浙江省绍兴市第一中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

2013 学 年 第二 学期

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页．满分 100 分, 考试时间 120 分钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上．
参考公式： 柱体的体积公式 V ? Sh ，其中 S 表示底面积， h 表示柱体的高. 1 锥体的体积公式 V ?

Sh ，其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高. 3 4 球的表面积公式 S ? 4? R 2 ， 球的体积公式 V ? ? R3 ，其中 R 表示球的半径. 3

第Ⅰ 卷（选择题部分

共 30 分）

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 3 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A ? ??1, 0,1? ， B ? ?x ?1 ? x ? 1? ，则 A B ? （ A． {0} B． {0,1} C． {?1, 0}
2

） D． {?1, 0,1} )

2．设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ? 0 时， f ( x) ? 2x ? x ，则 f (1) ? ( A. ?3 B. ?1 C. １ D.3 3．已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |? 1, | b |? 2 ，则 | a ? b |? （
.Co m]

） ）

A．0 B ．1 C．2 D. 5 4．设 {an } 是等比数列，则“ a1 ? a2 ? a4 ”是“数列 {an } 是递增数列”的（ A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 5． 将函数 y＝cos2x 的图象向右平移

? 个单位长度， 再将所得图象的所有点的横坐标缩短到 4
） D．y＝cosx ）

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的函数解析式为（ A．y＝sinx B ．y＝－cos4x C．y＝ sin4x

6． 设 m， n 是两条不同的直线，? 、? 、? 是三个不同的平面， 给出下列命题， 正确的 （ A．若 m ? ? ， ? ? ? ，则 m ? ? C．若 ? ? ? ， ? ? ? ，则 ? ? ?
x ?x

B ．若 m// ? ， m ? ? ，则 ? ? ? D．若 ? ）

? ? m，?

? ? n ， m//n ，则 ? // ?

[来

7．函数 y ? (e ? e ) ? sin x 的图象大致是（

8．已知圆 C： ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点，直线 3x＋4y＋2 ＝0 与圆 C 相切，则该圆的方程为（
2 2 A．( x ? 1) ? y ?

）

64 25

B．x 2 ? ( y ? 1) 2 ?

64 25

C．( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

D．x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

9． 设函数 f ( x) ? x ? sin ? x ? 3 ， 则 f?

? 1 ? ? 2 ? ? 4026? ? 4027? ?? f? ? ??? f ? ?? f? ?的 ? 2014? ? 2014? ? 2014? ? 2014?

值为（ ） 4027 A． B． ? 4027 C． ? 8054 D． 8054 10．我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。现 有一正三棱锥 P ? ABC 放置在平面 ? 上，已知它的底 面边长为 2， 高为 h ，BC 在平面 ? 上， 现让它绕 BC 转 动， 并使它在某一时刻在平面 ? 上的射影是等腰直角三 角形，则 h 的取值范围是（ ） P

6 A． (0, ] 6 6 6 C． (0, ]?[ ,1] . 6 3

6 B． [ ,1] 3
D ． (0,1]

B

A

α

C

第Ⅱ 卷（非选择题部分

共 70 分 )

二、填空题：本大题共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分．

5? 的值等于__________； 6 12．一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视 图都是半径为 1 的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这
11． cos 个几何体的体积为 ；

? ?2 x ? y ? 0 ? 13．已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x , 则 2 x ? y 的最小 ? 9 ? y ? ?x ? ? 4
值为 ； 14．沿对角线 AC 将正方形 A B C D 折成直二面角后，A B 与 C D 所在的直线所成的角等 于 ；

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左，右焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右 a 2 b2 支上，且 | PF ； 1 |? 4 | PF 2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
15．已知双曲线 16．设 M 是△ABC 内一点， AB ·AC ? 2 3, ?BAC ? 30 ，定义 f ( M ) ? (m, n, p), 其中

m, n, p 分别是△MBC，△MAC，△MAB 的面积，若 f ( M ) ? ( , x, y ),

1 2

a2 ? 2 1 4 ? ? a ，则 a x y

的取值范围是 。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （本题满分 10 分） 在 ?ABC 中， 角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ， 且满足 cos 2 B ? ? （1）求角 B 的值； （2）若 b ?

1 2

3 且 b ? a ，求 a 的取值范围．

18． （本题满分 10 分）已知数列?an ? 的首项 a1 ? （1）求证：数列 ?an ? 1? 为等比数列； （2） 若 a1 ? a2 ?

5 ， 3an?1 ? an ? 2 ． n ? N * 3

? an ? 100 ，求最大的正整数 n ．

19． （本题满分 10 分） 如图， 平面 ABEF ? 平面 ABC ， 四边形 ABEF 为矩形，AC ? BC ． O 为 AB 的中点， OF ? EC ． （1）求证： OE ? FC ； （2）若 FC 与平面 ABC 所成的角为 30 ， 求二面角 F ? CE ? B 的余弦值．
A O F

E

B

C

第 19 题图

20． （本题满分 10 分）已知函数 f ( x) ? x ?

k (k ? 0) ， x

g ( x) ? x4 ? ax3 ? bx2 ? ax ? 1(a, b ? R)
（1）若 | f ( x) | 的最小值为 2，求 k 值； （2）设函数 y ? g ( x) 有零点，求 a 2 ? b 2 的最小值。

21． （本题满分 12 分）已知抛物线 C: x 2 ? 2 py ，的焦点为 F， ? ABQ 的三个顶点都在抛 物线 C 上，点 M 为 AB 的中点， QF ? 3FM （1）若 M (?

y
●Q

2 2 2 , ) ，求抛物线 C 方程； 3 3

B

●

M
●

●

F
●

（2）若 p ? 0 的常数，试求线段 | AB | 长的最大值。

A

x

(第 21 题图)

绍兴一中

2013 学 年 第二 学期 高二期末试卷

数学（文科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页．满分 150 分, 考试时间 120 分钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上．
参考公式： 柱体的体积公式 V ? Sh ，其中 S 表示底面积， h 表示柱体的高. 1 锥体的体积公式 V ? Sh ，其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高. 3 4 球的表面积公式 S ? 4? R 2 ， 球的体积公式 V ? ? R3 ，其中 R 表示球的半径. 3

第Ⅰ卷（选择题部分

共 30 分）

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 3 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．

A．y＝sinx

B．y＝－cos4x

C．y＝ sin4x

D．y＝cosx

6． 设 m， n 是两条不同的直线，? 、? 、? 是三个不同的平面， 给出下列命题， 正确的 （ B ） A．若 m ? ? ， ? ? ? ，则 m ? ? C．若 ? ? ? ， ? ? ? ，则 ? ? ?
x ?x

B ．若 m// ? ， m ? ? ，则 ? ? ? D．若 ?

? ? m，?

? ? n ， m//n ，则 ? // ?

[来

7．函数 y ? (e ? e ) ? sin x 的图象大致是（ A ）

8．已知圆 C： ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点，直线 3x＋4y＋2 ＝0 与圆 C 相切，则该圆的方程为（ C）

第Ⅱ 卷（非选择题部分
3 5? 的值等于__________。 ? 6 2

共 70 分 )

二、填空题：本大题共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分． 11． cos

12．一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视 图都是半径为 1 的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则 这个几何体的体积为 .

?

? ?2 x ? y ? 0 ? 13． 已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x , 则 2 x ? y 的最小 ? 9 ? y ? ?x ? ? 4
值为 .3

14． 沿对角线 AC 将正方形 A B C D 折成直二面角后， A B 与 C D 所在的直线所成的角等于 60°

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左，右焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右 a 2 b2 5 支上，且 | PF ． 1 |? 4 | PF 2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为 3 8 2 a ， PF2 ? a ， 解：由定义知 | PF 1 ? 1 | ? | PF 2 |? 2a ，又已知 | PF 1 |? 4 | PF 2 | ，解得 PF 3 3 64 2 4 2 a ? a ? 4c 2 17 9 9 9 在 ?PF1 F2 中，由余弦定理，得 cos ?F1 PF2 ? ? ? e 2 ，要求 e 的最 8 2 8 8 2? a? a 3 3
15．已知双曲线

大值， 即求 cos?F1PF2 的最小值， 当 cos?F1 PF2 ? ?1时， 解得 e ?

5 5 ． 即 e 的最大值为 ． 3 3

16．设 M 是△ABC 内一点， AB ·AC ? 2 3, ?BAC ? 30 ，定义 f ( M ) ? (m, n, p), 其中

m, n, p 分别是△MBC，△MAC，△MAB 的面积，若 f ( M ) ? ( , x, y ),
的取值范围是

1 2

a2 ? 2 1 4 ? ? a ，则 a x y

163 [ , ??) 9

.

解：先求得 S?ABC ? 1 ? x ? y ?

1 1 4 1 4 ，所以 a ? ? ? 2( x ? y )( ? ) ? 18 2 x y x y

故

a2 ? 2 2 163 ? a ? ?[ , ??) a a 9
1 2

三、解答题：本大题共 5 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （本题满分 10 分） 在 ?ABC 中， 角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ， 且满足 cos 2 B ? ? （1）求角 B 的值； （2）若 b ?

3 且 b ? a ，求 a 的取值范围．

a1 ? a2 ?

1 1 ? an ? n ? 2( ? 2 ? 3 3

?

1 ) 3n

1 1 ? n ?1 1 ? n ? 2 ? 3 3 ? n ?1? n 1 3 1? 3

故 OC ? 平面 ABEF ， 于是 OC ? OF ． 又 OF ? EC ， 所以 OF ? 平面 OEC ， 所以 OF ? OE ， 又因 OC ? OE ， 故 OE ? 平面 OFC ，

…………2 分

…………4 分

所以 OE ? FC ． …………6 分 （2）解法一：由（I ） ，得 AB = 2 AF ．不妨设 AF ? 1 ， AB ? 2 ．

…………7 分

即二面角 F ? CE ? B 的余弦值为 ?

1 ． 3

…………14 分

解法二：取 EF 的中点 D ，以 O 为原点， OC ， OB ， OD 所在的直线分别为 x ， y ， z 轴

1 , ) 0 ( , 建立空间直角坐标系 O ? xyz ． 不妨设 AF ? 1 ，AB ? 2 ， 则 B0
F (0, ?1,1) ，

， C ( 2,0,0) ，E (0,1,1) ， …………8 分

从而 CE ? (? 2, ?1, ?1) ， EF ? (0, ?2,0) . 设平面 FCE 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ，

z F D E

? EC ? n1 ? 0， ? ? 2 x1 ? y1 ? z1 ? 0 由? ，得 ? ， ? ? ? 2 y ? 0 EC ? n ? 0 ? ? 1 ? 1 ?
可取 n1 ? (1,0, 2) ． …………10 分

A C

O

B

y

同理，可取平面 BEC 的一个法向量为

n2 ? (1, 2,0) ．

………12 分

n ?n 1 于是 cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? ， ……13 分 | n1 || n2 | 3

x

2 2 （2）设函数 y ? g ( x) 有零点，求 a ? b 的最小值。

21． （本题满分 12 分）已知抛物线 C: x 2 ? 2 py ，的焦点为 F， ? ABQ 的三个顶点都在抛 物线 C 上，点 M 为 AB 的中点， QF ? 3FM

（2）设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ，点 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， Q( x0 , y0 ) 由?

? y ? kx ? m ? x ? 2 py
2

得 x2 ? 2 pkx ? 2 pm ? 0

y
●Q

2 2 于是 ? ? 4 p k ? 8 pm ? 0 ， x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 pm ，

所以 AB 中点 M 的坐标为 (2 pk , pk ? m)
2

B

●

M
●

●

F
●

由 QF ? 3FM ，得 (? x0 , 所以 ?

p p ? y0 ) ? 3( pk , pk 2 ? m ? ) ， 2 2

A

x

? 2m 4 ? x0 ? ?3 pk 2 2 ? ， ，由 x0 ? 2 py0 得 k ? ? 2 5 p 15 ? ? y0 ? 2 p ? 3 pk ? 3m

(第 21 题图)