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第十六届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及解答


2 0 1 3年  第 5 2卷  第 2期 

数 学通报 

5 5  

第十六届 北京高 中数学知 识应 用  竞赛初赛 试题 及解答 





( 满分 2 0分 ) 2 0 1 2年 2月 2 8 日, KL 8 9 8  

/>表2   生产 能力( 单位 : 千 克/ 季度 )   季 度 
正 常 生 产 

次 航班 从 北京 飞往 阿姆 斯 特 丹 , 飞机于 1 1 : 5 5从  北 京 首都 国际 机场 起 飞 , 向西 飞行 , 到 达 目的 地 的  时 间是 当地 时 间 当 日 1 5 : 1 5 . 3月 4日 KI   3 8 1 1 航  班 沿 同样 的航 线 从 阿姆 斯 特 丹 向东 飞 回北 京 , 起  飞 时 间是 当地 时 间 2 1 : 2 5 , 于 次 日北 京 时间 1 4 : 1 O   到 达北 京 首都 国际机场 . 这 些数 据 显示 , 从 北京 到  阿 姆斯 特丹 飞 行 了 3 小时 2 O 分钟 , 从 阿姆 斯 特丹 

1  
4 5 0  

2  
4 5 O  

3  
7 5 0  

4  
4 5 0  

加 班 生 产  外 协 生 产 

9 0   2 0 0  

9 0   2 0 0  

1 5 O   2 0 0  

9 0   2 0 0  

此外 , 现有 库存 量 为 2 5 0千 克 , 所 希望 的年末  库存 为 3 0 0千克 . 按 照公 司 的经 营方针 , 不 允许 任 
务 积压 和库 存缺 货 .   请按 季 度给 出全 年 的最 优生 产计 划 , 讲 明“ 最  优” 的理 由.   解  因为全 年 生产能 力 为 ( 4 5 0 +9 0 +2 0 0 ) ×   3 +( 7 5 0+ 1 5 0 +2 0 0 ) 一3 3 2 0千 克 , 故 能 够 满 足  3 0 0 0 +3 0 0 —2 5 0 —3 0 5 0的总需 求.  

返 回北 京 用 时 是 1 6小 时 4 5分 钟 . 请 问为 什 么会 
有 如此 大 的差 别.  

解 主要 原 因是 由于世 界各 地 不 同地 区 的计  时起 点 不 同 ( 即世 界 各 地 的 时差 ) 所引起的. 北 京 
与 阿姆 斯特 丹 ( 荷兰) 的 时 差 是 7个 小 时 . 也 就 是  说北 京 时 间的 7点 是荷 兰 的阿姆 斯 特丹 时 间 当 日   的 0点 . 因此 在 北 京 起 飞 的 时 间 1 1 : 5 5相 当于 阿  姆斯特丹 的时间是 凌晨 4 : 5 5 . 飞 机 于 当地 时 间  1 5 : 1 5到 达 所 用 的 飞行 时 间应 该 是 1 5 : 1 5 —4 : 5 5   —1 0小 时 2 O分 . 返 程 从 阿姆 斯 特 丹 起 飞 的 时 间  2 1 : 2 5相 当于 北 京 时 间 的次 日 4 : 2 5 , 到 达 时 间是  l 4 : 1 0 . 飞行 的 时间 是 1 4 : 1 O 一4 : 2 5 —9 小时 4 5分 

所谓 最 优生 产计 划是 按 照要求 生 产所 花 费 的  总成 本最 小 .   将在 第 X季 度 时 ( X一 工, Ⅱ, Ⅲ, I V ) , 第i 季 
度(   :1 , 2 , 3 , 4 ) 的正 常 、 加班、 外协 三 种生 产能 力 

二 F的 1 千 克 产 品 的总 成 本 ( 即: 成 本 + 累计 库 存  费) 分 别记 作 X   X  X   年初 库 存 产 品的 1千  克产 品 的总成 本 ( 即: 累计 库存 费 ) 记作 X 0 .  
生产 能力 选用 原则 : 先 用尽 年初 库存 产 品 , 再  选用 x  中 的 最 小 者 对 应 的 尚 未 用 足 的 生 产 
能力 .  

钟. 往 返 两段 相 差 了 3 5分 钟 , 这 应该 是 由 于 地 球  自转 引起 的. 飞 往 阿 姆 斯 特 丹 是 逆 地 球 自转 的 方  向运 动 , 飞 回北京 时 与地 球 自转 方 向相 同 , 飞得 要 
快 一 些.  
表 1   用户需求预测 ( 单位 : 千克)  

季 度  需 求 

1   3 0 0  

2   8 5 O  

3   1 5 O O  

4   3 5 O  

合 计  3 0 0 0  

在第 1 季度 , 成 本 最 小 的 方 案 是 使 用 现 有 库  存, 所 以尽 可 能多 地将 任 务 分 配 到该 单 元 , 即2 5 0   千克 , 这样 还 剩 5 O千 克 的需 求 尚 未 被满 足 , 可 再 
利 用成 本 最低 的单 元 —— 正 常 生 产 能力 . 一 季 度 

二、 ( 满分 2 O分 ) 某 公司生产一化工产 品, 该 

产 品 的用户 需 求 具 有 季 节 波 动 性 , 通 常第 三季 度  是 需求 高 峰. 需 求 预测 见 表 1 , 该 公 司的 生 产 能力  和 依靠 外 协厂 家 的生 产 能 力 见 表 2 .生 产 每 千克 
的成本 : 正 常生产 为 1 2 0 0元 , 加班 生 产为 1 6 0 0   元, 外 协 生产 为 2 0 0 0元 . 库存成本 是 3 0 0元 / ( 千 
克, 季度 ).  

的需求 得 到满 足.  

在 第 2季度 , 成 本 最小 的方 案是 利 用 该 季 度 
的正 常生产 能力 , 全部利 用 ( 4 5 0千克 ) 之后 . 还 剩 

4 0 0千克 的需 求 未 被 满 足 , 那 么 下 一 个 成 本 最 小 
的方 案 是利 用 一 季 度 的 正 常生 产 能力 , 而截 至 目   前, 一季 度 的正 常生产 能力 恰 余 4 0 0千克 , 将 其 全 

5 6   部用 掉. 二季度 的需求 得到 满足 .  

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2 0 1 3年  第 5 2卷  笫 2期 

外协 生产 能力 ; 最后 , 还 需 分配 2 0千克 到 1季 度 

在第 3季度 , 需求 量非 常大 , 利用的 1 、 2季度  的生 产 能力 只剩 下 了加班 生产 能力 和外协 生 产 能  力. 先 将 任 务最 大 限 度 地分 配 给 3季 度 的正 常 生  产能力 , 这 是 成 本 最 低 的. 然后的分配顺序是 : 3   季度 的加班 生 产 能 力 , 2季 度 的加 班 生 产 能 力. 3   季度 的外 协能 力 , 1季 度 的加 班 能力 和 2季 度 的 

的外 协生 产能 力 , 方 可全 部满 足需 求. 这样 的任 务  分 配意 味 着 , 在 1 季 度 和 2季度 必 须 生产 调 节 库  存, 以满 足 3季度 的需 求.   在第 4季度 , 仍是 重复 相 同的步 骤.   上 述最 优生产 分 析可用 表 *表示 .  

表*   最 优 生 产 分 析 表 

1 季 度 
I   o :0  

2季度 
Ⅱ0 —3 0 0  

3季 度 
Ⅲo 一6 0 0  

4季 度 
Ⅳo 一9 0 0  

生 产力 使用 量  可 用 生 产 能 力 
2 5 O   2 5 O  

年 初 库 存 
25 O  

I   1 1 =1 2 0 0  

Ⅱ1 1 一l 5 0 0  
4 0 0  

Ⅲl 1 —1 8 0 0  

Ⅳ1 1 :2 1 0 0  

正 常 生 产 
50  

4 5 O  
I   1 2 —1 6 0 0  

4 5 O  

1  

Ⅱ1 2 =1 9 0 0  

Ⅲ1 2 —2 2 0 0  

Ⅳl 2 :2 5 0 0  

季  度 

加 班 生 产 
9 0  
I   1 3   2 0 0 0   Ⅱ1 3 —2 3 0 0   Ⅲ1 3 :2 6 0 0  
2O  

9 0  
Ⅳ1 3 =2 9 0 0  

9 0  

外 协 生 产 
Ⅱz l :1 2 0 0   Ⅲ2 1 —1 5 0 0   Ⅳ2 l =1 8 0 0  

1 8 O  

2 0 0  

正 常 生 产 
45 O  

4 5 O  
● 

4 5 0  

2  

Ⅱ 2 2 —1 6 0 0  

Ⅲz 2 =1 9 0 0  

Ⅳ2 2 :2 2 0 0  

季  度 

加 班 生 产  9 O  
Ⅱ2 3 —2 0 0 0   Ⅲ2 3 —2 3 0 0  
2 00  

9 O  

9 O  

Ⅳ2 3 =2 6 0 0  

外 协 生 产 

2 0 0  

2 0 0  

Ⅲ3 1 —1 2 0 0  

Ⅳ3 1 —1 5 0 0  

正 常 生 产 
75 O  

7 5 0  
Ⅲ 3 2 —1 6 0 0   Ⅳ3 2 —1 9 0 0  

7 5 O  

3  

季  度 

加 班 生 产  1 5 O  
Ⅲ3 3 —2 0 0 0   Ⅳ3 3 —2 3 0 0  

l 5 O  

1 5 O  

外 协 生 产 
2 00  

2 0 0  

2 0 0  

Ⅳ4 1 =1 2 0 0  

正 常 生 产 
45 O  

4 5 0  


4 5 O  

4  

4 2= 1 60 0  

季  度 

加 班 生 产  9 0  
Ⅳ4 3 —2 0 0 0  

9 0  

9 O  

外 协 生 产 
11 O  

l 1 0  
3 0 0   8 5 0   1 5 0 0   6 5 O  

2 0 0  

用 户 需 求 

2 0 1 3年  第 5 2卷  第 2期 
全 年生产计划表 ( 单位 : 千克 )  

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5 7  

乘 客 的刷卡 用 时 对 排 队有 明显 的影 响. 地 上 路 面  的周 边 环境 对 乘 客 量 有 影 响 , 居 住 人 口或 写 字 楼 

季 度 
1   2  
3   4  

正 常 生 产  加 班 生 产  外 协 生 产  调 节 库 存 
4 50   45 O  
75 O   45 O  

9 0   9 0  
1 5O   9 0  

2O   20 0  
20 0   11 O  

5 1O   4 00  
O   3 0 0  

多, 会造 成上 下 班高 峰 时地 铁 客流 大 , 商业 网点 或 
汽 车站 点多 会 造 成 长 时 间地 铁 客 流 大. 进 出 站 的  人流 数 量在 不 同的 车站 会有 不 同的规 律. 所以, 这  些 因素 就是 造 成乘 客 刷 卡进 出站排 队现 象 的主 要 
因素 了.  

( 2 ) “ 合理 ” 必须 是一 个 可 以量 化 、 可 以计 算 的  三、 ( 满分 2 O 分) 在 研究 性 学 习的过 程 中经 常  需 要观 察 和研 究 现 实 生 活 中 的 一 些 现 象 , 例 如 运  数学 概念 , 可 以有 乘 客 排 队 现 象 , 但 队 伍 不 能 太  长; 刷 卡机 可 以增 加 , 但 受 空 间 和 资金 的影 响 , 也  不能 增 加 太 多 . 这 是个 双 目标 优 化 的问 题. 于 是,  

用数 学 方法 研究 并 解决 某个 具 体 的地铁 站 乘 客 进 
出站刷 卡排 队的现 象.   首先 , 要列 出造 成 乘 客 在 该 地 铁 站 进 出站 刷  卡排 队现 象 的相关 因素 , 并从 中确 定 出主 要 因素 .  

可 以将“ 合理” 这个概念表述为 : 在乘 客排 队 可 容 
忍 的长度 前 提 下 , 空 间允 许 和 运 营 商 可接 受 的 范 

围内, 确定刷卡机数量 , 使 利益 双方 基 本 平 衡 , 或 
者 对乘 客 方予 以倾 斜.  

相关 因素 有 : 地 铁 列 车 的运 输能 力 、 地 铁站 管 理 工 
作( 进、 出站 通 道 设 置 、 刷 卡 机 的数 量 和设 置 等 ) 、   乘客 的素养 ( 排 队是 否有 序 、 临 刷 卡前 是 否 准 备好  公交 卡等 ) 、 地上 路 面 的周 边 环 境 造成 的人 员 流 动  状况 、 意 外 情 况 的发 生 ( 突然发生 的大 雨, 大 雪)   等等 .   。   确定 了主要 因 素 后 , 就 需 要 明确 解 决 问 题 的  目标 , 并 给 出 清 晰 的数 学 描述 . 例如 , 目标 定 为 给  出合 理 的刷 卡机 设 置数 量 ( 显然 , 刷 卡机 太 少会 导 

致 排 队现 象 的 加 剧 , 而刷 卡 机 过 多会 造 成 乘 客 低 
谷 时 的资 源 浪费 ) .  

( 1 ) 确定 产 生 乘 客 进 出 站 刷 卡 排 队 现 象 的 主 
要 因素 , 并说 明理 由.   ( 2 ) 给 出上述 目标 中“ 合 理” 一 词 的数 学描 述 .   解  ( 1 ) 对 相 关 因素 逐 一 讨 论 , 筛 选 出 主 要 
因素 .   运行 , 如果是 , 这个 因 素 就 是 不 可 改变 的 , 也 就 不 

四、 ( 满分 2 0分 ) 某 校生 物 小 组 的 同学 到 蝴蝶  标 本馆拍 摄 标本 框 , 得 到上 边 的局 部 照 片. 图 中心 

的“ 大蝴蝶” ( 它其实 是一种娥 ) 因 体 型 较 大 称 作 
“ 霸 王蝶 ” , 比较 少见 , 图下方 的则 是很 常 见 的一 种 

蝴蝶 ( 被 山民们 成 为 “ 歌 星蝶 ” ) . 同学 们 在 野 外 考 
得 到 了成 蝶 的平 均重 量 为 0 . 5 3克 , 而 霸王蝶 因为 

对 于 地铁 列 车 的运 力 , 先 看 是 否 已经 满 负 荷  察 中 , 捕 获 到 了 一 些 歌 星蝶 的 活体 , 并 对 它称 重 ,  
予 考虑 了. 否则 就 需要 调查 列 车 的运 力 ( 列 车 的容  量 和发 车 的 间隔 时 间) 与乘 客 的数量 是 否 均衡 . 如 
果 运力 太 低 , 就需要调节运力 , 这 时, 运 力 就 是 主  要 因素 之 一.  

稀少 却 没有 捕到 , 同学们 希 望得 到 霸 王蝶 的体 重 ,   请 你 根据 图 片 中的信 息 , 估 算 出 霸王蝶 的体 重 .   解 利 用 比例 模 型 , 两 种 蝶 可 以近 似 认 为 是  密度 相等 的 相似 体.  

地 铁站 的 管 理 通 道 的 设 置 改 变 一 般 是 困 难  的, 刷 卡机 位 置 的 变 化 也 不 会 为 减 少 乘 客排 队带 

设 歌 星蝶 体 重 为 W歌 星 蝶, 面积为 S 歌 星 蝶, 翼 展 
为L 歌 星 蝶,  

来显 著 改善 .  

霸王 蝶 体 重 为  霸   蝶, 面积 为 S 霸 王 蝶, 翼 展 

对 于意 外情 况 , 既然 是 意外 , 就不 是 经 常 发生  为 L 霸 王 蝶,   的, 在 研 究 中应 当把 这个 因素作 为预 案处 理.   叉  刷 卡机 的数 量增 多 , 乘 客刷 卡 就会 分 散 . 每 位 

5 8  
, S 霸 王 蝶\ 亏 w歌 星 蝶   \ S 歌 星 蝶/  
W 霸王 蝶


数 学通报 
/ L霸 王 蝶、 。   \ L歌 星 蝶/  

2 0 1 3年  第 5 2卷  第 2期 



定 一个 阈值 T( 它是一个正数) , 凡 是 比 阈值 小 的 
数据, 对应 的那 块 图认 作 黑 色 , 否 则 为 白色 , 再 计 

经对 照 片的测 量 , 两种 蝴蝶 的翼 展 比约为 3 , 则 
,T   、3  

算 所有 黑块 数 与 所 有 白块 数 的 比值 , 这 个 值 就 是  图 1的面 积特 征. 例如 , 取 T一 1 2 8 , 得到 黑 白面积 
之 比值 为 R— l o 5 / 2 9 5— 0 . 3 5 5 9 . 取 不 同 的 阈  值, 结 果会 稍微 有所 不 同.  

W 霸   蝶 一W 歇   蝶 × ( \   歌 堕)  
星 蝶 


0 . 5 3 ×3 。 一1 4 . 3 ( 克)  

( 注: 答案在 1 3 ~1 6克都 可 以认为 是对 的) .  

五、 ( 满分 2 0分 ) 一 幅 图像 就像 纵横 交 错 的棋 
盘, 棋 盘 行和 列 的数 目就 表示 图像 的大小 , 棋 盘 的 

格 子就 是 图像 的基本 元 素 , 称 为像 素. 每个 像 素 的 
取值 为 0 ~2 5 5的 整数 , 代 表 了这 个 格 子 的 亮 度.   取值 越 大 , 则越亮 , 反之, 则 越 暗. 这些或 明或暗、  

密 密麻 麻 的格 子 组 成 了在 计 算 机 上 所 看 到 的 图  像. 图像 中所 有像 素 的值 构成 一个 矩 阵 , 也就 是 二 
维 数 组. 图 l是 2 0 0 ×2 0 0的灰 度 图像 , 将 其缩 小 
了一 百倍后 变 为 2 O ×2 O的图像 , 对应 的二维 数组 
图 1  

表 2显示 的二 维 数 组 对 应 着 一 幅 图 , 再取 阈  

为数 表 1 , 为 了区分 不 同 的 图 , 我们 可 以设 定 各 种  图形 的特 征 , 例如 , 以 面积 为 图形 的 特征 . 在 上 述 

值 T一 1 2 8 , 计 算 出 它 的 黑 白面 积 之 比值 为 l O O /   3 0 0 = = =0 . 3 3 3 3 , 与表 1 计 算 的 面积 比值几 乎 相 等 ,  
因此 , 无法 用面 积特 征 区别这 两 幅图.  

图形 中 , 黑色 部 分 的面 积 与 总 面 积 的 比值 为 多 少 
呢?我 们可 以通 过 对 应 的 数 据 进 行计 算 . 首 先 选 

表1   俄 罗 斯 方 块 缩 小 后 对 应 的 数 据 矩 阵 
2 48   2 5 5   25 5   2 48   25 0   2 55   2 5 2   25 5   2 55   25 5   2 54   25 5   2 49   25 0   z5 5  2 5 4   25 5   2 55   2 5 5   25 5  

2 55   2 5 5   25 5   2 50   25 3   2 55   2 4 4   2 49   2 54   25 3   2 50   25 3   2 53   25 5   25 5   2 5 0   25 5   2 55   2 5 5   2 55   2 55   2 4 8   25 1   2 55   25 5   2 52   2 5 5   25 5   2 54   25 5   2 55   25 3   2 55   25 5   25 5   2 55   25 5   2 55   2 5 5   2 55   25 2   2 49   2 53   25 5   2 55   24 9   25 5   2 4 3   2 48   2 55   25 5   2 3 4   255   25 5   2 4 8   25 4   2 55   25 5   2 55   2 5 5   25 5   25 5   2 55   25 2   2 55   24 7   25 4   1 51   121   1 26   1 3 0   1 2 4   215   25 5   2 51   25 5   2 55   25 5   25 5   2 55  
25 5   25 5   2 5 0   25 0   2 55   25 5   2 43   2 55   25 5   2 49   25 2   25 5   2 55   25 3   2 51   25 5   2 54   25 2   25 5   2 4 0   25 5   6 5   51   7 0   2   9   0   0   0   0   0   0   5   1 4   0   2   1 8 0   25 5   2 55   25 5   2 55   25 5   25 5   2 55   1 82   25 5   2 48   24 7   2 55   255   25 5   2 55   1 81   25 5   2 48   25 5   2 55   255   25 5   2 55  

2 45   25 5   24 6   2 52   25 3   25 5   2 43   73  
2 55   2 55   1 5 6   1 26   1 16   1 25   1 34   2 47   2 42   2 55   2 55   2 54   2 55   2 46   24 0   5 6   5 2   5 3   6 0   6   4   0   0   0   9   11   0   0   0   0   0   1 7   2   0   0   35   0   8   0   0  

3  
9   0   8   3   1  

0  
9   0   2   0   0  

0  
1 0   0   5   0   2  

7  
0   0   7   5   6  

1 94   251   25 5   2 4 8   25 5   2 54   25 5   25 2  
1 O2   1 19   13 2   1 2 2   1 1 5   21 0   255   25 3   6   4   0   0   0   0   0   0   2   0   0   1   1   0   0   3   8   0   0   8   1 82   2 55   25 4   1 87   2 5 4   25 4   1 87   2 5 4   25 4   1 8 2   25 5   2 54  

2 55   25 2   1 60   1 2 3   12 1   1 22   1 2 9   1 25   1 2 3   1 26   1 31   12 4   1 27   12 4   1 29   1 2 9   11 5   2 1 0   25 5   2 53   2 55   25 2   25 0   2 55   25 5   2 52   25 5   2 47   2 5 5   2 55   2 55   24 3   2 55   25 5   2 55   24 8   25 5   2 54   25 5   2 52  

2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5   2 5 5  
2 55   2 55   25 5   2 55   2 5 5   25 5   2 55   25 5   2 55   25 5   25 5   2 5 5   25 5   2 55   25 5   2 55   25 5   2 55   2 55   25 5   25 5   2 55   255   25 5   2 55   25 5   25 5   2 5 5   25 5   255   25 5   2 55   25 5   2 55   25 5   25 5   2 5 5   25 5   2 55   2 5  

2 0 1 3年

第 5 2卷
5 

第 2 期  数 学通 报  9   5   1 嘲   5   5 瓤   2   5 搦   5   搦 5   6 耋 耄兰   5 毫   4   2   5 搦   B啪 ) 搦掰 I n     l n1 挪 )  
5   2   5   3  4   5  7   0   5   3   5  

5 9  

表 2 数 据 矩 阵 

4  

5 

5   5  

5  

5 

5  

蟠  

强 0  

2 51   2 5 5   25 4   2 52   255   2 49   2 55   2 4 6   25 5   2 37   25 5   2 55  

8   3 粼   5   1   4   。u 。   mc n     l n1 )娜 l n_   l ^1 搦 )   . )   5 猫   5   2   5   7   。   。。   搦 l nc  )l 搦 n娜 m   l ^1 搦掰 )!  )  
5   O 3  5  O  2 ” ;  0  0  0  9  5   O 1  5  5 5  5 

2 55   25 5   25 5   2 47   25 47   5   2 2 55   25 5   23 8   2 55   25 5   2 35   2 3 4   25 5   2 55   253   25 5   2 55  
7 2  
O  

11 6   2 47   247   24 1   2 55  
o  

1 4  
0  

5   18 6   2 55   25 1 3  
o  

4   5 瓤   5   3 掷   1   3   。。   " .  。 。   4   掰 l n   l 吼搦   1   nl 搦 ;掰瓤 l n   5 掰   1   5 掰   O   5   1 踟   5   。   。。   :l Ⅲ聊   1   l   兰   l n1 §  )l 兰   n_ §嘶 )  
5  3  5  5  4 弘    5  8 ;  0  0   0  0  5  8  7  5  5  5  

o  

6  

75  

2 4 O  

4  
o  

2  
5  
o  

7  
o  

l 96   241  
2 44   25 4  

95  

3  
o  

5  

2 O9   2 5 5   25 5  

9  
o  

1 2 2   25 5   2 55   25 5  

O 撒嘲瓤   5   5   1 跚   5   1 跚瓤   5   9   。。u   M   :5 娜   踟   l nl  nl 掰 n   l 跚 n   5 瓤耋   6 詈猫   5   5   2   3 黜瓤   5   5   O, "     。。 。   7   0   5   5— 3  

19  
o  

23 7   2 55   24 7   2 55  

1 5 4   25 5   2 51   2 5 3   25 5  

14  

2 55   25 5   2 52   2 5 2   25 5  

7   5   5   9 啪   5   7   2   4 纵   1 吼   u。   : ..1 瓤   nl  ;嘶 娜 l n   255  
4  5  4  5  5  4 孔  5    9  5  0  0  0  0  0  O " 6  5    5  5  

2 1 3   2 47   2 5O   25 5   24 4   2 55  

25 5   2 55   255   25 5   2 55  

25 5   25 5   2 55   25 5   25 5   2 55  

25 5   25 5   2 55   255   25 5   2 55  

1 嘲   2   9   2   2   6   3 猢。   。   :   。  
( 1 ) 请用 数 学语 言定 义一 种 数字 图像 的特 征 ,   并根 据这 个 特征 , 区别表 1和表 2所 对 应 的图像 .  
( 2 ) 请用 数学 语 言定 义一 种 数字 图像 的特 征 ,  

。¨。 搦兰 l n     l n1 §    
相 差程 度 ( S   一 S   ) /S   一2 5   , 有 明 显 区  分度 .  

( 注: 还 可 以研究 图像 的重 心 , 或 图像 的主 轴 ,  

并 根 据这 个特 征 , 区 分下 面 的三个 叶子灰 度 图像 .  


或数 据点 之 间 的最 大距 离等 有 效 特 征 进行 区 分.  
每 种 区分 方式 都 要 详 细 写 出数 学 定 义 , 以 及 计 算 
过程. )  

繁 At●  
解 ( 如何 定 义 图形 特 征 , 是 很开放 的, 没 有 

( 2 ) 进 行黑 白阈值 化处 理 , 将 图像变 为黑 白二 

色, 计 算形 状特 征 .  

唯 一答 案 . 以下 答 案供 参考 )  

图像 特征 描述 : 假设 图像大 小 为 M ×N , 图像 
像 素 点 的坐标 ( z,  ) , z 一1 , 2 ,… , M, y :1 ,2 ,  


( 1 ) 图像特 征 的 数 学 描 述 : 对 于这两个 2 0×  
2 0的 图像 , 建 立坐标系 , 以 左 下 角 点 为 坐 标 原 点 
( O , O ) , 每 一个 格 子 点 格 子 长 度 为 1 , 则 此 时 数 组 



N, 图像 函数 为 f( x,  ) . 图像 的灰 度 平 均值 
, 

N 

M 

中 的点 都具 有 了坐 标值 (  ,  ) , 皆为 整 数 , 即( z,  
) , z 一1 , 2 ,… , 2 0 , y一1 , 2 ,… ,2 O . 一 幅 图像 

K 一 

厂 (   ,   )可 以作为 图像 的特 征-  

( 注: 解答 这 个题 , 可 以发 挥 的空 间很大 , 如 下 

沿 水 平 方 向有 最 左 边 点 l e f t ( 而 ,Y   ) , 最 右 边 点  r i g h t ( x , , Y   ) , 沿 垂 直 方 向有 最 上 边 点 t o p(  ,   Y   ) , 最 下边 的点 b o t t o m( x   , Y   ) , 这 四个 点 界定 了 


述几 种 不 同的 描 述 特 征 的方 法 , 只要 符 合 题 目要  求 即可 . )  
N  M  

个矩 形 . 该 矩形 的面积 S一( z   一z   c ) (   一y   ) 可 

? 灰 度方差: D   一∑ ∑ ( 厂 (   ,   ) 一K )   .  
J一 1  i   1  

以作 为 图像 的特 征 . 也 可 以 用该 面 积 与 图像 黑 色  部 分 的 比值作 为 图像 特征 .  
对 于表 1 ,   一3 , z , =1 7 , Y   =1 6 , Y 6 —6 , 贝 0   S 1  
— 1 40;  

? 图像周长特征 : 在外接矩形 中沿着 内侧四个 
方 向( 上下 左 右) 进 行 收缩 , 找到 图像 的边 缘 , 记 录  边 缘 点 的个 数 , 即为 图像 的周长 L .   ? 边 界 点本 身作 为特 征.  
? 可 以定 义 圆度 , 即 c_ _L   2  
.  

对 于表 2 , z f 一2 , z   :1 9 , Y   =1 6 , Y 6 —5 , 则S 2  
= = = 】 87.  


第十六届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及解答

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