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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 函数的奇偶性与周期性


§2.4

函数的奇偶性与周期性

[高考调研 考纲解读 ?结合具体函数, 了解函数奇偶性的 含义. ?会运用函数的图 像理解和研究函数 的奇偶性.

明确考向] 考情分析

?函数的奇偶性是高考考查的热点. ?函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图 像特点解决相关问题、利用函数奇偶 性、周期性求函数值及

求参数值等问 题是重点,也是难点. ?题型以选择题和填空题为主,还可与 函数单调性等其他知识点交汇命题.

知识梳理 1.函数的奇偶性的概念与图像特征 (1)一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 1 有□______________,那么函数f(x)就叫做偶函数.

(2)一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 2 有□______________,那么函数f(x)就叫做奇函数. 3 (3)奇函数的图像关于 □ __________对称;偶函数的图 4 像关于□____________对称.

2.奇函数、偶函数的性质 5 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 □ _____, 6 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性□____________. 7 (2)若f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则□________. (3)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|).

3.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数 8 T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=□ ______,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称非零常数T为 这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在 9 10 一个 □ ______的正数,那么这个 □ ______正数就叫做f(x) 的最小正周期.

1 答案: □ f(-x)=f(x)

2 3 □ f(-x)=-f(x) □ 原点

4 5 6 7 8 9 □y轴 □相同 □ 相反 □f(0)=0 □f(x) □ 最小 10 □最小

名师微博 ●一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不 充分条件.

●两个性质 (1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0. (2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公 共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶, 奇×偶=奇.

●三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2) 图像法;(3)性质法. ●三条结论 (1)若对于R上的任意的x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a +x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)= f(x)(其中a<b),则:y=f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数.

1 1 (3)若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)= 或f(x+a)=- ,那 f?x? f?x? 么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=2a; (4)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数, 其中一个周期为T=2|a-b|.

基础自测 1.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-
? 5? x),则f?-2?=( ? ?

) 1 B.- 4 1 D. 2

1 A.- 2 1 C. 4

解析:因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f
?1? 1 ? ?=- ,选A. =-f 2 2 ? ?

? 5? ?- ? ? 2?

=-f

?5? ? ? ?2?

答案:A

1 2.f(x)= x-x的图像关于( A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称

)

解析:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)=
?1 ? 1 -(-x)=- ?x-x? =-f(x),则f(x)为奇函数,图像关于原 -x ? ?

点对称.

答案:C

3.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下 列结论恒成立的是( ) B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数

解析:由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数,A项:偶+偶= 偶;B项:偶-偶=偶,B错;C,D项:分别为偶+奇= 偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选A.

答案:A

4.对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z), 选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果 一定不可能是( A.4和6 C.2和4 ) B.3和1 D.1和2

解析:∵f(1)=asin1+b+c,f(-1)=-asin1-b+c且c ∈Z, ∴f(1)+f(-1)=2c是偶数,只有D项中两数和为奇数, 故不可能是D.

答案:D

5.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= __________.

解析:方法一:∵f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立, ∴|-x+a|=|x+a|对于x∈R恒成立,两边平方整理得ax =0对于x∈R恒成立,故a=0. 方法二:由f(-1)=f(1),得|a-1|=|a+1|,得a=0.

答案:0

考点一

判断函数的奇偶性

[例1]

下列函数:①f(x)= 1-x2 + x2-1 ;②f(x)=x3-

3x-3-x 1-x 2 x;③f(x)=ln(x+ x +1);④f(x)= 2 ;⑤f(x)=ln .其 1+x 中奇函数的个数是( A.2 ) B.3 C.4 D.5

解析:①f(x)= 1-x2 + x2-1 的定义域为{-1,1},又 f(-x)=± f(x)=0,则f(x)= 1-x2+ x2-1是奇函数,也是偶 函数; ②f(x)=x3-x的定义域为R,又f(-x)=(-x)3-(-x)=- (x3-x)=-f(x),则f(x)=x3-x是奇函数;

③由x+ x2+1 >x+|x|≥0知f(x)=ln(x+ x2+1 )的定义 域为R,又f(-x)=ln(-x+ 1 ?-x? +1 )=ln =- 2 x+ x +1
2

ln(x+ x2+1)=-f(x),则f(x)为奇函数; 3x-3-x 3-x-3x ④f(x)= 的定义域为R,又f(-x)= =- 2 2 3x-3-x 2 =-f(x),则f(x)为奇函数;

1-x 1-x ⑤由 >0得-1<x<1,f(x)=ln 的定义域为(- 1+x 1+x
?1-x? 1+x 1-x ? ? -1 1,1),又f(-x)=ln =ln ? =-ln =-f(x),则f(x) 1+x? 1-x 1+x ? ?

为奇函数.

答案:D

方法点睛

判断函数的奇偶性的一般方法是:①求函数

的定义域;②证明f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立;或者通 过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆未做到是不能下 任何结论的,切忌主观臆断.

变式训练1

判断下列函数的奇偶性:

4-x2 (1)f(x)= ; |x+3|-3 (2)f(x)=x2-|x-a|+2.

?4-x2≥0, ? 解析:(1)解不等式组 ? ?|x+3|-3≠0, ?

得-2≤x<0,或

0<x≤2, 4-x2 因此函数f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2],则f(x)= x . 4-?-x?2 4-x2 f(-x)= =- x =-f(x),所以f(x)是奇函 -x 数.

(2)f(x)的定义域是(-∞,+∞).当a=0时,f(x)=x2-|x| +2,f(-x)=x2-|-x|+2=x2-|x|+2=f(x). 因此f(x)是偶函数; 当a≠0时,f(a)=a2+2,f(-a)=a2-|2a|+2,f(- a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a). 因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数.

考点二

函数奇偶性的应用

[例2]

(1)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2

-x-1,求f(x)的解析式; ex a (2)设a>0,f(x)= a +ex是R上的偶函数,求实数a的值; (3)已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内 单调递减,求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.

解析:(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0. 当x<0时,-x>0, 由已知,得f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1=- f(x). ∴f(x)=-x2-x+1. ?x>0?, ?x2-x-1 ? ∴f(x)=?0 ?x=0?, ?-x2-x+1 ?x<0?. ?

(2)方法一:∵f(x)是R上的偶函数, e-x a ex a ∴f(-x)=f(x)在R上恒成立.即 + -x= + x, a e a e (a2-1)e2x+1-a2=0对任意的x恒成立.
?a2-1=0, ? ∴? ?a>0, ?

解得a=1.

方法二:∵f(x)是R 上的偶函数,∴f(-1)=f(1). 11 e a ∴ ·+ae= + . ae a e
? ? 1? 1?1 ∴?a-a?e+ ?a-a?=0. e? ? ? ? ? 1? 2 ∴?a-a?(e -1)=0. ? ?

1 ∴a-a=0. 又a>0,∴a=1.

经验证当a=1时,有f(-x)=f(x). ∴a=1.
?-2≤1-m≤2, ? (3)∵f(x)的定义域为[-2,2],∴有? ?-2≤1-m2≤2. ?

解得-1≤m≤ 3.① 又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上单调递减, ∴在[-2,2]上单调递减.

∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1. 即-2<m<1.② 综合①②,可知-1≤m<1.

方法点睛

函数奇偶性的应用主要有以下三个方面:

(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式. 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分 利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.

(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法:利用f(x)± f(-x)=0产生关于字母 的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值. (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称 的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反.

变式训练2

(1)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的 ) 1 C. 2 1 D.- 2

偶函数,那么a+b的值是( 1 A.- 3 1 B. 3

(2)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递 减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是________.

(3)(2011· 湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满 足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=( A.e -e
x
-x

) 1 x -x B. (e +e ) 2 1 x -x D. (e -e ) 2

1 -x x C. (e -e ) 2

解析:(1)∵函数f(x)=ax2+bx在x∈[a-1,2a]上为偶函 1 数,∴b=0,且a-1+2a=0,即b=0,a= . 3 1 ∴a+b=3. (2)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式f(1-m)<f(m)?f(|1-m|)<f(|m|).

又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数, ?|1-m|>|m|, ? ∴?-2≤1-m≤2, ?-2≤m≤2, ? 1 解得-1≤m<2.

(3)x∈R时,f(x)+g(x)=ex,① 用-x代替x,得f(-x)+g(-x)=e-x. 又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 所以f(x)-g(x)=e-x,② ex-e x 由①②可解得g(x)= 2 .故选D.
答案:(1)B 1 (2)-1≤m<2


(3)D

考点三

函数的奇偶性与周期性

[例3]

已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的

图像关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)的值.

解析:(1)证明:函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x), 函数f(x)的图像关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所 以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周 期的周期函数. (2)当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],又f(x)的图像关于x=1对 称,则f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].

(3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)= -1, 又f(x)是以4为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(2 012)+f(2 013)=f(0) +f(1)=1.

方法点睛

判断函数的周期性只需证明f(x+T)=

f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周 期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问 题.

变式训练3

(1)(2013· 安康月考)已知f(x)是定义在R上的

偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 013)+f(2 015)的值为( A.-1 C.0 B.1 D.无法计算 )

(2)(2013· 潮州月考)定义在R上的函数f(x)是奇函数,又是 以2为周期的周期函数,则f(1)+f(4)+f(7)等于( A.-1 B.0 C.1 D.4 )

解析:(1)由题意,得g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇 函数, ∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2), ∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的周期为4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴f(2 013)+f(2 015)=0.

(2)据题意,f(7)=f(-1+8)=-f(1),∴f(1)+f(7)=0. 又f(4)=f(0)=0,∴f(1)+f(4)+f(7)=0.

答案:(1)C (2)B

考点四

抽象函数的奇偶性与单调性

[例4]

(2013· 广东联考)已知定义在R上的函数f(x)对任意

x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0. (1)求证f(x)为奇函数; (2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明; (3)若f(k·x)+f(3x-9x-2)<0,对任意x∈R恒成立,求实 3 数k的取值范围.

解析:(1)证明:∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),① 令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)= 0. 令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x), 又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x), 即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,∴f(x)为奇函数.

(2)f(x)在R上单调递增,可用定义证明: 设任意x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>0. 即f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上为单调递增.

(3)由(1)(2)可知,f(x)是在R上单调递增的奇函数, 故由f(k·x)+f(3x-9x-2)<0可得 3 f(k·x)<-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2), 3 ∴k·x<9x-3x+2,即32x-(1+k)·x+2>0对任意x∈R 3 3 恒成立. 令t=3x>0,问题等价于t2-(1+k)t+2>0对任意t>0恒 成立. 1+k 令g(t)=t -(1+k)t+2,其对称轴为t= 2 ,
2

1+k 当 2 <0即k<-1时,g(0)=2>0,符合题意; 1+k 当 ≥0时,对任意t>0,g(t)>0恒成立? 2 ?1+k ? 2 ≥0, ? ?Δ=?1+k?2-2×4<0, ? 解得-1≤k<-1+2 2. 综上所述,当k∈(-∞,-1+2 2 )时,f(k·x)+f(3x-9x 3 -2)<0,对任意x∈R恒成立.

方法点睛

判断抽象函数奇偶性的方法是赋值法,即依

据抽象函数所具有的性质结合奇、偶函数的定义进行赋值, 体现了从一般到特殊的思维方法.

变式训练4

(2013· 宜宾测试)若定义在R上的函数f(x)对

任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x >0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)-1为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

解析:(1)证明:∵定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2 ∈R, 都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立, 令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1,∴f(0)=1, 令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1, ∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0. ∴f(x)-1为奇函数.

(2)证明:由(1)知f(x)-1为奇函数, ∴f(-x)-1=-[f(x)-1]. 任取x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0. ∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1, ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1 =f(x2)-[f(x1)-1]=f(x2)-f(x1)+1. ∵当x>0时,f(x)>1, ∴f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+1>1,∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)是R上的增函数.

(3)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5, ∴f(4)=f(2)+f(2)-1, ∴f(2)=3. 由不等式f(3m2-m-2)<3,得f(3m2-m-2)<f(2), 由(2)知f(x)是R上的增函数, ∴3m2-m-2<2, ∴3m2-m-4<0,

4 ∴-1<m<3,
? ? ? 4 2 ?m?-1<m< ∴不等式f(3m -m-2)<3的解集为 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

易错矫正(七) [试题]

函数的性质挖掘不全致误

奇函数f(x)定义在R上,且对常数T>0,恒有f(x

+T)=f(x),则在区间[0,2T]上,方程f(x)=0根的个数至少有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

错解:选A.由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0?x1=0. 再由f(x+T)=f(x)得 f(2T)=f(T)=f(0)=0?x2=T,x3=2T. 即在区间[0,2T]上,方程f(x)=0根的个数最小值为3个. 错因:本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇.即
?f?-x?=-f?x? ? ? ?f?x?=f?x+T? ?

① ②

解时要把抽象性质用足,不仅要充分利

用各个函数方程,还要注意方程①和②互动.

正解:由方程①得f(0)=0?x1=0. 再由方程②得f(2T)=f(T)=f(0)=0?x2=T,x3=2T.
? T? ? T? 又∵f?x- 2?=f?x+2?,令x=0得 ? ? ? ? ? T? ?T? f?-2?=f?2?. ? ? ? ? ? T? ?T? ?T? T ?- ?=-f? ?,f? ?=0,x4= . 又f 2 2 ? ? ?2 ? ?2 ?

?T ? 3T ? +T? =0?x5= 再由②得f 2 2 ,故方程f(x)=0至少有5个 ? ?

实数根.

答案:C

点评:定义在R上、周期为T的奇函数f(x),在区间
? T T? T T ?- , ? 上有3个零点- ,0, .如正弦函数f(x)=sinx的周期 2 2 ? 2 2?

为2π,它在区间[-π,π]上有3个零点-π,0,π.


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