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【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆课件

时间:2016-01-01


专题六

解析几何

第 1讲 直线与圆

栏目索引

高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练

高考真题体验 则b的值是( A.-2或12 ) B.2或-12

1 2 3 4

1.(2015· 安徽)直线3x+4y=b与圆x2+y

2-2x-2y+1=0相切,

C.-2或-12 D.2或12 解析 ∵圆方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1, ∴该圆是以(1,1)为圆心,以1为半径的圆, ∵直线3x+4y=b与该圆相切,

1 2 3 4

|3×1+4×1-b| ∴ =1,解得 b=2 或 b=12,故选 D. 2 2 3 +4

答案 D

1 2 3 4

2.(2015· 湖南 ) 若直线3x- 4y +5= 0与圆x2+ y2= r2(r>0)相交 于 A , B 两 点 , 且 ∠AOB = 120°(O 为 坐 标 原 点 ) , 则 r = 2 ________. 解析 如图,过O点作OD⊥AB于D点, 在Rt△DOB中,∠DOB=60°, ∴∠DBO=30°,
|3×0-4×0+5| 又|OD|= =1,∴r=2|OD|=2. 5

1 2 3 4

3.(2014· 重庆 ) 已知直线 ax + y - 2 = 0 与圆心为 C 的圆 (x - 1)2
+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则
4± 15 实数a=________.

解析

|a+a-2| 圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离为 . 2 a +1

因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=2,
|a+a-2| 2 2 2 所以( ) + 1 = 2 ,解得 a=4± 15. 2 a +1

1 2 3 4

4.(2014· 课标全国Ⅱ)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存
在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________. 解析 如图,过点M作⊙O的切线, 切点为N,连接ON. M点的纵坐标为1, MN与⊙O相切于点N. 设∠OMN=θ,则θ≥45°,

1 2 3 4

2 2 ON 即 sin θ≥ 2 ,即OM≥ 2 .
而 ON=1,∴OM≤ 2.
∵M(x0,1),∴ x2 0+1≤ 2,
∴x2 0≤1,∴-1≤x0≤1,

∴x0的取值范围为[-1,1].

答案 [-1,1]

考情考向分析

考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有 关的问题 . 直线与圆的位置关系 ( 特别是弦长问题 ) ,

此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题
的形式出现.

热点分类突破 热点一 直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1 , l2 的斜率 k1 , k2 存在,则 l1∥l2?k1

=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,
则要考虑斜率是否存在.

2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要 求直线不能与 x轴垂直 .而截距式方程不能表示过原点的直 线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.

3.两个距离公式
(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,
|C1-C2| l2:Ax+By+C2=0 间的距离 d= 2 2. A +B
(2) 点 (x0 , y0) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离公式 d = |Ax0+By0+C| . 2 2 A +B

例1

(1)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x B.1或5C.3或5 D.1或2

-2y+3=0平行,则k的值是( C )
A.1或3

解析

当k=4时,直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率存在,

则两直线不平行; 3-k 当 k≠4 时,两直线平行的一个必要条件是 =k-3,解 4-k
得 k=3 或 k=5. 1 3 但必须满足 ≠2(截距不相等)才是充要条件, 经检验知满 k-4

足这个条件.

(2) 已知两点 A(3,2) 和 B( - 1,4) 到直线 mx + y + 3 = 0 的距离相

等,则m的值为( B ) 1 1 A.0 或-2 B.2或-6 1 1 1 C.-2或2 D.0 或2 |3m+5| |-m+7| 解析 依题意,得 = . 2 2 m +1 m +1 所以|3m+5|=|m-7|.所以(3m+5)2=(m-7)2,
所以8m2+44m-24=0.所以2m2+11m-6=0. 1 所以 m=2或 m=-6.

思维升华

(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存 在的情况; (2)对解题中可能出现的特殊情况,可用数形结合的方 法分析研究.

跟踪演练1

已知A(3,1),B(-1,2)两点,若∠ACB的平分 )

线方程为y=x+1,则AC所在的直线方程为( 1 A.y=2x+4 B.y=2x-3
C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0

解析 称.

由题意可知,直线AC和直线BC关于直线y=x+1对

设点B(-1,2)关于直线y=x+1的对称点为B′(x0,y0),

?y0-2 ? =-1, ?x0+1 则有? ?y0+2 x0-1 ? 2 = 2 +1 ?

?x0=1, ?? 即 B′(1,0). ?y0=0,

因为B′(1,0)在直线AC上,
1-0 1 所以直线 AC 的斜率为 k= =2, 3-1 1 所以直线 AC 的方程为 y-1=2(x-3), 即x-2y-1=0.故C正确.

答案 C

热点二 圆的方程及应用

1.圆的标准方程
当圆心为 (a , b) ,半径为 r 时,其标准方程为 (x - a)2 + (y - b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2. 2.圆的一般方程
D x +y +Dx+Ey+F=0, 其中 D +E -4F>0, 表示以(- 2 ,
2 2 2 2 2 2 D + E -4F E - 2 )为圆心, 为半径的圆 . 2

例2

(1)若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C
B.(x-2)2+(y± 3)2=3 D.(x-2)2+(y± 3)2=4

的方程为( D ) A.(x-2)2+(y± 2)2=3
C.(x-2)2+(y± 2)2=4

解析 因为圆C经过(1,0),(3,0)两点, 所以圆心在直线x=2上,又圆与y轴相切,所以半径r=2,
设圆心坐标为(2,b),则(2-1)2+b2=4,b2=3,b=± 3, 所以选 D.

(2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上,且圆心在直线 l1:x=-2 的 右侧,若圆 M 截直线 l1 所得的弦长为 2 3,且与直线 l2:2x - 5y-4=0 相切,则圆 M 的方程为( )

A.(x-1)2+y2=4B.(x+1)2+y2=4

C.x2+(y-1)2=4D.x2+(y+1)2=4 解析 由已知,可设圆M的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径
为r, ?(a+2)2+( 3)2=r2,
? 得?|2a-4| =r, ? ? 4+5

?a=-1, 解得满足条件的一组解为? ?r=2,

所以圆M的方程为(x+1)2+y2=4.故选B. 答案 B

思维升华

解决与圆有关的问题一般有两种方法: (1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位 置关系,进而求得圆的基本量和方程; (2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件 求得各系数.

跟踪演练2

(1)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x

-y-3=0上的圆的方程为________________.

解析 由题意知KAB=2,AB的中点为(4,0),
设圆心为C(a,b),

∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 1 ? b ?a=2, ? =-2, 则?a-4 解得? ∴C(2,1), ?2a-b-3=0, ?b=1 ?

∴r=|CA|= (5-2)2+(2-1)2= 10.

∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
答案 (x-2)2+(y-1)2=10

(2)已知直线l的方程是 x+y -6=0,A ,B 是直线 l上的两点, 且△OAB是正三角形(O为坐标原点),则△OAB外接圆的方 (x-2)2+(y-2)2=8 程是____________________. 解析 设△OAB的外心为C,连接OC,则易知OC⊥AB,
延长 OC 交 AB 于点 D,则|OD|=3 2, 2 且△AOB 外接圆的半径 R=|OC|=3|OD|=2 2.

又直线OC的方程是y=x,容易求得圆心C的坐标为(2,2), 故所求圆的方程是(x-2)2+(y-2)2=8.

热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系:相交、相切和相离,判断的方法

主要有点线距离法和判别式法.
(1)点线距离法:设圆心到直线的距离为 d,圆的半径为 r, 则 d<r? 直线与圆相交, d = r? 直线与圆相切, d>r? 直线 与圆相离.

(2)判别式法:设圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线 l:Ax+
?Ax+By+C=0, By+C=0,方程组? 2 2 2 消去 y,得关于 x ?(x-a) +(y-b) =r

的一元二次方程根的判别式 Δ,则直线与圆相离?Δ<0,直 线与圆相切?Δ=0,直线与圆相交?Δ>0.

2. 圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、 外离.
2 2 设圆 C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 ,圆 C : ( x - a ) + ( y - b ) 1 2 2 2

=r2 2,两圆心之间的距离为 d,则圆与圆的五种位置关系的 判断方法如下:

(1)d>r1+r2?两圆外离;
(2)d=r1+r2?两圆外切; (3)|r1-r2|<d<r1+r2?两圆相交; (4)d=|r1-r2|(r1≠r2)?两圆内切; (5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)?两圆内含.

例3

(1)已知直线2x+(y-3)m-4=0(m∈R)恒过定点P,若

点P平分圆x2+y2-2x-4y-4=0的弦MN,则弦MN所在直

线的方程是(

)

A.x+y-5=0 B.x+y-3=0

C.x-y-1=0 D.x-y+1=0
解析 对于直线方程2x+(y-3)m-4=0(m∈R),取y=3, 则必有x=2,所以该直线恒过定点P(2,3). 设圆心是C,则易知C(1,2),

3-2 所以 kCP= =1, 2-1

由垂径定理知CP⊥MN,所以kMN=-1.
又弦MN过点P(2,3), 故弦MN所在直线的方程为y-3=-(x-2), 即x+y-5=0. 答案 A

(2)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB
是圆 C: x2+ y2 -2y= 0的两条切线,A, B是切点,若四边

形PACB的最小面积是2,则k的值为(

)

21 A.3 B. 2 C.2 2 D.2 解析 如图,把圆的方程化成标准形式得
x2+(y-1)2=1, 所以圆心为(0,1),半径为r=1, 四边形PACB的面积S=2S△PBC,

所以若四边形PACB的最小面积是2,

则S△PBC的最小值为1.
1 而 S△PBC=2r· |PB|,即|PB|的最小值为 2,

此时|PC|最小,|PC|为圆心到直线kx+y+4=0的距离d,
|5| 此时 d= 2 = 12+22= 5,即 k2=4, k +1

因为k>0,所以k=2. 答案 D

思维升华

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结 合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量. (2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆 心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值 问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与 另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心

的距离问题.

跟踪演练 3

(1)已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆C 的方程

为x2+y2=-2y+3,直线l过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂
直.若直线l与圆C交于A、B两点,则△OAB的面积为(
A.1 B. 2 C.2 D.2 2

)

解析 因为圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4, 圆心为C(0,-1),半径r=2,直线l的斜率为-1, 其方程为x+y-1=0.
|0-1-1| 圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 2, 2

弦长|AB|=2 r2-d2=2 4-2=2 2,
1 又坐标原点 O 到线段 AB 的距离为 , 2
1 1 所以 S△OAB=2×2 2× =1,故选 A. 2

答案 A

(2)两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与C2:x2+y2-
2by - 1 + b2 = 0(b∈R) 恰有三条公切线,则 a + b 的最小值为

(

)
B.-3 C.-3 2 D.3

A.-6

解析 两个圆恰有三条公切线, 则两圆外切,两圆的标准方程分别为圆C1:(x+a)2+y2=4,

圆C2:x2+(y-b)2=1,
所以|C1C2|= a2+b2=2+1=3,即 a2+b2=9.

a+b 2 a2+b2 由( 2 ) ≤ 2 ,得(a+b)2≤18,
所以-3 2≤a+b≤3 2,当且仅当“a=b”时取“=”. 所以选 C.

答案 C

高考押题精练 比为1∶2,则圆C的方程为(
32 2 4 A.(x± 3 ) +y =3 32 4 C.x +(y± 3 ) =3
2

1 2 3

1.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长 )
32 2 1 B.(x± 3 ) +y =3 32 1 D.x +(y± 3 ) =3
2

1 2 3

押题依据

直线和圆的方程是高考的必考点,经常以选择

题、填空题的形式出现,利用几何法求圆的方程也是数形 结合思想的应用.
解析 由已知得圆心在 y 轴上, 且被 x 轴所分劣弧所对圆心 2 角为3π. 设圆心坐标为(0,a),半径为r, π π 2 则 rsin3=1,rcos3=|a|,解得 r= , 3

1 2 3

4 3 3 即 r =3,|a|= 3 ,即 a=± 3 ,
2

32 4 故圆 C 的方程为 x +(y± 3 ) =3.
2

故应选C.
答案 C

1 2 3

2.已知点 A(-2,0), B(0,2), 若点 C 是圆 x2-2ax+y2+a2-1=0 上的动点,△ABC 面积的最小值为 3- 2,则 a 的值为(
A.1 押题依据 B.-5 C.1或-5 D.5

)

和圆有关的最值问题体现了转化与化归的数学

思想,符合高考在交汇点命题的思路.

1 2 3

解析 圆的标准方程为(x-a)2+y2=1,
|a+2| 圆心 M(a,0)到直线 AB:x-y+2=0 的距离为 d= , 2 |a+2| 圆上的点到直线 AB 的最短距离为 d-1= -1, 2 |a+2|- 2 1 (S△ABC)min=2×2 2× =3- 2, 2

解得a=1或-5.

答案 C

1 2 3

3.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公 共弦的长为 2 2,则 a=________.

押题依据

本题已知公共弦长,求参数的范围,情境新

颖,符合高考命题的思路.
解析
?x2+y2=4, 联立两圆方程? 2 2 ?x +y +ax+2ay-9=0,

可得公共弦所在直线方程为ax+2ay-5=0,

1 2 3

|-5| 5 故圆心(0,0)到直线 ax+2ay-5=0 的距离为 2 2= a a +4a (a>0).
52 5 2 故 2 2 -( a ) =2 2,解得 a =2, 10 因为 a>0,所以 a= 2 .
2

答案

10 2


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