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2009年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮) 大专题精品专辑:第四辑——概率与统计(教师妙拨专版)


2009 年江西省芦溪中学 高三数学复习(二轮) 《概率与统计》 大专题
(教师巧拨专版)
一、专题热点透析 本专题是高考数学的重点考查内容之一,是高考考查的热点。排列、组合、二项式定理及概率以其独 特的研究对象和研究方法,在中学数学中占有特殊的地位,是高考中相对独立的内容,不论是思考方法还 是解题技巧,与其它章节都有很大的不同。高考对排列、组合和概率要求的特

点是基础和全面。综观近年 来高考题,都是以考查基本概念、基本知识和基本运算为主,能力要求主要是考查分析问题和解决问题为 主。本专题重点考查分类讨论思想,化归思想和模型化思维方法,学习时应注意发散思维和逆向思维,通 过分类、分步把复杂问题分解,恰当地应用集合观点、整体思想,从全集、补集等入手,使问题简化。 二、热点题型范例 题型一、排列、组合综合问题 例 1.错误!未找到引用源。将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列,记第 i 个数为 ai (i ? 1 2, , ,若 a1 ? 1 , ,? 6)

a3 ? 3 , a5 ? 5 , a1 ? a3 ? a5 ,则不同的排列方法种数为( B )
A.18 B.30 C.36 D.48

错误!未找到引用源。某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图 所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同 色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种. 216

错误!未找到引用源。某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的 8 种,1 元 1 本的 3 种.小张用 10 元钱买杂志(每 种至多买一本,10 元钱刚好用完),则不同买法的种数是__________.266 变式: 1.如图一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块内 种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( B ) B A.96 B.84 C.60 D.48 A D C

2.12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相 对顺序不变,则不同调整方法的总数是( C )
2 2 A. C8 A3 2 6 B. C8 A6 2 2 C. C8 A6 2 2 D. C8 A5

题型二、二项式定理的应用 例 2.①若对于任意实数 x ,有 x ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) ? a3 ( x ? 2) ,则 a2 的值为( B )
3 2 3

A. 3
n

B. 6

C. 9

D. 12

2? ? ②如果 ? 3 x 2 ? 3 ? 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( C ) x ? ?
第 1 页 共 7 页

A.10 变式:

B.6

C.5

D.3

9 1 . 设 ( x2 ? 1)( 2 ? 1) ? a ? a ( ? 2) a x ? 2 ? x ? 2 ( 2)? 0 1 x

?a1 x ? 1 2) 则 a0 ? a1 ? a2 ?? ? a1 1的 值 为 ( 1, 1

( A ) A. ?2
3 4

B. ?1

C. 1

D. 2

2. ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 2 的系数为___________ -6 题型三、概率计算问题 例 3.为做好食品安全工作,上级质检部门决定对甲、乙两地的出口食品加工企业进行一次抽检.已知甲地 有蔬菜加工企业 2 家,水产品加工企业 3 家;乙地有蔬菜加工企业 3 家,水产品加工企业 4 家,现从甲、 乙两地各任意抽取 2 家企业进行检查. ①求抽出的 4 家企业中恰有一家为蔬菜加工企业的概率; ②求抽出的水产品加工企业的家数不少于蔬菜加工企业家数的概率.
1 1 0 2 0 1 1 C2C3 ? C3 C4 C2 C32 ? C3C4 12 解:① P ? ? ? 2 2 C52C7 C52C7 15 1 1 0 2 2 2 C2C3C3 C4 ? C2 C4 ? C32C32 87 C1C1C 0C 2 ? C 0C 3C1C1 72 , P ? 2 3 3 4 2 22 3 3 4 ? , ? 2 2 C52C7 210 C5 C7 210

②P ? 1

P3 ?

2 C32C4 18 ? 2 2 C5 C7 210

, P ? P ? P2 ? P ? 1 3

59 70

例 4.某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试。已知 每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试,科目 A 每次 考试成绩合格的概率均为 影响. (1)求他不需要补考就可获得证书的概率; (2)求他在这项考试过程中,恰好参加了一次补考且获得证书的概率。 解: 设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1 ,“科目 A 补考合格”为事件 A2;“科目 B 第一次考试合格” 为事件 B1 ,“科目 B 补考合格”为事件 B2 , (1)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立,

2 1 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 。假设各次考试成绩合格与否均互不 3 2

2 1 1 ? ? 3 2 3 2 1 1 1 2 1 5 (2) P ? P ( A1 ? B1 ? B2 ) ? P ( A1 ? A2 ? B1 ) ? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 3 3 2 18
则该考生不需要补考就获得证书的概率为 P ( A1 ? B1 ) ? 变式: 1.甲、乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别是 0.7 , 0.6 ,且每次试跳成功与否相互之间
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没有影响,求: (Ⅰ)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (Ⅲ)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 解: “甲第 i 次试跳成功” 记 为事件 Ai , “乙第 i 次试跳成功” 为事件 Bi , 依题意得 P( Ai ) ? 0.7 , ( Bi ) ? 0.6 , P

2, 且 Ai , Bi ( i ? 1, 3 )相互独立.
(Ⅰ)“甲第三次试跳才成功”为事件 A1 A2 A3 ,且三次试跳相互独立,

? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? 0.3? 0.3? 0.7 ? 0.063.
(Ⅱ)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C .

?C ? A1 B1 ? A1B1 ? A1B1 ,且 A1 B1 , A1B1 , A1B1 彼此互斥, ? P(C) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A1 )P(B1) ? P( A1)P(B1)
? 0.7 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.88 .
(Ⅲ)“甲在两次试跳中成功 i 次” 设 为事件 Mi (i ? 0,2) ,乙在两次试跳中成功 i 次” 为事件 Ni (i ? 0,2) , 1 “ , 1,

? 事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1 N0 ? M 2 N1 ,且 M1 N0 , M 2 N1
为互斥事件,? 所求的概率为 P(M1 N0 ? M 2 N1 ) ? P(M1N0 ) ? P(M 2 N1 )
1 1 ? P(M1 ) P( N0 ) ? P(M 2 ) P( N1 ) ? C2 ? 0.7 ? 0.3? 0.42 ? 0.72 ? C2 ? 0.6 ? 0.4

? 0.0672 ? 0.2352 ? 0.3024
2.盒子里装有大小相同的球 8 个,其中三个 1 号球,三个 2 号球,两个 3 号球,第一次从盒子中先任取 一个球,放回后第二次再任取一个球。 (1)求第一次与第二次取到的球上的号码的和是 4 的概率; (2)记第一次与第二次取到的球的号码的积小于 6 的概率。 解:(1)记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是 4”为事件 A,则 P( A) ? 2 ? ?

3 2 3 3 21 ? ? ? 8 8 8 8 64 ,

所以第一次与第二次取到的球上的号码的和是 4 的概率是

21 64

(2)记“第一次与第二次取到的球的号码的积小于 6”为事件 B,则 P ( B) ? 1 ?

3 1 3 ? ? 16 16 4 ,

所以第一次与第二次取到的球的号码的积小于 6 的概率 题型四、抽样方法与统计问题

3 4

例 5.①为了了解某学校学生的身体发育情况,抽查了该校 100 名高中男生的体重情况,根据所得数据画
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出样本的频率分布直方图如右图所示.根据此图,估计该校 2000 名高中男生中体重大于 70.5 公斤的人数 为( B ) A.300 B.360 C.420 D.450

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率 组距

体重(kg) 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 ②某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种, 现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油 类与果蔬类食品种数之和是( C ) (A)4 变式: 1.一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人.为了调查职工的健康 状 况 , 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 全 体 职 工 中 抽 取 一 个 容 量 为 25 的 样 本 , 应 抽 取 超 过 45 岁 的 职 工 ________________人.10 2.某交高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取 25 人, 从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是 ( D ) (A)简单随机抽样法 反馈练习 1.如右图,机器人亮亮从 A 地移动到 B 地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从 A 移动到 B 最近的走法 共有( B )种。 A.36 B.60 C.80 D.59 (B)抽签法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法 (B)5 (C)6 (D)7

2.为了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树林的底 部周长 (单位: cm) 根据所得数据画出样本的频率分布直方图 。 (如 右) 那么在这 100 株树木中, , 底部周长小于 110cm 的株数是 C ) ( A、30 B、60 C、70 D、80

频率 组距
0.04

0.02 0.01

3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先
第 4 页 共 7 页

80

90

100 110 120 130

周长 ? cm ?

赢 2 局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率是( D ) (A) 0.216 (B)0.36 (C)0.432 (D)0.648

4.将 5 本不同的书全发给 4 名同学,每名同学至少有一本书的概率是( A )

24 48 D. 125 125 , 3, 5, 7, 5.一袋中装有大小相同,编号分别为 1 2,4,6, 8 的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取 2 次, ...
A.

15 64

B.

15 128

C.

则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( D ) ... A.

1 32

B.

1 64

C.

3 32

D.

3 64

6.已知 (1 ? x) 5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,则( a0 ? a2 ? a4 )(a1 ? a3 ? a5 ) 的值等于 -256

1 ? ? 7. 二项式 ? x ? 则展开式中系数最大的项是 ? 的展开式的各项系数和大于 32 小于 128, 3 x? ?
3 10
2 11

n

1

. 20 x 2

8.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从 中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为 .

9.一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球.若 从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为
2 3 4 5 10.在五个数字 1,,,, 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是





3 10

11.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选 择参加一项培训、 参加两项培训或不参加培训, 已知参加过财会培训的有 60%, 参加过计算机培训的有 75%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (II)任选 3 名下岗人员,求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率. 解:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A ,“该人参加过计算机培训”为事件 B ,由 题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (I)任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是 P ? P( A? ) ? P( A)? (B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 B P 1 所以该人参加过培训的概率是 1 ? P ? 1 ? 0.1 ? 0.9 . 1
2 (II)任选 3 名下岗人员,3 人中只有 2 人参加过培训的概率是 P ? C3 ? 0.92 ? 0.1 ? 0.243 . 4

3 人 都 参 加 过 培 训 的 概 率 是 P ? 0.93 ? 0.729 . 所 以 3 人 中 至 少 有 2 人 参 加 过 培 训 的 概 率 是 3

P ? P ? 0.243 ? 0.729 ? 0.972 . 4 5
12.栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗,然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为 0.6 , .. ..
第 5 页 共 7 页

0.5 ,移栽后成活的概率分别为 0.7 , 0.9 . ..
(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率; .. (2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率. .. .. 解:分别记甲、乙两种果树成苗为事件 A , A2 ;分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件 B1 , B2 , 1

P( A1 ) ? 0.6 , P( A2 ) ? 0.5 , P( B1 ) ? 0.7 , P( B2 ) ? 0.9 .
(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

P( A1 ? A2 ) ? 1? P( A1 ?A2 ) ? 1? 0.4 ? 0.5 ? 0.8 ;
( 2 ) 分 别 记 两 种 果 树 培 育 成 苗 且 移 栽 成 活 为 事 件 A,B , 则 P( A) ? P( A B1 ) ? 0.42 , 1

P( B) ? P( A2 B2 ) ? 0.45 .恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

P( AB ? AB) ? 0.42 ? 0.55 ? 0.58? 0.45 ? 0.492 .
13.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已 知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 答互不影响. (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 解:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1 2,4) ,则 P ( A1 ) ? ,3,

4 3 2 1 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回 5 5 5 5

4 5

3 2 1 , P ( A3 ) ? , P ( A4 ) ? ,? 该选手进入第四轮才被淘汰的概率 5 5 5 4 3 2 4 96 P4 ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( P4 ) ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 625 P ( A2 ) ?
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率

P ? P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 3
? 1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125

14.设进入健身中心的每一位健身者选择甲种健身项目的概率是 0.6 ,选择乙种健身项目的概率是 0.5 , 且选择甲种与选择乙种健身项目相互独立,各位健身者之间选择健身项目是相互独立的。 (Ⅰ)求进入该健身中心的 1 位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率; (Ⅱ)求进入该健身中心的 4 位健身者中,至少有 2 位既未选择甲种又未选择乙种健身项目的概率。 解:(Ⅰ)记 A 表示事件:进入该健身中心的 1 位健身者选择的是甲种项目,B 表示事件:进入该健身中 心的 1 位健身者选择的是乙种项目,则事件 A 与事件 B 相互独立,P(A)= 0.6 ,P(B)= 0.5 。 故 进 入 该 健 身 中 心 的 1 位 健 身 者 选 择 甲 、 乙 两 种 项 目 中 的 一 项 的 概 率 为 : P A? B ? A? B =

?

?

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P A ? B ? P A ? B =P(A) P B + P A P ? B ? = 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 。
(Ⅱ)记C表示事件:进入该健身中心的1位健身者既未选择甲种又未选择乙种健身项目,D表示事件:进 入该健身中心的4位健身者中,至少有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目,A2表示事件:进入该健身 中心的4位健身者中恰有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目,A3表示事件:进入该健身中心的4位健身 者中恰有3位既未选择甲种又未选择乙种健身项目,A4表示事件:进入该健身中心的4位健身者中恰有4位既 未选择甲种又未选择乙种健身项目,则P(C)= P A ? B ? P A P (B ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.2 ,
2 P ? A2 ? ? C4 ? 0.22 ? 0.82 ? 0.1536 ,

?

? ?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

3 P ? A3 ? ? C4 ? 0.23 ? 0.8 ? 0.0256 , P A ? 0.24 ? 0.0016 ? 4?

P ? D? ? P ? A2 ? A3 ? A4 ? ? P ? A2 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? 0.1808 。

第 7 页 共 7 页


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