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圆的标准方程教学设计

时间:2011-09-25


《圆的标准方程》教学设计 圆的标准方程》
丽水中等专业学校 徐丽君

一、教材分析 本节内容位于曲线的方程和方程之后,是求具体曲线的方程,是研究二次曲线的 开始,对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习,无论在知识上还是方法 上都有着积极的意义,所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用,是圆锥 曲线的前奏曲。 二、学情分析 圆的方程是学生

在初中学习了圆的概念和基本性质后,又掌握了求曲线方程的一 般方法的基础上进行研究的。 但由于学生学习解析几何的时间还不长、 学习程度较浅, 且对坐标法的运用还不够熟练,在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题 的能力,合作交流的意识等方面有待加强。 三、教法分析 本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学,即以启发式教学法为主,以讲练 结合法、谈话法等展开教学。为了充分调动学生学习的积极性,采用“问题-探究” 教学法,用环环相扣的问题将探究活动层层深入,使教师总是站在学生思维的最近发 展区上。在探究过程中,教师着眼于“导” ,采用问题驱动的形式,激发学生的求知欲 望;学生着眼与“探” ,通过探究发现规律,发展探索能力和创造能力。 四、学法分析 通过推导圆的标准方程,加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方 程,理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程,熟悉用 待定系数法求解的过程。 根据上述分析,考虑到学生已有的认知结构和心理特征,我制定如下教学目标: 五、教学目标 (1) 知识目标:①掌握圆的标准方程; ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出 圆的标准方程。 (2) 能力目标:①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力; ②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; ③培养学生自主探究的能力。 (3) 情感目标:①培养学生主动探究知识、合作交流的意识; ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。 六、教学重点与难点 (1)重点: 圆的标准方程的求法。 (2)难点:会根据不同的已知条件求圆的标准方程。 七、教学过程 创设情境(启迪思维) (一)创设情境(启迪思维)
1

问题一: 问题一:已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为 2.7m,高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道?
y 4

A

0

2.7

B

x

[引导] 画图建系 [学生活动]: 尝试写出曲线的方程 (对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习) 解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径 AB 所在直线为 x 轴,建立直角 坐标系,则半圆的方程为 x2+y2=16(y≥0) 将 x=2.7 代入,得

y = 16-2.7 2 = 8.71 < 3 .

即在离隧道中心线 2.7m 处, 隧道的高度低于货车的高度, 因此货车不能驶入这个隧道。 深入探究(获得新知) (二)深入探究(获得新知) y 问题二: . 问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 r 的圆 M(x,y) r 的方程?答:x2+y2=r2
0C

2.如果圆心在 (a, b) ,半径为 r 时又如何呢? .
y

x

[学生活动 探究圆的方程。 学生活动] 学生活动 [教师预设 方法一:坐标法 教师预设] 教师预设 如图,设 M(x,y)是圆上任意一点,根据定义点 M 到圆心 C 的距 离等于 r,所以圆 C 就是集合 P={M||MC|=r} 由两点间的距离公式,点 M 适合的条件可表示为
( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r

r C(a,b) 0

M(x,y)

x



把①式两边平方,得(x―a)2+(y―b)2=r2 方法二:图形变换法 方法三:向量平移法 教师引导学生观察方程,分析、归纳出方程的特征。 方程特征: 1)含有 a,b,r 三个参数; ( (2)已知方程可以找出圆心和半径。 应用举例(巩固提高) (三)应用举例(巩固提高) 直接应用(内化新知) I.直接应用(内化新知) 问题三: . 问题三:1.根据圆的方程写出圆心和半径 (1) ( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 5 ; 2.写出下列各圆的方程 .
2

(2 ) ( x + 2 ) 2 + y 2 = ( ? 2 ) 2 .

(1)圆心在原点,半径为 3; (2)圆心在 C (3,4) ,半径为 5 ; (3)经过点 P (5,1) ,圆心在点 C (8,?3) . II. II.灵活应用 提升能力 问题四 问题四 例 1:写出圆心为 A(2,-3),半径为 5 的圆的方程,并判断点 M(3,-2),

P(5,-7),Q(-1,3)是否在这个圆上。 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a )2 + ( y ? b)2 = r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 > r 2 ,点在圆外 (2) ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 = r 2 ,点在圆上 (3) ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 < r 2 ,点在圆内[来源:学科 例 2: ?ABC 的三个 顶点的坐标是 A(5,1), B (7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程
师生共同分析:从圆的标准方程 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 可知,要确定圆的标准方程,可用待定

系数法确定 a、b、r 三个参数。还可以先求圆心(是线段 AB 和线段 BC 的中垂线的交点) ,然后 求半径,代入圆的标准方程。

A(5,1) ( , ) O

x
B(7,-3) ( , )

C(2,-8) ( , )
解:设所求圆的方程是 ( x ? a )2 + ( y ? b)2 = r 2 . ①
3

因为 A(5,1), B (7, ?3), C (2, ?8) 都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①.于是

? a=2 ? 解此方程组, 得 ? b = ?3 ?r 2 = 25 ?
所以 ?ABC 的外接圆的方程是 ( x ? 2)2 + ( y + 3)2 = 25 .

例 3:已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y + 1 = 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程。

y A(1,1) ( , )

O C
l : x ? y +1 = 0

x B(2,-2) ( , )

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A ,B 两点的距离相等 ,所以圆心 C 在线段 AB 的垂直平 分线 m 上, 又圆心 C 在直线 l 上, 因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点, 半径长等于 CA 或 CB 。 (教师板书解题过程。 )

4

?3 1? 解法 1: 因为 A(1,1) ,B (2, ?2) , 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 ? , ? ? , 直线 AB ?2 2?

的斜率 k AB =

?2 ? 1 = ?3 . 2 ?1 1 1? 3? = ?x? ?, 2 3? 2?

因此线段 AB 的垂直平分线 m 的方程是 y + 即 x ? 3y ? 3 = 0 .

?x ? 3y ? 3 = 0 圆心 C 的坐标是方程组 ? 的解. ? x ? y +1 = 0 ? x = ?3 解此方程组,得 ? ? y = ?2 所以圆心 C 的坐标是 ( ?3, ?2 ) 圆心为 C 的圆的半径长 r = AC = (1 + 3)2 + (1 + 2) 2 = 5 . 所以圆心为 C 的圆的标准方程是 ( x + 3) 2 + ( y + 2) 2 = 25 . 解法 2:设所求圆的方程为 ( x ? a )2 + ( y ? b)2 = r 2 .由题意得

? a = ?3 ? 解得 ? b = ?2 ?r 2 = 25 ?
所以所求圆的方程是 ( x + 3) 2 + ( y + 2) 2 = 25 . 总结归纳: (教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2) 、例(3)可得出 ?ABC 外接 圆的标准方程的两种 求法:[来源:学科网 ZXXK] ① 根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的 标准方程. ②根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆 的标准方程. 反馈训练—— ——形成方法 (四)反馈训练——形成方法 问题五反馈练习 反馈练习: 问题五反馈练习:1.课本 P121 的练习 2、3(学生板演)
2.求过原点和点 P(1,1) ,且圆心在直线 2 x + 3 y + 1 = 0 上的圆的标准
5

方程. 小结反思—— ——拓展引申 (五)小结反思——拓展引申 1.课堂小结 课堂小结 把圆的标准方程、点与圆的关系加以小结,提炼数形结合的思想和待定系数的方法 (1)圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 ; 圆心在原点时,半径为 r 的圆的标准方程为: x 2 + y 2 = r 2 . (2) 求圆的方程的方法: ①公式法 ②待定系数法 (3)点与圆的位置关系 点 P ( x0 , y 0 ) 在圆外,则 ( x0 ? a ) + ( y 0 ? b ) > r 2
2 2

点 P ( x0 , y 0 ) 在圆上,则 ( x0 ? a ) + ( y 0 ? b ) = r 2
2 2

点 P ( x0 , y 0 ) 在圆内,则 ( x0 ? a ) + ( y 0 ? b ) < r 2
2 2

2.课后作业 课本 P12 4 的习题 4.1A 组 2、3、4 课后作业 3.激发新疑 激发新疑 问题六 1.把圆的标准方程展开后是什么形式? 2.方程 x 2 + y 2 ? 6 x + 8 y + 20 = 0 表示什么图形? 教学设计说明 圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究, 因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先,在已有圆 的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上,用实际问题引导学生探究获得圆的标准方 程,然后,利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应 用,增强学生用数学的意识。另外,为了培养学生的理性思维,我分别在引例和问题 四中,设计了两次由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力。在问题的设 计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学 生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意, 能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成. 本节课的设计了五个环节,以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的 指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以 学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观 察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维.提 高了能力、培养了兴趣、增强了信心。

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