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2011解高考数学第一轮复习第二讲指数函数与对数函数

时间:2011-01-22


第二讲 指数函数与对数函数
一、高考考向
1. 全国Ⅰ新卷理 5) ( 已知命题 在 R 为减函数,则在命题 中,真命题是( (A) ) (B)

p1

x ?x : 函数 y = 2 ? 2

x ?x p 在 R 为增函数, 2 : 函数 y = 2 + 2

q1



p1 ∨ p2



q2



p1 ∧ p2



q3



( ? p1 ) ∨ p2 和 q4 : p1 ∧ ( ? p2 )
q2 , q4

q1 , q3

q2 , q3

(C)

q1 , q4

(D)

2.已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, +∞ ) (B) [2 2, +∞) (C) (3, +∞) (D) [3, +∞)

?log 2 x ? 3.(2010 年高考天津卷理科 8)设函数 f(x)= ?log ? x ( ) ? 1 ? 2
取值范围是( )

x > 0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的 x<0

(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞)

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

4. 已知定义域为 0, ∞) ( + 的函数 f(x) 满足: ①对任意 x ∈ 0, ∞) 恒有 f(2x)=2f(x) 成立; ( + , 当x∈ (1,2] 时, f(x)=2-x 。给出如下结论:
m + ; ① 对 任 意 m ∈ Z , 有 f(2 )=0 ; ② 函 数 f(x) 的 值 域 为 [0, ∞) ③ 存 在 n ∈ Z , 使 得

f(2n +1)=9 ;④“函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ∈ Z ,使得 (a, b) ? (2 k , 2 k +1 ) ” 。
其中所有正确结论的序号是 。

二、例题精析: 例题精析:
例 1: (上海春卷 20)已知函数

f ( x ) = log a (8 ? 2 x )( a > 0 ,且 a ≠ 1)

(1)若函数 f (x ) 的反函数是其本身,求 a 的值; (2)当 a > 1 时,求函数 y = f ( x ) + f ( ? x ) 的最大值。

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例 2:已知函数 f ( x ) = a ? 2 4 ? a ? 1 ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 。
x x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域和值域; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f ( x ) 满足:对于任意 x ∈ [ ?1, +∞ ) ,都有 f ( x ) ≤ 0 ?若 存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

例 3: 2010 年高考全国卷 I 理科 20)已知函数 f ( x ) = ( x + 1) ln x ? x + 1 . 20) ( (Ⅰ)若 xf '( x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ≥ 0 .

例 4:(2010 年高考天津卷理科 21) 已知函数 f(x)=xe (x ∈ R). (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,证明当 x>1 时, f(x)>g(x)
-x

(Ⅲ)如果 x1 ≠ x2 , 且 f ( x1 ) = f ( x2 ), 证明 x1 + x2 > 2

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三、反馈练习: 反馈练习:
1.设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x ∈R) R)是偶函数,则实数 a=_______ 2.对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)= log a ( x + 3) 的反函数的图像都经过点 P,则点 P 的坐标是 3. 定义域为 R 的函数 f ( x) = ?

?| lg | x ? 2 || ( x ≠ 2) ,若 b < 0 ,则关于 x 的方程 ( x = 2) ?0
)个。 A. 4 B.5 C.7 ( (C) a > b > 1 ( D.8 ) (D) b > a > 1 )

f 2 ( x) + bf ( x) = 0 ,的不同实根共有(
4. (1)若 log a 2 < log b 2 < 0 ,则 (A) 0 < a < b < 1

(B) 0 < b < a < 1

(2)函数 y = log 2 ax ? 1 ( a ≠ 0) 图象的对称轴为 x = 2 ,则 a 为 (A)

1 1 (B) ? (C) 2 (D) ? 2 2 2 2 (3) x ∈ (1,2] 时,不等式 ( x ? 1) ≤ log a x 恒成立,则 a 的取值范围(
(A) (0,1) (B) (1,2) (C) (1,2] (D) ? ,2? 2



?1 ? ? ? x x (4)已知函数 y = 4 ? 3 ? 2 + 3 的值域为 [1,7 ] ,则 x 的范围是 ( ) (A) [2,4] (B) (?∞,0) (C) (0,1) ∪ [2,4] (D) (? ∞,0] ∪ [1,2]
5. α ∈ ?? 1,1, 设 A.1,3

? ?

1 ? 则使函数 y = x α 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为 ( ,3? , 2 ?
B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 ) D. ( 2,+∞) .



6.若 y = log a ( 2 ? ax ) 在 [0,1] 上是减函数,则 a 的取值范围是 ( A. (0,1) 7.已知函数 f ( x ) = ? B. (0,2)
?log 2 x ( x > 0)
x ?2 , ( x ≤ 0 )

C. (1,2)
1 a 2, =

, 若 f(a)=
lg( x 2 ? 2 x + 3)

8.设 a > 0, a ≠ 1 , . 函数 f ( x) = a 为 .

有最大值, 则不等式 log a x 2 ? 5 x + 7 > 0 的解集

(

)

9.已知函数 f ( x ) 满足:x≥4,则 f ( x ) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x ) = f ( x + 1) ,
x

1 2

则 f (2 + log 2 3) =( A.

) B.

1 24

1 12

C.

1 8

D.

3 8

10 . 已 知 集 合 M 是 满 足 下 列 性 质 的 函 数 f ( x ) 的 全 体 : 在 定 义 域 内 存 在 x 0 , 使 得

f ( x0 + 1) = f ( x0 ) + f (1) 成立。
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(Ⅰ)函数 f ( x ) =

1 是否属于集合 M ?说明理由; x a ∈ M ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f ( x ) = lg 2 x +1

x 2 (Ⅲ) 设函数 y = 2 x 图象与函数 y = ? x 的图象有交点, 证明: 函数 f ( x ) = 2 + x ∈ M 。

11(2010 年高考山东卷理科 22)已知函数 f ( x) = ln x ? ax + ( 22) (Ⅰ)当 a ≤

1? a ? 1 (a ∈ R) . x

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; 2 1 (Ⅱ)设 g ( x ) = x 2 ? 2bx + 4. 当 a = 时,若对任意 x1 ∈ (0, 2) ,存在 x2 ∈ [1, 2] ,使 4 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

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