2013· 郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量, 且向量 a+λb 与 2a-b 共线, 1 则 λ=-2.

(√) (4)(2013· 陕西卷改编)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a|· |b|”是“a∥b”的充分必要 条件.

(√) 2.对向量线性运算的应用 → → → → (5)AB+BC+CD=AD.

(√) → 1 → → (6)(教材习题改编)在△ABC 中,D 是 BC 的中点,则AD=2(AC+AB).

(√) 学生用书 第 69 页

[感悟· 提升] 1.一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同,前者的起点可以不同,而后

者必须在同一直线上.同样,两个平行向 量与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上. 2.两个防范 一是两个向量共线,则它们的方向相同或相反;如(1);二是注重

零向量的特殊性,如(2).

考点一 【例 1】 给出下列命题:

平面向量的有关概念

→ → ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条 件是|a|=|b|且 a∥b. 其中真命题的序号是________. 解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. → → ②正确.∵AB=DC, → → → → ∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; → → → → → → 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|,因此,AB=DC. ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同; 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a|=|b|且 a

∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号 是②③. 答案 ②③ 规律方法 对于向量的概念应注意以下几条: (1)向量的两个特征:有大小和方向,向量既可以用有向线段和字母表示,也可 以用坐标表示; (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而 平行向量则未必是相等向量; (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数, 故可以比较大小. 【训练 1】 设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命 题的个数是( A.0 ). B.1 C.2 D.3

解析 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相等,但方向不一定相同, 故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是 反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3. 答案 D 考点二 平面向量的线性运算

→ → → 1 → → 例 2】 如图,在平行四边形 OADB 中,设OA=a, OB=b,BM =3 BC, CN= → → → 1 → CD . 试用 a , b 表示 OM , O N及MN. 3 → 1 → 解 由题意知,在平行四边形 OADB 中, BM=3B C
1 → 1 → → 1 1 1 =6 BA=6( OA-OB)=6(a-b)=6a-6b,

→ → → 1 1 1 5 则OM=OB+BM=b+6a-6b=6a+6b.

→ 2 → 2 → → 2 2 2 ON=3 OD=3(OA+OB)=3(a+b)=3a+3b, → → → 2 1 5 1 1 MN=ON-OM=3(a+b)-6a-6b=2a-6b.
规律方法 (1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形 中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例 等性质,把未知向量用已知向量表示出来. (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合 并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用. 【训练 2】 (1) (2013· 四川卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD → → → 交于点 O,AB+AD=λ AO,则 λ=________.

→ → → → (2)(2013· 泉州模拟)已知 P,A,B,C 是平面内四点,且PA+PB+PC=AC,那 么一定有 → → A.PB=2CP → 2PB → → C.AP=2PB → 2AP → → → → 解析 (1)∵AB+AD=AC=2AO,∴λ=2. → → → → → → (2)∵PA+PB+PC=AC=PC-PA, → → → ∴PB=-2PA=2AP. 答案 (1)2 (2)D → D. PB = ( ). → B. CP =

考点三

向量共线定理及其应用

【例 3】 (2013· 郑州一中月考)设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → → → → → 审题路线 (1)由向量的加法, 得BD=BC+CD?用 a, b 表示BD?得到BD与AB的 → → 关系式?由向量共线定理,得BD与AB共线?再看是否有公共点?得到证明的结 论. (2)假设存在实数 k?利用向量共线定理?列出方程?根据 a,b 是两个不共线的 向量?得出方程组?解得 k 值. (1)证明 → → → ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).

→ → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB. → → ∴AB,BD共线,又它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. (2)解 假设 ka+b 与 a+kb 共线,

则存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=± 1. 规律方法 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a,b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0 成立,若 λ1a +λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2=0 时成立,则向量 a,b 不共线. 学生用书 第 70 页 【训练 3】 (2014· 西安模拟)已知向量 a, b 不共线, 且 c=λa+b, d=a+(2λ-1)b, 若 c 与 d 同向,则实数 λ 的值为_____. 解析 由于 c 与 d 同向,所以 c=kd(k>0), 于是 λa+b=k[a+(2λ-1)b],

整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b. ?λ=k, 由于 a,b 不共线,所以有? ?2λk-k=1, 1 整理得 2λ2-λ-1=0,所以 λ=1 或 λ=-2. 又因为 k>0,所以 λ>0,故 λ=1. 答案 1

1.向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多联系相关的几何图形, 比如平行四边形、菱形、三角形等,可多记忆一些有关的结论. 2.对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解为位置(共线或不共线)与向量 等式之间所建立的对应关系. 要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量 满足向量等式 b=λa,再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.

方法优化 3——准确把握平面向量的概念和运算

【典例】 (2012· 浙江卷)设 a,b 是两个非零向量.( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

).

[一般解法] (排除法)选项 A,若 b=-a,则等式|a+b|=|a|-|b|成立,显然 a⊥b 不成立; 选项 B,若 a⊥b 且|a|=|b|,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|= 2|a|≠0,故|a+b|=|a| -|b|不成立; 选项 D,若 b=a,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|=2|a|≠0,故|a+b|=|a|-|b|不成立. 综上,A,B,D 都不正确,故选 C. [优美解法] (数量积法)把等式|a+b|=|a|-|b|两边平方,得(a+b)2=(|a|-|b|)2, 即 2a· b=-2|a|· |b|,而 a· b=|a||b|cos<a,b>,

所以 cos<a,b>=-1.又因为<a,b>∈[0,π], 所以<a,b>=π,即 a,b 为方向相反的共线向量.故 C 正确. [反思感悟] 部分学生做错的主要原因是:题中的条件“|a+b|=|a|-|b|”在处理 过程中误认为“|a+b|=|a-b|”,从而得到“a⊥b”这个错误的结论. 【自主体验】 → → → → 在△OAB 中,OA=a,OB=b,OD 是 AB 边上的高,若AD=λAB,则实数 λ= ( ).

a· ?a-b? A. |a-b| B. a· ?a-b? C. |a-b|2 D. → → → → 解析 由AD=λAB,∴|AD|=λ|AB|. → a· ?a-b? a· ?a-b? 又∵|AD|=|a|cos A=|a|· = , |a||b-a| |b-a| → a· ?a-b? a· ?a-b? |AB|=|b-a|,∴λ= .故选 C. 2 = |b-a| |a-b|2 答案 C a· ?b-a? |a-b|2 a· ?b-a? |a-b|

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( → → → A.EF=OF+OE → → → B.EF=OF-OE

).

→ → → → → → C.EF=-OF+OE D.EF=-OF-OE → → → 解析 由图可知EF=OF-OE.

答案 B 2.

→ → → (2014· 汕头二模)如图,在正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF等于( → A.0 B.BE → → C.AD D.CF

).

→ → → → → → → → 解析 因为 ABCDEF 是正六边形,故BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF= → CF. 答案 D 3.对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 ).

D.既不充分也不必要条件

解析 若 a+b=0,则 a=-b,所以 a∥b.若 a∥b,则 a=λb,a+b=0 不一定 成立,故前者是后者的充分不必要条件. 答案 A 4.(2014· 开封模拟)下列命题中,正确的是( A.若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b B.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 ).

C.若 ka=0,则 k=0 或 a=0 D.若 a,b 都是非零向量,则|a+b|>|a-b| 解析 对于 A,显然不能得知 a=b 或 a=-b,因此选项 A 不正确;对于 B,易 知不正确;对于 C,易知正确;对于 D,注意到(a+b)2-(a-b)2=4a· b,显然 a· b 与零的大小关系不确定,因此选项 D 不正确.综上所述,选 C. 答案 C → → → 5. (2014· 兰州质检)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点, 且满足 5AM=AB+3AC, 则△ABM 与△ABC 的面积比为( 1 A.5 解析 2 B.5 3 C.5 4 D.5 ).

→ → → → → → → → 设 AB 的中点为 D,由 5AM=AB+3AC,得 3AM-3AC=2AD-2AM,即 3CM= → → 2MD.如图所示,故 C,M,D 三点共线,且MD= 3→ 也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的两高之比为 3∶5, 则△ABM 与△ABC 5CD, 3 的面积比为5,选 C. 答案 C 二、填空题 6.(2014· 湖州月考)给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量; → → ⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上.

其中不正确命题的序号是________. → → 解析 ①中,∵向量AB与BA为相反向量, ∴它们的长度相等,此命题正确. ②中若 a 或 b 为零向量, 则满足 a 与 b 平行, 但 a 与 b 的方向不一定相同或相反, ∴此命题错误. ③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必定相 同,∴该命题正确. ④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错误. → → ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若AB与CD是共线向量,则 A,B,C, D 四点不一定在一条直线上,∴该命题错误. 答案 ②④⑤ → → → → → 7. 在?ABCD 中, AB=a, AD=b, AN=3NC, M 为 BC 的中点, 则MN=________(用 a,b 表示). → → → → → → → → 1 解析 由AN=3NC,得 4AN=3 AC=3(a+b),AM=a+2b,所以MN=AN-AM 1 ? 3 1 1 ? =4(a+b)-?a+2b?=-4a+4b. ? ? 1 1 答案 -4a+4b → → → 8.(2014· 泰安模拟)设 a,b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD= a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值为________. → → → 解析 ∵BD=BC+CD=2a-b,又 A,B,D 三点共线, → → ?2=2λ, ∴存在实数 λ,使AB=λBD.即? ∴p=-1. ?p=-λ, 答案 -1 三、解答题

9.在△ABC 中,D,E 分别为 BC,AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB= → → → → 2GE,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG. → 1 → → 1 1 解 AD=2(AB+AC)=2a+2b; → → → → 2→ → 1 → → AG=AB+BG=AB+3BE=AB+3(BA+BC) 2→ 1 → → 1→ 1→ 1 1 =3AB+3(AC-AB)=3AB+3AC=3a+3b. 10.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a, 1 tb,3(a+b)三向量的终点在同一条直线上? → → → 1 解 设OA=a,OB=tb,OC=3(a+b), → → → → → → 2 1 ∴AC=OC-OA=-3a+3b,AB=OB-OA=tb-a. → → 要使 A,B,C 三点共线,只需AC=λAB. 2 1 即-3a+3b=λ(tb-a)=λtb-λa. 又∵a 与 b 为不共线的非零向量, 2 ? ?-3=-λ, ∴有? 1 ? ?3=λt 2 ? ?λ=3, ?? 1 t = ? ? 2.

1 ∴当 t=2时,三向量终点在同一直线上. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2013· 济南一模)已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心, → 1?1 → 1 → 动点 P 满足OP=3? OA+ OB+ 2 ?2 →? 2OC?,

则点 P 一定为三角形 ABC 的( A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点

).

→ 1 → → 1→ 1→ → 1→ 2 解析 设 AB 的中点为 M,则2OA+2OB=OM,∴OP=3(OM+2OC)=3OM+3 → → → → → → OC,即 3OP=OM+2OC,也就是MP=2PC,∴P,M,C 三点共线,且 P 是 CM 上靠近 C 点的一个三等分点. 答案 B → → 2.在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若AO=x AB+ → (1-x)AC,则实数 x 的取值范围是( A.(-∞,0) B.(0,+∞) ).

C.(-1,0) D.(0,1) → → → → → → → → → 解析 设BO=λ BC(λ>1),则AO=AB+BO=AB+λ BC=(1-λ)AB+λ AC,又 → → → → → → → AO=x AB+(1-x)AC,所以 x AB+(1-x)AC=(1-λ)AB+λ AC.所以 λ=1-x> 1,得 x<0. 答案 A 二、填空题 → → → → → 3.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则 △ABC 的形状为________. → → → → → → → → → 解析 OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC, → → → → → → → → → OB-OC=CB=AB-AC,∴|AB+AC|=|AB-AC|. 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形 三、解答题

4.

→ 在△ABC 中,E,F 分别为 AC,AB 的中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a, → → AC=b,试用 a,b 表示AG. → → → → → 解 AG=AB+BG=AB+λBE → λ → → ? λ? → λ → → =AB+2(BA+BC)=?1-2?AB+2(AC-AB) ? ? → λ→ λ =(1-λ)AB+2AC=(1-λ)a+2b. → → → → → → m → → 又AG=AC+CG=AC+m CF=AC+ 2 (CA+CB) → m→ m =(1-m)AC+ 2 AB= 2 a+(1-m)b, m 1 - λ = , ? ? 2 ∴? λ 1 - m = ? ? 2, → 1 2 1 解得 λ=m=3,∴AG=3a+3b. 学生用书 第 70 页


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