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江苏省致远中学高三数学周练2


江苏省致远中学 2015 届高三数学周练 2(文科)
命题:郑先达 审校:尤文杰 班级: 姓名: 一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. tan( ?

?
4

) ? ___________.

2. sin137? cos13? ? cos 77? cos 43?

? ___. 3.若集合

A ? {3, 2a }, B ? {a, b}, A B ? {2} ,
则A

B ? ___________.
0

4.若 ? 为第四象限角,则角 180 ? ? 所在的象限是第 5.化简:

象限.

sin15? ? cos150 ? ___________. sin15? ? cos150

6.已知 tan ? ? ?2 ,则

sin 2 ? ? 2sin ? ? cos ? ? 3cos 2 ? ? __.
2 7. “ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? x ? ax 在 (0, ??) 上是增函数”的

条件(选填

“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要” ) . 8.函数

y ? A sin??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ? 的图像的一部分如图所示,则此函数的解析式
为 .
0.5

9





?1? a ? ? ? , b ? 0.30.5 , c ? log0.3 0.2 , 则 ?2?


a, b, c 的大小关系是

10.已知 A, B 均为钝角,且 sin A ?

10 5 , sin B ? ,则 A ? B ? ___________. 10 5

11.

1 3 的值是 ? sin 10? sin 80?

1

12.设 ? 为锐角,若 cos(? ?

?
3

)?

4 5? ? ? ,则 sin ? 2? ? ? ? ___________. 5 12 ? ?

13.关于函数 f ( x) ? 4sin(2 x ?

?
3

)( x ? R ) ,有下列命题:

①由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 可得 x1 ? x2 必是 ? 的整数倍; ② y ? f ( x) 的表达式可改写为 y ? 4 cos(2 x ? ③ y ? f ( x) 的图象关于点 ( ?

?
6

);

?
6

, 0) 对称;

④ y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 其中正确的命题的序号是

?
6

对称.

(注:把你认为正确的命题的序号都填上) .

14.定义在 R 上的函数 f ( x) ? x (ax ? 3) ,
2

若函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x), x ?[0, 2] 在 x ? 0 处取得最大值,则实数 a 的取值范围是 ___________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15 .已知角 ? 的顶点在原点,始边为 x 轴的正半轴, P ? ?3, y ? 是其终边上一点,且

4 ? y ? 0? . 5 (1)求 cos? 和 tan ? 的值; sin? ?

cos(? ? ? ) ? cos( ? ? ) 2 (2)计算 的值. tan(2? ? ? )

?

2

16.已知 ?、? 均为锐角,且 sin ? ? (1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)求 sin ? 的值.

3 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3

17.已知函数

f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 ? x ? R ? .
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期及在区间 ? 0, (2)若 f ? x0 ? ?

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? .求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

解析: (Ⅰ)由

f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1得
f ? x ? ? 3 ? 2sin x cos x ? ? ? 2 cos 2 x ? 1? ?
2? T ? ? ? .因为 所以函数的最小正周期为 ? ? ? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ?

6?

3

? ? ? 7? ? ? ?? x ? ?0, ? ,所以 2 x ? ? ? , ? . 6 ?6 6 ? ? 2?
所以当 2 x ?

?
6 ?

?

?
2

即当 x ?

?
6

时,函数 f ? x ?max ? f ?

? ?? ? ? ? 2sin ? 2 ; 2 ?6?

当 2x ?

?
6

7? ? 7? ?? ? 即当 x ? 时,函数 f ? x ?min ? f ? ? ? 2sin ?? ?1 . 6 2 6 ?2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x0 ? ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??

6 ?? 3 ? ? ,又 f ? x0 ? ? 5 ,则 sin ? 2 x0 ? ? ? . 6? 6? 5 ?

因为 x0 ? ?

?? ? ? 2? 7? ? ? ?? ? ? , ? ,则 2 x0 ? ? ? , ? ,因此 cos ? 2 x0 ? ? ? 0 , 6? 6 ? 3 6 ? ? ?4 2?

所以 cos ? 2 x0 ?

? ?

??

4 ??? , 6? 5

于是 cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ?

?? ??

?? ??

, ?? 6 ? 6? ?

?? ? ?? ? 4 3 3 1 3?4 3 ? ? . ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? ? ? 5 2 5 2 10 6? 6 6? 6 ? ?

18.函数 f ( x) ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2sin x 的最小值 g (a ) , a ? R ,
2

(1)求 g (a ) ;
4

(2)若 g ( a ) ?

1 ,求 a 及此时 f ( x ) 的最大值. 2

解: (1)f(x)=1-2a-2acosx-2(1-cos2x) =2cos2x-2acosx-1-2a =2(cosx- 若
a 2 a2 )- -2a-1。 2 2

a <-1,即 a<-2,则当 cosx=-1 时, 2 a 2 a2 )- -2a-1=1; 2 2

f(x)有最小值 g(a)=2(-1- 若-1≤ 若

a2 a a ≤1,即-2≤a≤2,则当 cosx= 时,f(x)有最小值 g(a)=- -2a-1; 2 2 2

a >1,即 a>2,则当 cosx=1 时,f(x)有最小值 2 a 2 a2 )- -2a-1=1-4a. 2 2

g(a)=2(1-

(a ? ?2), ?1 ? 2 ? a ∴g(a)= ?? ? 2a ? 1 ( ? 2 ? a ? 2), ? 2 (a ? 2) . ?1 ? 4a ?
a2 1 1 1 ,由所求 g(a)的提示式知只能是- -2a-1= 或 1-4a= . 2 2 2 2

(2)若 g(a)=

?? 2 ? a ? 2 ? 由 ? a2 。 1 ? a=-1 或 a=-3(舍) ? 2a ? 1 ? ?? 2 ? 2

?a ? 2 1 ? 由? 。 1 ? a= (舍) 8 1 ? 4 a ? ? 2 ?
此时 f(x)=2(cosx+ ∴若 g(a)=
1 2 1 ) + ,得 f(x)max=5。 2 2

1 ,应 a=-1,此时 f(x)的最大值是 5。 2

5

19.如图,在半径为 2、圆心角为 90 的扇形 AOB 的 AB 弧上任取一点 P ,作扇形内接矩 形 PMON ,使 M 点在 OA 上,点 N 在 OB 上,在弧 AP 上取点 Q 作直角梯形 PQRM , 使 R 点在线段 AM 上. (1)求矩形 PMON 面积的最大值及面积最大时 ?BOP 的大小; (2)在矩形 PMON 面积取得最大值时,求直角梯形 PQRM 面积的最大值.

解: (1)设

?BOP ? ? ,则

PM ? 2cos ? , PN ? 2sin ? ,

SPMON ? PM PN ? 2cos? 2sin ? ? 2sin 2? ,
∴当 2? ?

?
2

,即 ? ?

?
4

时, Smax ? 2 .

(2)连接 OQ ,由(1)知,矩形 PMON 面积的最大值时, PM ? 2, MO ? 2 . 过 Q 点作 QS ? OB 垂足为 S,设

?BOQ ? ? , ? ? ( , ) . 4 2
在 Rt ?QOS 中,有

? ?

QS ? 2sin ? , OS ? 2cos ? ,
则 RQ ? 2cos ? , RM ? 2sin ? ? 2 , ∴ S梯形QPMR ?

1 (2 cos ? ? 2)(2sin ? ? 2) 2
6

? 2sin ? cos ? ? 2(sin ? ? cos ? ) ?1

令 t ? sin ? ? cos ? ? ∵? ? (

? ?

2 sin(? ? ) , 4

?

, ) ,∴ t ? (0,1) , 4 2
2

此时 2sin ? cos ? ? 1 ? t ,则

S梯形QPMR ? ?t 2 ? 2t ? ?(t ?

2 2 1 ) ? , 2 2

当t ?

5? 1 2 即? ? 时, S梯形QPMR 的最大值为 . 12 2 2

20.设 f ( x) ?

a ? x ln x, g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 . x

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足该条件的最大整数 M ; (3)如果对任意的 s, t ? ? , 2 ? 都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 2

?1 ?

? ?

7


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