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【热点重点难点专题透析】2015届高考数学(理科·湖北)二轮专题复习课件:第8专题 高考数学填空题解题策略


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【引言】 填空题是将一个数学真命题, 写成其中缺少一些语句的 不完整形式, 要求学生在指定的空位上, 将缺少的语句填写 清楚、准确. 它是一个不完整的陈述句形式, 填写的可以是一 个词语、数字、符号、数学语句等. 数学填空题的特点

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>填空题缺少选择的信息, 故解答题的求解思路可以原封 不动地移植到填空题上 . 但填空题既不用说明理由, 又无需 书写过程, 因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填 空题 . 填空题大多数能在课本中找到原型和背景, 故可以化归 为我们熟知的题目或基本题型 . 填空题不需过程, 不设中间 分值, 更易失分, 因而在解答过程中应力求准确无误 .

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填空题虽题小, 但跨度大, 覆盖面广, 形式灵活, 可以有目 的、 和谐地结合一些问题, 突出训练学生准确、 严谨、 全面、 灵活地运用知识的能力和基本运算能力, 突出以图助算、列 表分析、精算与估算相结合等计算能力. 要想又快又准地答 好填空题, 除直接推理计算外, 还要讲究一些解题策略, 有时 要尽量避开常规解法. 数学填空题的类型

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根据填空时所填写的内容形式, 可以将填空题分成两种 类型: 一是定量型, 要求考生填写数值、数集或数量关系, 如: 方程的解, 不等式的解集, 函数的定义域、值域、最大值或最 小值, 线段的长度, 角度的大小, 等等. 由于填空题和选择题相 比, 缺少选择的信息, 所以高考题中多数是以定量型问题出 现.

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二是定性型, 要求填写的是具有某种性质的对象或者填 写给定的数学对象的某种性质, 如: 给定二次曲线的焦点坐 标、离心率等. 近几年出现了定性型的具有多重选择性的填 空题 . 解数学填空题的原则 解答填空题时, 由于不反映过程, 只要求结果, 故对正确 性的要求比解答题更高、更严格 . 《考试说明》中对解答填 空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”. 为此在解填

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空题时要做到: 快——运算要快, 力戒小题大做; 稳—— 变形要稳, 不可操之过急; 全——答案要全, 力避残缺不齐; 活 ——解题要活, 不要生搬硬套; 细 ——审题要细, 不能粗心大 意. 【题型示例】 常规填空题的解法 方法一: 直接求解法

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所谓直接法, 就是直接从题设条件出发, 运用有关概念、 性质、定理、法则和公式等知识, 通过严密的推理和准确的 运算, 从而得出正确的结论 . 直接法是填空题最基本的解法, 是解决大多数填空题的解法.
2 复数 ( ) =

+ -

.

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2 【解析】( )2= i =-1.

+ -

【答案】-1

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10 ( x+a) 的展开式中, x7 的系数为 15, 则

a=

. ( 用数字填写答案)

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7 3 3 【解析】∵ x a = 15x 7, ∴ a = 15, 即 a= .



【答案】



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在△A B C 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、

c. 若 1+ + = 0, 则A=



.

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【解析】由正弦定理可得

= , 1+ + = 1++ = 0, 所以有 cos A si n B +si n A cos B +2si n C cos A = 0, 即 si n (A +B )+2si n C cos A = 0, 在三角
形中 si n(A +B )=si n C ≠0, 于是有 1+ 2cos A = 0, cos A =- , A = . 【答案】








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( 2014 湖北卷) 设向量 a=( 3, 3) , b=( 1, - 1) , 若( a+ λb) ⊥ ( a- λb) , 则实数 λ=

.

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【解析】因为 a+λb=(3+ λ, 3- λ), a- λb=(3- λ, 3+ λ), 因为 ( a+ λb) ⊥( a- λb) , 所以(3+ λ) (3- λ)+ (3- λ)(3+ λ)= 0, 解得 λ= ±3. 【答案】±3

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方法二: 特殊化求解法 当答案是定值且用的特殊值是题意的某种情况时, 那么 我们用特例求解就能达到好的效果. 特殊化求解就是用特殊 值( 特殊图形、 特殊位置) 代替题设中的普遍条件, 得出一般的 结论 . 常用的特例有特殊数值、特殊角、特殊数列、特殊函 数、特殊图形、特殊位置等. 这种方法实际上是一种 “小题 小做”的解题策略, 对解答某些填空题有时往往十分奏效.

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( 2014 辽宁卷 ) 已知椭圆 C : + = 1, 点 M 与椭圆 C




的焦点不重合. 若点 M 关于椭圆 C 的焦点的对称点分别为

A, B, 线段 M N 的中点在 C 上, 则 + =

.

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【解析】不妨设点 M ( 0, 2) , 则点 M 关于椭圆 C 的焦点 的对称点分别为 A (-2 , -2) , B( 2 , - 2) , 设线段 M N 的中点 为( 0, - 2) , 则点 N ( 0, - 6) , 所以 + = 12. 【答案】12

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在△A B C 中, ∠B A C =120°, A B =2, A C = 1, D 是边

B C 上的一点( 包括端点) , 则? 的取值范围是

.

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【解析】建立平面直角坐标系, 不妨设 A ( 0, 0) , C (1, 0) , 则

B (- 1, ) , 则 B C 所在的方程为 y=- x+ , 设点 D 的坐标为
(x 0, y0) , 则 -1≤ x 0≤1, 所以?= 2x 0- y0= x 0- , 因为-1≤






x 0≤1, 所以?的取值范围是 [ -5, 2] . 【答案】 [ -5, 2]

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已知△A B C 中 , 角A , B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 且角 A , B, C 成等差数列, △A B C 的面积 S= 的值为
-(-)

, 则实数 k

.

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【解析】 ( 法一 ) 因为角 A , B, C 成等差数列, 即 2B =A +C , 又 A +B +C = π , 所以 B = , S = acsi n B = ac, 又
-(-) - +

S=

=



= , 所以 = , 即 k=








.

( 法二 ) 不妨设 A = 30°, B = 60°,C = 90° . a= 1, b= ,c=2, 则

S = , 代入 S=



-(-)

, 可得 k=

.

【答案】

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方法三: 数形结合法 数形结合法就是利用图像或数学结果的几何意义, 将数 的问题 ( 如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等 ) 与某 些图形结合起来, 利用几何直观性, 再辅以计算, 求出正确答 案的方法 . 这种解法贯穿数形结合思想始终, 每年高考均有 填空题、选择题、解答题可以用数形结合思想解决, 既简

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捷又迅速. 数形结合法最主要的是利用数和形的结合, 找到解决问题的思路, 能较快较准地解决问题. 关于 x 的方程 x2+( m - 2) x+ 5-m =0 有两个不同的 根且均大于 2, 则实数 m 的取值范围是

.

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解析】 设二次函数 f ( x )=x 2+ (m -2)x+ 5-m , 开口向上, 对称 轴为 x=
-

.

∵关于 x 的方程 x2+ (m -2)x+ 5-m = 0 有两个不同的根且
均大于 2,

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( ) > ,

∴结合二次函数图象的相关知识得
+ - + - > , ∴ - > , ( -)-(-) > , > -, ∴ < -, ∴- 5<m <-4. > 或 < -, 【答案】 ( -5,-4)

-

> , > ,

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- + ≥ , 若点( 1, 1) 在不等式组 -- ≤ ,所表示的 ≥ - 平面区域内, 则 m 2+n 2 的取值范围是

.

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- + ≥ , 【解析】将( 1, 1) 代入不等式组 -- ≤ ,得 ≥ -, - + ≥ , m, n) 表示的平面区域, 该区域是由 -- ≤ , 画出 ( + - ≥ ,

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C (5, 6) , B (, ) , A (,-)构成的三角形内部及边界区
域, m 2+n2 的几何意义是点(m ,n )到原点的距离的平方, 易见点







C 到原点的距离最大, 故 m 2+n 2 的最大值为 61, 利用点到直线
的距离公式可得原点到直线 3m +n- 3= 0 的距离为


, 所以

m +n 的最小值为.
2 2



【答案】 [ , 61]




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当 0≤x≤1 时, 不等式 si n ≥kx 成立, 则实数 k




的取值范围是

.

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【解析】用数形结合法.

∵0≤x≤1, ∴0≤ ≤.
则函数 y1= si n (0≤ x≤1) 的图象如图所示 . 要使不等式






si n ≥kx 在 [ 0, 1] 上恒成立 , 则 k≤1.




【答案】 k≤1

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如图, A 是半径为 5 的圆 O 上的一个定点, 单位 向量在 A 点处与圆 O 相切, 点 P 是圆 O 上的一个动点, 且点 P 与点 A 不重合, 则?的取值范围是

.

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【解析】建立平面直角坐标系如下图, 设点 P 的坐标为 (x , y) , 则= ( 1, 0) , = (x , y) , 所以? =x , 因为点 P 在圆上, 所以 -5≤ x≤5, 即 -5≤?≤5. 【答案】 [ -5, 5]

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方法四: 等价转化法 通过“化复杂为简单, 化陌生为熟悉”将问题等价转化 成便于解决的问题, 从而迅速准确地得到结果 . ( 2014 湖南卷 ) 在平面直角坐标系中, O 为原 点, A (-1, 0) , B( 0, ) , C (3, 0) , 动点 D 满足 = 1, 则 + + 的最大值是

.

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【解析】设出点 D 的坐标, 求出点 D 的轨迹后求解 . 设 D (x, y), 由= (x- 3, y) 及| | =1 知(x- 3)2+y2=1, 即动点

D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆 .
又+ + = (-1, 0)+( 0, )+ (x, y)=(x- 1, y+ ),

∴| ++ | = (-) + ( + ).

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问题转化为圆( x- 3)2+y2=1 上的点与点 P (1, - )间距离 的最大值 .

∵圆心 C (3, 0) 与点 P ( 1, - )之间的距离为
( -) + ( + )= , 故 ( -) + ( + )的最大值为 + 1. 【答案】 + 1

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已知函数 f ( x) =x+si n x( x∈R ) , 且

f(y - 2y+ 3) +f( x -4x+ 1) ≤0, 则当 y≥1 时, 的取值范围 +
2 2





.

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【解析】因为 f ( -x )=-x+si n(-x )=-f (x ) , 且 f' (x)=1+ cos x ≥0, 所以函数 f ( x) 为奇函数 , 且在 R 上是增函数 . 由f ( y2-2y+ 3)+f(x 2-4x+ 1)≤0 移项得 f(y2- 2y+ 3)≤

f(-x 2+4x-1), 所以 y2- 2y+ 3≤ -x 2+4x- 1,
即 x2+y2- 4x-2y+4≤0,

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则( x- 2)2+ ( y- 1)2≤1, 其表示圆(x- 2)2+(y-1)2=1 及其内部. ≥ , 如图所示, 表示满足 的点 P 与 + (-) + (-) ≤


定点 A (-1, 0) 连线的斜率 .

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结合图形可知, 直线 A C 的斜率最小, 为 的斜率最大, 为 tan∠B A x= tan 2∠P A x= 【答案】[ , ].


= , 切线 A B -(-) =
-()

-





×

- ∠

= .



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已知函数 f ( x) = eax-x- 1, 其中 a≠0. 若对一切 x∈

R, f ( x) ≥0 恒成立, 则 a 的取值范围为

.

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【解析】 若 a<0, 则对一切 x> 0, f(x)= eax-x- 1< 0, 与题设矛 盾. 又 a≠0, 故 a>0. 而 f' (x)=ae - 1, 令 f' (x)=0 得 x= l n .

ax





当 x< l n 时, f' (x)<0, f(x )单调递减; 当 x> l n 时, f' (x)>0, f(x )单调递增 .






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故当 x= l n , f(x)取最小值 f( l n )= - l n - 1.














于是对一切 x∈R , f(x )≥0 恒成立, 当且仅当 - l n - 1≥






0. ① 令 g(t )=t-t l n t- 1, 则 g' (t )=- l n t. 当 0<t <1 时 , g' (t ) > 0,g(t) 单调递增 ; 当 t>1 时 , g' (t )< 0, g(t ) 单调递减 . 故当 t=1 时, g(t)取最大值 g(1)=1-1= 0.

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因此 , 当且仅当 = 1, 即 a=1 时, ①式成立.




综上所述, a 的取值范围为{1}. 【答案】{1}

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方法五: 构造法 根据题设条件与结论的特殊性, 构造出一些熟悉的数学 模型, 并借助于它认识和解决问题 . ( 2014 新课标全国Ⅱ卷 ) 已知偶函数 f ( x) 在[ 0, +∞ ) 单调递减, f( 2) =0. 若 f( x-1)> 0, 则 x 的取值范围是

.

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【解析】利用数形结合, 通过图象解不等式 .

∵f(x) 是偶函数 , ∴它的图象关于 y 轴对称.
又f ( 2)=0, 且f (x ) 在[ 0, +∞)单调递减, 则f (x) 的大致图象如图所示, 由f (x-1)> 0, 得 - 2<x- 1<2, 即 -1<x< 3. 【答案】 ( -1,3)

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在△A B C 中, ∠C = 90°, P 为三角形内一点且 S △
PA B

=S △P B C =S △P C A , 则

| | +|| | |

=

.

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【解析】 设△A B C 为等腰直角三角形, 建立平面直角坐 标系, 令 A( - 1, 0), B( 1, 0) , 则 C( 0, 1) , 设 P( 0, t ) , 则 S △P A B =S △P B C =S △
PCA

, 可得 t =, 所以 P ( 0, ) , 则 【答案】5





| | +|| | |

= 5.

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方法六: 特征分析法 有些问题看似非常复杂, 一旦挖掘出隐含的数量或位置 等特征, 问题就能迎刃而解 . 一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段 弧, 它的口宽是的 4 , 杯深 20, 在杯内放一玻璃球, 当玻璃 球的半径 r 最大取 时, 才能使玻璃球触及杯底 .

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【解析】由题可知抛物线的方程为 x2=2y(0≤y≤20) , 设 小球的截面圆心为 ( 0, y0), 抛物线上点 M (x, y), 点 M 到圆心距
2 离平方为 r2=x 2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=y2+2( 1-y0) y+ , 因为 r 在

(0, 0) 时取到最小值, 则小球触及杯底, 所以 1-y0≥0, 得 0<y0≤ 1, 即 0<r≤1, 故当玻璃球的半径 r 最大取 1 时 , 才能使玻璃球 触及杯底 .
【答案】1

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2014 若( 3x- 1) =a0+a1x+a2x 2+?+a2014?x 2014( x∈R ) , 则



+ + + ? + =







.

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【解析】令 x=0, 由通项公式可得 a0=1,
1 a1= 3 (- 1)2013=-6042,
令 x= , 则 + + + ?+











+ + + ? + = ( + + + ? + ) == .

=- 1,

【答案】



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开放性填空题解法 题型一: 多选项填空题 给出若干个命题或结论, 要求从中选出所有满足题意的 命题或结论, 这类题不论多选还是少选都是不能得分的, 相 当于多项选择题. 它的思维要求不同于一般的推理过程, 而

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是要求从结论出发逆向探究条件, 且结论不唯一. 此类 问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言 . 因此, 要求考 生有扎实的基本功, 能够准确的阅读数学材料, 读懂题意, 根 据新的情景, 探究使结论成立的充分条件 . 判断命题是真命 题必须通过推理证明, 而判断命题是假命题, 举反例是否定 一个命题的最有效的方法.

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若函数 f ( x) 的导函数在区间 ( a, b) 上的图象关于直 线 x= 是
+

对称, 则函数 y=f( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能

. ( 写出所有正确命题图象的序号)

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【解析】由图①得, 在 a 处切线斜率最小, 在 b 处切线斜 率最大, 故导函数图象不关于直线 x=
+

对称 , 故①不成立 ;

由图②得 , 在 a 处切线斜率最大, 在 b 处切线斜率最小 , 故导函数图象不关于直线 x=
+

对称, 故 ②不成立;

由图③得 , 原函数为一次函数, 其导函数为常数函数, 故 导函数图象关于直线 x=
+

对称 , ③成立 ;

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由图④得, 原函数有一对称中心, 在直线 x= 图象的交点处, 故导函数图象关于直线 x= 所以, 满足要求的有③④. 【答案】③④
+

+

与原函数

对称, ④成立;

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( 2014 四川卷) 以 A 表示值域为 R 的函数组成的 集合, B 表示具有如下性质的函数 φ(x) 组成的集合: 对于函数 φ( x) , 存在一个正数 M , 使得函数 φ( x) 的值域包含于区间 [ -M , M ]. 例如, 当 φ1( x) =x 3, φ2( x )=si n x 时, φ1( x) ∈A , φ2( x) ∈B . 现有如下命题:

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①设函数 f( x) 的定义域为 D , 则“f( x) ∈ A ”的充要条件
是 “?b∈R , ?a∈D , f(a)=b”;

②函数 f(x) ∈ B 的充要条件是 f ( x) 有最大值和最小值; ③若函数 f( x) , g(x) 的定义域相同, 且f ( x) ∈A , g(x ) ∈B , 则 f(x )+g(x ) ?B ; ④若函数 f( x )=al n( x+ 2)+ +(x>- 2,a∈R ) 有最大值, 则 f(x ) ∈B .
其中的真命题有


. ( 写出所有真命题的序号)

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+

【解析】显然①成立 ; ②取 f(x )=

, 存在正数 M = 1, f(x)

的值域为 ( 0, 1] , ( 0, 1] ?[-1, 1] , 但是 f (x) 有最大值 1, 无最小值 , ② 错; ; ③反证, 若f (x)+g(x ) ∈B , 又 g(x ) ∈B , 则

f(x )= [f(x)+g(x )]-g(x )∈B , 这与 f (x ) ∈A 矛盾 , 故③成立 ;
对于④, 若 a>0, 则 x→ +∞时 f (x ) →+∞, 与有最大值矛盾 , 当 a<0?x→ -2 时 f (x ) →+∞, 综上 , a=0?f(x )= 立. 【答案】①③④
+

∈B , 故④成

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( 2014 安徽卷) 已知两个不相等的非零向量 a, b, 两 组向量 x1, x2, x3, x4, x5 和 y1, y2, y3, y4, y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列 而成, 记 S =x1?y1+x2?y2+x3?y3+x4?y4+x5?y5, S m in 表示 S 所 有可能取值中的最小值, 则下列命题正确的是 出所有正确命题的编号 )

. ( 写

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①S 有 5 个不同的值; ②若 a⊥b, 则 S m in 与 | a| 无关 ; ③若 a∥b, 则 S m in 与 | b| 无关 ; ④若| b| > 4| a| , 则 S m in> 0;
2 ⑤若| b| = 2| a| , S m in= 8| a| , 则 a 与 b 的夹角为 .



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【解析】∵xi, yi(i = 1, 2, 3, 4, 5) 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而 成,


∴ S = ∑ xiyi可能情况有以下三种:
=

(1)S =2a2+ 3b 2; (2)S =a2+2a?b+2b2; (3)S = 4a?b+b2. 因此 S 最多有 3 个不同的值, 故 ①不正确 .

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∵2a2+ 3b2- (a2+2a? b+2b2)=a2+b2- 2a? b=a2+b2- 2| a| | b| cos θ
≥0,

a2+2a?b+2b2-4a?b-b2=a2+b2- 2a?b≥0, ∴S 的最小值为 S m in=b 2+4a?b.
当 a⊥b 时 , S 的最小值为 S m in=b2 与| a| 无关 , 故②正确 . 当 a∥b 时 , S 的最小值为 S m in=b 2+ 4| a| | b| 或 S m in=b 2- 4| a| | b| 与| b| 有关, 故 ③不正确 .

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当| b| >4| a| 时, S m in=b2+ 4| a| | b| cos θ≥

b2-4| a| | b| =| b| (| b| -4| a| )>0. 故 ④正确 .
2 当| b| =2| a| 时, 由 S m in=b2+4a? b=8| a| 知, 4a? b=4a2, 即 a? b=a 2,

∴| a| | b| cos θ=a2, ∴cos θ=, ∴θ=, 故 ⑤不正确.
因此正确命题的编号为②④. 【答案】②④




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题型二: 探索性填空题 探索性填空题是指从问题给定的题设中探究其相应的 结论, 或从给定题中探究其相应的必须具备的条件. 常见的 类型有规律探索、条件探索、问题探索、结论探索等 . 如果 是条件探索型命题, 解题时要求学生要善于从所给的结论出 发, 逆向追索, 逐步探寻, 推理得出应具备的条件 . 如果是结论 探索型命题, 解题时要求考生充分利用已知条件或图形的特 征进行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论.

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( 2014 陕西卷 ) 观察分析下表中的数据: 多面 面数 顶点 体 三棱 锥 五棱 锥 立方 6 8 12 6 6 10 ( F ) 数( V) 5 6 棱数 ( E)

9

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猜想一般凸多面体中, F, V, E 所满足的等式 是

.

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【解析】因为 5+6- 9=2; 6+6-10= 2; 6+8- 12=2, 所以归纳 出 F +V -E =2. 【答案】 F +V -E = 2

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[ ] 表示不超过 的最大整数.

S 1= [ ] + [ ]+ [ ] = 3, S 2= [ ] + [ ]+ [ ] + [ ] + [ ] =10, S 3= [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ]+[ ] + [ ]= 21,
?? 那么 S n=

.

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【解析】观察式子规律: 可以得出

S n= [ ]+[ + ]+ [ + ]+?+[ + ]=n ( 2n+ 1).
【答案】 n( 2n+1)

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题型三: 新定义型填空题 新定义型: 即定义新情景, 给出一定容量的新信息, 要求 考生依据新信息进行解题, 这样必须紧扣新信息的定义, 将 所给信息转化成高中所学习的数学模型, 然后再用学过的数 学模型求解, 最后回到材料的问题中给出解答. 此类问题多 涉及给出新定义的运算、新的背景知识、新的理论体系, 要 求考生有较强的分析转化能力 .

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( 2014 湖北卷)

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设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位 数. 将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I( a) , 按从大到小排成的三位数记为 D ( a) ( 例如 a= 815, 则

I(a)=158, D (a)=851) . 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的
程序, 任意输入一个 a, 输出的结果 b=

.

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【解析】取 a1= 815, 通过循环结构逐一求解 a, b 的值, 直 到 a=b 时 , 停止循环, 注意对新定义的理解. 取 a1=815?b1=851-158=693≠ 815?a2= 693; 由 a2=693?b2= 963- 369= 594≠693? a3= 594; 由 a3=594?b3= 954-459=495≠594?a4= 495; 由 a4=495?b4= 954-459=495=a4?b=495.

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【答案】 495 在实数集 R 中定义一种运算“*”, 对任意 a, b∈

R, a*b 为唯一确定的实数, 且具有性质:
( 1) 对任意 a∈R , a*0=a; ( 2) 对任意 a, b∈R , a*b=ab+ (a*0)+(b*0).

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关于函数 f ( x )=(ex)* 的性质, 有如下说法: ①函数 f(x ) 的




最小值为 3; ②函数 f(x) 为偶函数; ③函数 f(x ) 的单调递增区间 为( -∞, 0] . 其中所有正确说法的序号为


.

【解析】 f ( x )=(ex)* = ex + ex+ = ex+ + 1. 所以 ex+ ≥2 ? = 2, 故f (x) ≥ 2+ 1= 3, 当且仅当 x=0


时等号成立, 故 ①正确;

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由f ( -x )= e-x+ - + 1= ex+ + 1=f(x) , 故f (x) 是偶函数 , 故②正






确; 由f ' (x)=(e + + 1)' = e - =

x



x

-

, 则 f' (x)>0, 即 e2x-1> 0, 故

x> 0, 故 ③不正确 .
【答案】①②

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( 2014 山东卷 ) 已知函数 y=f( x) ( x∈R ) , 对函数

y=g(x)(x∈I) , 定义 g( x) 关于 f ( x) 的 “对称函数”为函数 y=h (x ) ( x∈I) , y=h (x ) 满足: 对任意 x∈I, 两个点 ( x,h (x ) ) , ( x,g(x ) )
关于点 ( x, f(x ) ) 对称 . 若 h( x) 是 g( x) = -关于 f(x )= 3x+b 的 “对称函数”, 且 h( x )>g(x ) 恒成立, 则实数 b 的取值范围 是

.

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【解析】由题意得 g( x) 与 h (x) 的图象位于直线

f(x ) = 3x+b 的两侧 , 要使 h (x)>g(x ) 恒成立, 则 g(x) 的图象应位
于直线 f ( x )= 3x+b 的右下方 . 根据图象分析得, 当f (x ) = 3x+b 与 g(x)= -在第二象限相切时, b=2 , 由 h (x)>g(x ) 恒成立得 b>2 .

【答案】( 2 , +∞)

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题型四: 组合型填空题 组合型填空题就是给出若干个结论要求学生将其重新 组合, 使其构成符合题意的命题 . 解这类题要求学生对所学 的知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握, 通过对题目的 阅读、理解、分析、比较、综合、抽象和概括, 用归纳、演 绎、类比等推理方法准确地阐述自己的观点, 理清思路, 进而 完成组合顺序.

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把下面不完整的命题补充完整, 并使之成为真命 题: 若函数 f ( x)= 3+ l og3x 的图象与 g( x) 的图象关于 对称, 则函数 g( x) =

. ( 注: 填写你认为可以成为真命题

的一种情形即可, 不必考虑所有可能的情形 ) .

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【解析】若第一空填上 x 轴, 则由函数的对称性求解方 法, 不妨设 M (x, y)为 g(x) 图象上的任意一点, 则点 M ' (x , -y) 在 函数 f (x)= 3+ l og3x 上, 所以可得-y= 3+ l og3x , 即 g(x )=-3- l og3x. 【答案】x 轴

- 3- l og3x

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【总结】 填空题是介于选择题与解答题之间的一种题型, 它既有 选择题的小、活、广, 又有解答题推理及严谨运算, 考查全面 的特点 . 因此, 在解题过程中可选用选择题、解答题的有效方 法灵活解题, 以达到正确、合理、迅速的目的 . 在平时训练时要注意以下几点:

①注意对一些特殊题型结构与解法的总结, 并分析出一
些规律性的东西;

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②注意对知识的联想、迁移、类比、归纳的应用, 以快
速得到提示与启发;

③注意从不同角度、不同方法对题目的“再解答”, 以
保证解答的正确性.

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2 1. 设 z=1-i ( i是虚数单位 ) , 则复数 + i 的虚部





.

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【解析】因为 z=1-i ( i是虚数单位 ) , 所以复数

2 + i= + i= 1+i 1= i , 所以复数 + i 的虚部是 1. - 2 2





【答案】 1

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2.





+

-

-dx=

.

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【解析】 + .





+

-

- = + × =




【答案】 2π +1

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3. 若某棱锥的三视图( 单位: cm ) 如图所示, 则该棱锥的体 积等于

.

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【解析】由图可知, 该棱锥是由一个三棱柱 A B C -

A 1B 1C 1 截去一个三棱锥 A -A 1B 1C 1 剩下的部分, 其中三棱柱
的底面为直角三角形, 两直角边为 3 和 4, 三棱柱的高为 5, 所 以该几何体的体积为 V = ? 3? 4?5- ? ? 3? 4?5=20


cm .
3

【答案】 20 cm

3

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4. 如图, 正方形 A B C D 和正方形 D E F G 的边长分别为

a, b( a<b) , 原点 O 为 A D 的中点, 抛物线 y2= 2px ( p> 0) 经过 C 、 F 两点, 则 =


.

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【解析】由题可得 C ( , -a) , F ( +b, b) , 则






= , ? = + 1. = ( + ) 【答案】 + 1

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5. 下图是某算法的程序框图, 则程序运行后输出的结果 是

.

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【解析】初始值: T =0, k=1, 第一次循环: si n > si n 0, 所以 a= 1, T =T +a=1, k=k+1=2, 满


足条件, 继续循环 ; 第二次循环: si n π<si n , 所以 a= 0, T =T +a=1, k=k+1= 3, 满


足条件, 继续循环 ;

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第三次循环: si n < si n π, 所以 a=0, T =T +a=1,k=k+1=4, 满




足条件, 继续循环 ; 第四次循环: si n 2π> si n , 所以 a=1, T =T +a= 2, k=k+ 1= 5,


满足条件, 继续循环; 第五次循环: si n > si n 2π , 所以 a= 1, T =T +a= 3,k=k+1= 6,


不满足条件, 结束循环, 此时输出的 T 的值为 3. 【答案】 3

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- + > , 6. 设关于 x, y 的不等式组 - < , 表示的平面区 + > . 域内存在点 P ( x 0, y0) 满足 x0-2y0=2, 则 m 的取值范围是

.

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- + > , 【解析】不等式 - < , 表示的平面区域如下图 + > 中的阴影部分所示:

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要使平面区域内存在点 P (x 0, y0)满足 x 0-2y0= 2, 必须使点

A 位于直线 x-2y-2=0 的右下侧,
即 m -2(-m ) - 2>0, ∴m > .


【答案】( , +∞ )




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7. 体育课的排球发球项目考试的规则是: 每位学生最多 可发球 3 次, 一旦发球成功, 则停止发球, 否则一直发到 3 次为 止. 设某学生一次发球成功的概率为 p( p≠0) , 发球次数为 X , 若 X 的数学期望 E ( X) > 1. 75, 则 p 的取值范围是

.

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【解析】 X 的可能取值为 1, 2, 3,

∵P (X =1)=p, P (X = 2)=(1-p)p, P (X = 3)= (1-p)2, ∴ E (X )=p+2p(1-p)+ 3(1-p)2=p2- 3p+ 3,
由 E( X )>1. 75, 即 p - 3p+ 3> 1. 75, 得 p< 或 p> ( 舍) ,
2





∴0<p<.
【答案】 ( 0, )




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8. 下表中的数阵为“森德拉姆数筛”, 其特点是每行每 列都成等差数列, 记第 i行第 j列的数为 aij则数字 73 在表中 出现的次数为

.

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2 3 4 5 6 7

3 5 7 9 11 13

4 7 10 13 16 19

5 9 13 17 21 25

6 11 16 21 26 31

7 13 19 25 31 37

? ? ? ? ? ?

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【解析】根据表的特点和每行每列公差的变化规律 , 可知第 1 行 , 第 2 行, 第 3 行, 第 4 行, 第 6 行, 第 8 行都能出现 73, 根据对称可知第 1 列 , 第 2 列, 第 3 列, 第 4 列, 第 6 列, 第 8 列都能出现 73. 所以数字 73 在表中出现的次数为 12 次 . 【答案】 12

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9. 在数列{an} 中, a1= 3, ( an+1- 2) ( an- 2) = 2( n∈N *) , 则

a2=

, 该数列的前 2014 项的和是

.

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【解析】由( an+1- 2)(an- 2)=2(n∈N *), 可得 ( an- 2)(an-1- 2)=2(n∈N *,n≥2), 以上两式相除, 得
+ - -

= 1, (an+1- 2) = (an-1- 2) (n∈N *, n≥2), -

所以数列{an}是一个周期数列, 周期为 2, 由于

a2- 2= -,a1= 3, 所以 a2=4, 所以 S 2014=1007?(a1+a2)=1007?




(3+ 4)=7049. 【答案】 4 7049

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10. 已知 A ( 1, 2cos 2β) , B( cos 2α- cos 4β, si n 2α) , 且 ?= 0, si n β≠0, si n α-kcos β=0, 则 k=

.

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【解析】由已知得 cos 4β- cos 2α=2si n 2α? cos 2β,

∴1-2si n22β- 1+2si n 2α=2si n 2α( 1-2si n 2β) ,
即 si n22β= 2si n 2β?si n2α, 因为 si n β≠0, 所以有 2cos2 β=si n 2 α, 于是 k= 【答案】±


= ± .

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11. 函数 f( x) 的定义域为 A , 若 x1, x 2∈A 且 f(x 1)=f(x 2) 时总 有 x 1=x2, 则称 f ( x) 为单函数 . 例如 , 函数 f ( x)=x+ 1(x∈R ) 是单函 数. 下列命题:

①函数 f(x)=x 2-2x (x∈R ) 是单函数;
, ≥ , ②函数 f(x)= 是单函数; -, <

③若 f(x) 为单函数, x 1,x2∈A 且 x1≠ x 2, 则f ( x 1) ≠f( x 2) ; ④若函数 f( x) 在定义域内某个区间 D 上具有单调性, 则 f(x ) 一定是单函数.
其中真命题是 ( 写出所有真命题的编号) .

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【解析】①令 f (x)=0 得 , x 1=0,x 2=2, 所以 f ( 0)=f ( 2)=0, f(x )不是单函 数; , ≥ , ②因为 f(x )= 所以 f ( 1)=f( 2)= 1, 故f (x ) 不是单函数; -, < 2,

③与定义是互为逆否命题, 是真命题;
根据①和 ②知 , 若函数 f ( x)在定义域内某个区间 D 上具有单调性, 则f (x) 不一定是单函数, 所以④是假命题 . 综上 , ③是真命题. 【答案】③

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【解析】①令 f (x)=0 得 , x 1=0,x 2=2, 所以 f ( 0)=f ( 2)=0, f(x ) 不是单函数; , ≥ , ②因为 f(x)= 所以 f ( 1)=f ( 2)=1, 故f (x) 不是单 -, < , 函数 ;

③与定义是互为逆否命题, 是真命题;
根据①和 ②知 , 若函数 f ( x) 在定义域内某个区间 D 上具 有单调性, 则f (x) 不一定是单函数, 所以④是假命题 . 综上 , ③是真命题 .

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【解析】( 特殊化求解法) 令 x= 36, y= 6, 得f (6)=f (36)-f (6) ,

∴f(36)=2f (6)=2, ∵f (x ) 是定义在( 0, +∞)上的增函数, f ( a)= 2, ∴ a= 36.
【答案】 36

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13. 已知点 F ( -c, 0) ( c> 0) 是双曲线 - = 1 的左焦点, 离心




率为 e, 过点 F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆 x2+y2=c2 交于点 P , 且点 P 在抛物线 y2=4cx 上, 则 e2=

.

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【解析】双曲线 - = 1 的渐近线方程为 y=± x , 根据






曲线的对称性, 不妨设直线 F P 的斜率为 ,






所以直线 F P 的方程为 y= (x+c) ,




= , = -, 则 解得 或 = ( + ), = = .




+



=

,

-

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根据题意 P 点的坐标为(
-

-

,



),

又因为点 P 在抛物线 y2= 4cx 上 , 所以 (


) =4c?
2

,
-

∴c4-a2c2-a4= 0, ∴e4-e2-1= 0,e2=
【答案】
+

( 舍去 ) 或 e2=

+

.

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-, ≥ , 14. 已知函数 f ( x)= 若关于 x 的方程 f ( x)=x-a - -, < 0, 有三个不同的实根, 则实数 a 的取值范围是

.

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【解析】如图, 若直线 y=x-a 与函数 y=f (x)= ex- 1(x≥0) 的图象相切, 则 f' (x)= ex= 1, 得 x=0, ∴切点坐标为(0, 0) , 此时

a= 0; 若直线 y=x-a 与函数 y=-x 2-2x (x<0) 的图象相切 , 则 f' (x ) =- 2x-2=1, 得 x=- , 切点坐标是( -, ) , 此时 a=- , 观察图
象可知, 方程 f (x )=x-a 有三个不同的实根时, 实数 a 的取值范 围是 ( - , 0) .


【答案】( -, 0)




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15. 在实数集 R 中, 我们定义的大小关系“>”为全体实 数排了一个 “序 ” . 类似的, 我们在平面向量集 D ={a| a= (x,y) , x ∈R , y∈R }上也可以定义一个称为“序”的关系, 记为“?”. 定义如下: 对于任意两个向量 a1=( x 1,y1) , a2= (x 2, y2) , a1?a2, 当且 仅当“ x1>x 2”或“ x1=x 2 且 y1>y2”. 按上述定义的关系“?”, 给出如下四个命题:

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①若 e1= ( 1, 0) , e2=(0, 1) , 0=( 0, 0) , 则 e1?e2?0, ②a1?a2, a2?a3, 则 a1?a3; ③若 a1?a2, 则对于任意 a∈D , + ? + ; ④对于任意向量 a?0, 0=( 0, 0) , 若 a1?a2, 则 a?a1?a?a2.
其中真命题的序号为

.

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【解析】若 e1=(1, 0) , e2=(0,1), 0= (0, 0) , 则 e1?e2?0, 故① 正确 . 设 a1= (x 1, y1), a2= (x2,y2), a3=(x 3,y3), 由 a1?a2, 得 “x1>x 2”或 “ x 1=x2 且 y1>y2”, 由 a2?a3, 得 “x2>x 3”或 “x2=x 3 且 y2>y3”; 若 “x1>x 2>x 3”, 则 “a1?a3”. 若 “x1>x 2”, 且 “x2=x 3 且 y2>y3”, 则“ x1>x 3”, 所以 a1?

a3;

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若“x1=x 2 且 y2>y2”且“x2>x 3”, 则“x1>x3”, 所以 a1?a3; 若 “x1=x 2 且 y1>y2”且“ x2=x 3 且 y2>y3”, 则“x 1=x 3 且

y1>y2”, 所以 a1?a3;
综上所述, ②正确. 设 a1= (x 1, y1), a2= (x2,y2), a= (x,y), 则

a1+a=(x 1+x,y1+y), a2+a=(x 2+x,y2+y),
由 a1?a2, 得 “x1>x 2”或 “x1=x 2 且 y1>y2” .

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若 x1>x 2, 则 x1+x>x 2+x, 所以 ( a1+a)?(a2+a); 若 “x1=x 2 且 y1>y2”, 则“ x1+x=x 2+x 且 y1+y>y2+y”, 所以 ( a1+a)?(a2+a); 综上所述, ③正确. 设 a1= (x 1, y1), a2= (x2,y2), a= (x,y), 由 a?0, 得“x> 0”或 “x=0 且 y> 0”, 由 a1?a2, 得 “x1>x 2”或 “x1=x 2 且 y1>y2” .

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若 “x=0 且 y>0”且“ x1>x 2 且 y1<y2”, 则“xx 1=xx 2 且

yy1<yy2”,
所以 a?a1?a?a2 不成立 . ④不正确. 综上所述, ①②③正确. 【答案】①②③


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