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2015-2016学年高中数学 第1章 1.1第1课时 函数的平均变化率课件 新人教B版选修2-2


第一章
导数及其应用

研究函数,从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本 方法. 从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分 和积分的思想在古代就已经产生了.公元前三世纪,古希腊的 阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线面 积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思 想.作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比

较清楚 的论述.比如《庄子》一书中,记有“一尺之棰,日取其半, 万世不竭”.

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小, 割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣.”这些 都是朴素的、也是很典型的极限思想. 归纳起来,微积分大约解决四种主要类型的问题:第一类 是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题.第 二类问题是求曲线的切线的问题.第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题.第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、 曲面围成的体积.

第一章 1.1 导 数

第1课时 函数的平均变化率

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

课前自主预习

你登过泰山吗?登山过程中,你会体验

到“六龙过万壑”的雄奇,感受到“会当凌
绝顶,一览众山小”的豪迈.当爬到“十八 盘”时,你感觉怎样?是平缓的山好攀登, 还是陡峭的山好攀登? 你能从数学的角度来反映山坡的平缓和 陡峭程度吗?

1.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线斜率是什么? 2.平均速度的定义是什么?

y1-y2 答案:1.当x1≠x2时,直线P1P2的斜率k= ;当x1=x2 x1-x2 时,直线的斜率不存在. 2.平均速度:指物体的运动过程中的路程与时间的比值.

一、函数的平均变化率 一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是定义域内不同的两 点,记Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)- f?x0+Δx?-f?x0? Δy f(x0),则当Δx≠0时,商 = (*)称作函数y=f(x) Δx Δx 在区间[x0,x0+Δx](Δx>0)(或[x0+Δx,x0](Δx<0)的平均变化 率.

1.理解函数的平均变化率要注意以下几点: (1)函数f(x)在x0处有定义,x1是x0附近的任意一点,即Δx= x1-x0≠0,但可正可负. (2)如图,函数f(x)平均变化率的几何意义:直线AB的斜 率,即曲线的割线的斜率. yB-yA f?x2?-f?x1? Δy 事实上,kAB= = = (x2≠x1). Δx xB-xA x2-x1

(3)平均变化率是指函数值的“增量”(即“改变量”)Δy与 相应的自变量的“增量”Δx的比,这也给出了平均变化率的 求法,可得平均变化率可正、可负,也可为零.

2.求函数平均变化率的步骤: 求函数y=f(x)在点x0附近的平均变化率: (1)确定函数自变量的改变量Δx=x1-x0; (2)求函数的增量Δy=f(x1)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (3)求平均变化率 = .当求函数在某点附近 Δx Δx 的平均变化率时,可在函数图象上表示出来.

设函数y=f(x),当自变量x由x0改变为x0+Δx时,函数值的 改变量Δy为( C.f(x0)·Δx ) B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0) A.f(x0+Δx)

[答案] D
[解析] 函数值的改变量Δy是表示函数y=f(x)在x=x0+Δx 的函数值与在x=x0的函数值之差,因此有Δy=f(x0+Δx)- f ( x0 ) .

二、平均速度 设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),如图,从t0到t0+ f?t0+Δt?-f?t0? Δs Δt这段时间内,物体的平均速度是v0= = . Δt Δt 可见平均速度v0就是函数f(t)在区间[t0,t0+Δt]上的平均变 化率.

一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,
该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5,则Δt的取值 范围是________.

[答案] (0,1]

[解析] 质点在2到2+Δt之间的平均速度为 [?2+Δt?2+1]-?22+1? 4Δt+?Δt?2 = =4+Δt. Δt Δt 又- v ≤5,即4+Δt≤5,所以Δt≤1.又Δt>0, 所以Δt的取值范围为(0,1].

- v



课堂典例探究

函数的平均变化率

1 求函数y=f(x)= 在区间[1,1+Δx]内的平均变 x 化率.
[分析] 解决此问题的关键是求函数的增量Δy.

1 [解析] ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= -1 1+Δx 1- 1+Δx 1-1-Δx = = 1+Δx ?1+ 1+Δx? 1+Δx -Δx = . ?1+ 1+Δx? 1+Δx 1 Δy ∴函数y= 在区间[1,1+Δx]内的平均变化率为 = Δ x x -1 . ?1+ 1+Δx? 1+Δx

[方法总结] 解答过程中,要正确地运用公式,利用分子 有理化来简化.从结果可以得到,当Δx取不同的值时,函数 的平均变化率也不同.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量 化”,或者说曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.

已知函数f(x)=-x2+x的图象上一点(-1,-2)及邻近一 Δy 点(-1+Δx,-2+Δy),则 为( Δx A.3 C.3-(Δx)2
[答案] D

)

B.3Δx-(Δx)2 D.3-Δx

[解析] ∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1) =-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-(-2) =-(Δx)2+3Δx,
2 - ? Δ x ? +3Δx Δy ∴ = =-Δx+3. Δx Δx

故选D.

求运动物体的平均速度

以初速度v0竖直上抛一物体的位移(单位:m)与 1 2 时间(单位:s)的关系为:s(t)=v0t- gt . 2 (1)求物体从时刻t0到时刻t0+Δt这段时间的平均速度 v ; (2)求物体在t=10s到10.4s这段时间的平均速度.
[分析] 此题关键在于求出Δs=s(t0+Δt)-s(t0),再求 v = Δs . Δt

[解析] (1)由t0到t0+Δt,则改变量为Δt. Δs=s(t0+Δt)-s(t0) 1 1 2 2 =v0(t0+Δt)- g(t0+Δt) -v0t0+ gt0 2 2 1 =Δtv0-gt0·Δt- g(Δt)2. 2 1 Δtv0-gt0·Δt- g?Δt?2 2 Δs v= = Δt Δt 1 =v0-gt0- gΔt. 2

(2)当t0=10s,Δt=0.4s,则物体在t=10s到10.4s这段时间 的平均速度 1 v′ =v0-10g- ×g×0.4=v0-10.2g(m/s). 2
[方法总结] 在这里平均速度就是一个平均变化率的问 题.因此,只有正确理解平均变化率的概念,才能正确研究与 平均速度有关的问题.

1 2 已知物体做自由落体运动的运动方程为s= gt (g为重力加 2 速度). 求:(1)物体在t0到t0+Δt这段时间的平均速度; (2)物体在t1=10s到t2=10.1s这段时间内的平均速度.

[解析] (1)当t由t0取得一个改变量Δt时,s取得相应改变量 1 1 2 1 2 为Δs= g(t0+Δt) - gt0=gt0Δt+ g(Δt)2. 2 2 2 因此,在t0到t0+Δt这段时间内,物体的平均速度为 1 gt0Δt+ g?Δt?2 ? 2 1 ? Δs ? v= = =g?t0+2Δt? ?. Δt Δt ? ? (2)当t1=10s,Δt=0.1s时,在t1到(t1+Δt)这段时间内,物
? ? 1 ? 体的平均速度为 v′ =g?10+2×0.1? ?=10.05g. ? ?

平均变化率的几何意义

过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+ Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.
[分析] 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1+Δx的平均变 Δy 化率 . Δx

[解析] ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1 =3Δx+3(Δx)2+(Δx)3, ∴割线PQ的斜率
3 2 Δy ?Δx? +3?Δx? +3Δx = =(Δx)2+3Δx+3. Δx Δx

Δy 当Δx=0.1时,割线PQ的斜率k= =(0.1)2+3×0.1+3= Δx 3.31.

[方法总结] 如图所示,函数f(x)的平均变化率的几何意义 yA-yB f?x2?-f?x1? Δy 是:直线AB的斜率.事实上:kAB= = = .根 Δx xA-xB x2-x1 据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率.

求函数f(x)=x3在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化 率.
[错解] 函数f(x)=x3在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
3 f?x0?-f?x0+Δx? x0 -?x0+Δx?3 = Δx Δx 3 2 2 3 x3 0-[x0+3x0?Δx? +3x0·Δx+?Δx? ] = Δx 2 =-[3x2 0+3x0Δx+(Δx) ] 2 =-3x2 - 3 x Δ x - (Δ x ) . 0 0

[辨析] 在解答本题的过程中,易出现Δy=f(x0)-f(x0+ Δy Δx),从而使 计算错误的情况,导致这种情况的原因是平均 Δx 变化率的意义理解不清造成的.
[正解] 函数f(x)=x3在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 f?x0+Δx?-f?x0? ?x0+Δx?3-x3 0 = Δx Δx
2 x3 ?Δx?2+?Δx?3-x3 0+3x0Δx+3x0· 0 = Δx 2 =3x2 0+3x0Δx+(Δx) .

?平均变化率的定义 ? 函数的平均变化率?平均变化率的几何意义 ?平均速度的求法 ?


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