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高一数学必修四三角恒等变换精选题。


教学目标:必修四三角恒等变换精选题。
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos? ? (sin ? ? cos? )
2 2 2

⑵ cos 2? ? cos

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos? ? 2 sin 2

? 升幂公式 1 ? cos? ? 2 cos2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? . ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

万能公式 : α α 2 tan 1 ? tan 2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2

3、 半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; s in ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α s inα 1 ? cos α tan ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α s inα

? (后两个不用判断符号,更加好用)

4、合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的

y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

5、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三 角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的 和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对 角的变形如:



① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

30 o ? ;问: sin ? 2 12

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??) ;

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1” 的代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90 o ? tan 45 o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。 常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无 理式 1 ? cos? 常用升幂化为有理式, 常用升幂公式有: ; ;

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan? 1 ? tan? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan? 1 ? tan?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;

2 tan? ?

; 1 ? tan ? ?
2

; ; ; = ; (其中

tan 20 o ? tan 40 o ? 3 tan 20 o tan 40 o ?

sin? ? cos? ? a sin? ? b cos? ?
tan ? ?
; )

=

1 ? cos? ?

; 1 ? cos? ?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特 殊值与特殊角的三角函数互化。



例题分析
1. ?ABC 中, sin B sin C ? cos
2

A ,试判断 ?ABC 的形状。 2

2.若 cos2 (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) ?

1 1 , (1 ? cos 2? )(1 ? cos 2 ? ) ? ,求 tan? tan ? 。 2 3

3.化简 cos ? ? cos (? ?
2 2

?

) ? cos2 (? ? ) 。 3 3

?

4.已知 ? , ? 为锐角,且 3 sin ? ? 2 sin ? ? 1 , 3 sin 2? ? 2 sin 2 ? ,求 ? ? 2 ? 的值。
2 2

5.已知

sin ? ? cos( ? ? ? ) ,其中 ? , ? 为锐角,求 tan ? 的最大值。 sin ?



6.求关于 x 的函数 y ? (a ? sin x)(a ? cos x) ( a ? 0 )的最大值与最小值。

7.已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 2m sin x ? 2m ? 2,0 ? x ? (1) f ( x) 的最大值 g (m) ; (2)求 g (m) 的最小值。

?
2

,求:

巩固练习
1.锐角三角形 ABC 中,有 (A)sinA>cosB (B)sinA>sinB (C)sinA<cosB (D)sinA<sinB 2.若 ? ? ? ? 2? ,则 (A) sin ( )

3 2

1 1 1 1 ? ? cos 2? 等于 2 2 2 2

( (D) ? cos



?
2

(B) cos

?
2

(C) ? cos

?
2

?
2

3.函数 y ? cos x ? cos(x ? (A) 2?

?
3

) 的最小正周期是
(C)





(B) ?

? 2
2

(D)

4. ? 、 ? 均为锐角, P ? cos? cos ? , Q ? cos (A) P ? Q 5.函数 y ? sin( (B) P ? Q

???
2

? 4
( )

,则 P 、 Q 的关系是 (D) P ? Q 。

(C) P ? Q

?
3

? 2 x) ? cos 2 x 的最小正周期是



6.函数 y ? 3 sin x ? 2 3 sin x cos x ? 5 cos x 在 [0, 7.函数 y ?

2

2

?
4

] 上的值域是
。 。



2 sin(2 x ? 10?) ? cos(2 x ? 55?) 的最大值是

8.化简 sin 2 ? ? cos? ? cos( ? ?) ? sin 2 (

? 3

? ? ?) = 6

9.已知函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? 3 cos(x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。

10.已知 tan(? ? ?) ?

1 1 , tan ? ? ? , ?, ? ? (??,0) ,求 2? ? ? 的值。 2 7

11.△ABC 中, A ? B ? 120? ,求函数 y ? cos A ? cos B 的值域。

2

2

12.求函数 f ( x) ? sin x ? a cos x ?

2

5 3 ? a ? (0 ? x ? ) 的最大值 g (a) ,并求 g (a) 的最小值。 8 2 2



一、选择题. 1、已知 cos ? ? ? ( ) A、 ?

3 12 ?? ? ,? ? ? , ? ? ,sin ? ? ? , ? 是第三象限角,则 cos ? ? ? ? ? 的值是( 5 13 ?2 ?

).

33 65

B、

63 65

C、

56 65

D、 ?

16 65

2 、 已 知 ( A、 ).

? 和 ? 都 是 锐 角 , 且 sin ? ?

5 4 , cos ?? ? ? ? ? ? , 则 sin ? 的 值 是 13 5 63 65

33 65
? ?

B、

16 65

C、

56 65

D、 , 且 cos ?

3 、 已 知 x ? ? 2 k ? ? ? , 2 k? ? ( ).

3 4

??
? 4?

?k ? Z ?

3 ?? ? ? x ? ? ? , 则 cos 2x 的 值 是 5 ?4 ?

24 7 D、 25 25 y 12 4 、 设 cos ? x ? y ? sin x ? sin ? x ? y ? cos x ? , 且 y 是 第 四 象 限 角 , 则 tan 的 值 是 2 13
A、 ? B、 ? C、 ( ).

7 25

24 25

A、 ?

2 3

B、 ?

3 2

C、 ?

3 2
).

D、 ?

2 3

5、函数 f ? x ? ? sin A、 ?

?
2

x ? cos

?
2

x 的最小正周期是(
C、 1

B、 2?

D、 2 ( ).

6、若函数 g ? x ? ? f ? x ? sin ?? x ? 为以 2 为最小正周期的奇函数,则函数 f ? x ? 可以是 A、 sin ? ? x ? B、 cos ?

?? ?2

? x? ?

C、 sin ?

?? ?2

? x? ?

D、 sin ?

?? ?2

? x? ?

7 、 要 得 到 函 数 y ? 2sin 2 x 的 图 像 , 只 需 要 将 函 数 y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 的 图 像 ( ).

? 个单位 6 ? C、向左平移 个单位 6
A、向右平移

? 个单位 12 ? D、向左平移 个单位 12
B、向右平移



8、已知 sin ?

?? cos 2 x ?? ? 12 ? ? 的值为( ? x ? ? ? ? x ? ? ,则式子 2? ?? ? ?4 ? 13 ? 4 cos ? ? x ? ?4 ?
B、



A、 ?

10 13

24 13

C、

5 13

D、 ?

12 13

x x ( ) ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 2 2 11 5? 5? ? A、 x ? ? B、 x ? C、 x ? ? D、 x ? ? 3 3 3 3 1 ? cos x ? sin x 10、已知 ( ) ? ?2 ,则 sin x 的值为 1 ? cos x ? sin x
9、函数 y ? sin A、

4 5
? ?

B、 ?

4 5

C、 ?

3 5

D、 ?

15 5

11 、 已 知 ? ? ? 0, ( A、 ? )

??

1 1 ? , ? ? ? 0, ? ? , 且 tan ?? ? ? ? ? , tan ? ? ? , 则 2? ? ? 的 值 是 4? 2 7 2? 3 7? 12 3? 4

5? 6

B、 ?

C、 ?

D、 ?

12、已知不等式 f ? x ? ? 3 2 sin 则实数 m 的取值范围是 A、 m ?

x x x 6 5? ? cos ? 6 cos 2 ? ? m ? 0 对于任意的 ? ? x ? 恒成立, 4 4 4 2 6 6
( ) D、 ? 3 ? m ? 3

3

B、 m ?

3

C、 m ? ? 3

二、填空题. 13、已知 sin x ?

1 , sin ? x ? y ? ? 1 ,则 sin ? 2 y ? x ? ? 3
?? ? ? x ? ? 3 的最小值是 ?4 ?

14、函数 y ? sin 2 x ? 2 2 cos ? 15、函数 y ?

1 ? cosx 图像的对称中心是(写出通式) sin x

16、关于函数 f ? x ? ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题: ①、若存在 x1 , x2 有 x1 ? x2 ? ? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ②、 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? , 上是单调递增; ? 6 3? ?



③、函数 f ? x ? 的图像关于点 ?

?? ? , 0 ? 成中心对称图像; ? 12 ?

④、将函数 f ? x ? 的图像向左平移

5? 个单位后将与 y ? 2sin 2 x 的图像重合.其中正确的命题序号 12

(注:把你认为正确的序号都填上) 三、解答题 17、已知 0 ? ? ?

?
2

, tan

?
2

?

1 tan

?
2

?

?? 5 ? ,试求 sin ? ? ? ? 的值. 3? 2 ?

sin 2? ? 2 cos 2 ? 1 ?? ? 18、已知 tan ? ? ? ? ? ? ,试求式子 的值. 1 ? tan ? 2 ?4 ?

? ? ? 1 2 1 x? 3 19,已知 x ? R , f ? x ? ? sin x ? ? tan ? ? cos 2 x . x 2 2 2 ? tan ? ? 2 ?
(1) 若 0 ? x ? (2) 若 f ? x ? ?

?
2

,求 f ? x ? 的单调的递减区间;

3 ,求 x 的值. 2



20、已知函数 f ? x ? 满足下列关系式: (i)对于任意的 x, y ? R ,恒有

?? ? 2 f ? x? f ? y? ? f ? ? x ? y ? ? ?2 ?
(ii) f ?

?? ? f ? ? x? y?; ?2 ?

?? ? ? ?1. ?2?

求证: (1) f ? 0 ? ? 0 ; (2) f ? x ? 为奇函数; (3) f ? x ? 是以 2? 为周期的周期函数.



一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请将正确答案代号填在答题卡上) ? 12 3? 1.已知 cos? ? , ? ? ( ,2? ) ,则 cos(? ? ) ? ( ) 4 13 2 A.
5 2 13

B.

7 2 13

C.

17 2 26

D.

7 2 26

2.若均 ? , ? 为锐角, sin? ?
2 5 5 2 5 25

2 5 3 , sin(? ? ? ) ? , 则cos? ? ( 5 5
2 5 2 5 或 5 25



A.

B.
? sin

C.

D. ? )

2 5 5

3. (cos A.
?

?
12
3 2
0

?
12

)(cos
? 1 2

?
12

? sin
1 2
0

?
12

) ?(

B.
0

C.

D.
0

3 2


4. tan70 ? tan50 ? 3tan70 tan50 ? (

A.

3

B.

3 3

C.

?

3 3


D.

? 3

5.

2sin2? cos2? ? ?( 1 ? cos2 ? cos2 ?

A.

tan?

B.

tan2 ?

C. 1 D.

1 2


6.函数 f ( x) ? A.在 [0,

1 ? cos 2 x ,则( cos x

? 3? 3? ), ( , ? ]上递增, 在[? , ), ( ,2? ]上递减 , 2 2 2 2 ? 3? ? 3? B. .在 [0, ), [? , )上递增, 在( , ? ], ( ,2? ]上递减 2 2 2 2 ? 3? ? 3? C. .在 ( , ? ], ( ,2? ]上递增, 在[0, ), [? , )上递减 2 2 2 2 3? 3? ? ? D.在 [? , ), ( ,2? ]上递增, 在[0, ), ( , ? ]上递减 2 2 2 2 3 ? 0 0 7.已知 cos? ? ? , 且180 ? ? ? 270 , 则tan 的值为 ( 5 2 1 A. 2 B. -2 C. ? 2 D. ? 2

?



8. 若 3 sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin(x ? ? ), ? ? (?? .? ) ,则 ? ? (
10



A.

?

? 6

B.

? 6

C.

5? 6

D. ?

5? 6


9. 设? ? (0, ? ), sin ? ? cos? ?

1 ,则cos2 ?的值是 ( 3
17 9
D.

A.

17 9

B.

-2 2 3

C. ?

17 17 或? 9 9


10.在(0,2 ? )内, sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围( A. (

5? ? ? 5 ? 5? 3? , ) ? (? ; ) B. ( , ? ) C. ( , ? ) D. ( , ? ) ? ( , ) 4 4 2 4 4 4 4 4 2 ? 2? 3? 4? 5? 11. 求 cos cos cos cos cos ? 11 11 11 11 11 1 1 A. B. C. 1 D. 0 5 2 24 7 2 12. 函数 y ? cos x ? sin x ? cos 2 x ? 的最大值为( ) 4 4 11 15 A. B. 2 C. D. 4 7 4 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

? ?

13.已知 ? , ? 为锐角, cos? ?

1 10

, cos? ?

1 5

, 则? ? ?的值为
sin(? ? ? ) ? cos( ? ? ?)



14. 如果 tan?、tan?是方程x 2 ? 3x ? 3 ? 0的两根, 那么 15.若 sin



?

3 ? 4 ? , cos ? ? ,则角 ? 的终边在 2 5 2 5

象限

2cos100 ? sin200 16.代数式 = cos200



三.解答题(共 6 个小题,满分 74 分)
1 17. (本小题 12 分)化简: sin(? ? ? ) cos? ? [sin(2? ? ? ) ? sin ? ] 2

3 5 18. (本小题 12 分)△ABC 中,已知 cosA ? , sinB ? , 求sinC的值 5 13
11

19. (本小题 10 分)已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 求sin2? 4 13 5

2 20. (本小题 12 分) 、求证: tan x ?

2(3 ? cos 4 x) 1 ? 2 1 ? cos 4 x tan x

? 1 1 21. (本小题 12 分)已知 ? ? (0, ), ? ? (0, ? ), 且 tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ? ,求 tan(2? ? ? ) 的 4 2 7
值及角 2? ? ?

x x ? x ? x ? 22. (本小题 14 分)已知向量 a ? (2cos , tan( ? )) , b ? ( 2sin( ? ), tan( ? )) ,令 2 2 4 2 4 2 4
12

f ( x) ? a ? b ,试求函数 f ( x) 的最大值,最小正周期,并写出 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调区间。

高考链接:
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分) 1.(2007 全国Ⅰ文)α 是第四象限角,cosα = (A)
5 13 5 13
5 12 12 ,则 sinα =( 13 5 (D)12



(B)-

(C)

2.(2005 北京文、理)对任意的锐角 α ,β ,下列不等关系中正确的是( ) (A)sin(α +β )>sinα +sinβ (B)sin(α +β )>cosα +cosβ (C)cos(α +β )<sinα +sinβ (D)cos(α +β )<cosα +cosβ 3. (2002 春招北京文、理)若角?满足条件 sin2?<0,cos?–sin?<0,则?在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3 ? ? 4(2006 福建理、文)已知 ? ∈( , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于( ) 5 2 4 1 1 A. B.7 C.- D.-7 7 7 3 ? sin 700 5、(2008 海南、宁夏理) =( ) 2 ? cos 2 100 2 3 1 A. B. C. 2 D. 2 2 2 ? ? ? ? 6. (2005 重庆文) (cos ? sin )(cos ? sin ) ? ( ) 12 12 12 12 3 3 1 1 A. ? B. ? C. D. 2 2 2 2 7.(2004 春招安徽文、理)若 f(sinx)=2-cos2x,则 f(cosx)=( ) A.2-sin2x B.2+sin2x C.2-cos2x D.2+cos2x 8. (2002 北京文、理)在平面直角坐标系中,已知两点 A(cos80?, sin 80?), B(cos 20?, sin 20?) , 则|AB|的值是( ) A. 1
2

B. 2
2

C. 3
2

D.1

13

9. (2006 辽宁文)已知等腰 △ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A 的正切值是(
15 15 D. 8 7 cos 2? 2 ?? 10.(2007 海南、宁夏文、理)若 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?



A.

3 2

B. 3

C.



7 7 1 1 B. ? C. D. 2 2 2 2 二.填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 11. (2004 湖北文)tan2010°的值为 . 12.(2008 北京文)若角α 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2α 的值为 . ? ? ? ) ? sin(? ? ? ), 则 tan? ? 13. (2005 重庆文、理)已知 ? , ? 均为锐角,且 cos( . 1 ? 3? 14.(2007 浙江理)已知 sin ? ? cos ? ? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 ________ . 5 2 4 三、解答题: (15、16 两题分别 12 分,其余各题分别 14 分,计 80 分) ? ? 6sin ? ? cos ? 15.(2005 北京文) 已知 tan =2,求: (I) tan(? ? ) 的值; (II) 的 2 4 3sin ? ? 2cos ? 值.

A. ?

sin(? ? ) 15 4 ,求 16. (2004 全国Ⅳ卷文、理)已知α 为第二象限角,且 sinα = 的 4 sin 2? ? cos 2? ? 1 值.

?

17. (2005 福建文)已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

(Ⅰ)求 sin x ? cos x 的值;

1 . 5 sin 2 x ? 2 sin 2 x (Ⅱ)求 的值. 1 ? tan x

14

?? ?? 3 ? 3? ? ? 18. (2002 全国新课程理,天津理)已知 cos? ? ? ? ? , ? ? ? 求 cos? 2? ? ? 的值 4? 4? 5 2 2 ? ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

19.(2008 四川文、理) 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos 2 x ? 4cos 4 x 的最大值与最小值。

15

16


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