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浙江省绍兴市第一中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含答案


2013 学 年 第二 学期

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页.满分 100 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上.
参考公式: 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示底面积, h 表示柱体的高. 1 锥体的体积公式 V ?

Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 4 球的表面积公式 S ? 4? R 2 , 球的体积公式 V ? ? R3 ,其中 R 表示球的半径. 3

第Ⅰ 卷(选择题部分

共 30 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 3 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ??1, 0,1? , B ? ?x ?1 ? x ? 1? ,则 A B ? ( A. {0} B. {0,1} C. {?1, 0}
2

) D. {?1, 0,1} )

2.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? x ,则 f (1) ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D.3 3.已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |? 1, | b |? 2 ,则 | a ? b |? (
.Co m]

) )

A.0 B .1 C.2 D. 5 4.设 {an } 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a4 ”是“数列 {an } 是递增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 5. 将函数 y=cos2x 的图象向右平移

? 个单位长度, 再将所得图象的所有点的横坐标缩短到 4
) D.y=cosx )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到的函数解析式为( A.y=sinx B .y=-cos4x C.y= sin4x

6. 设 m, n 是两条不同的直线,? 、? 、? 是三个不同的平面, 给出下列命题, 正确的 ( A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?
x ?x

B .若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? )

? ? m,?

? ? n , m//n ,则 ? // ?

[来

7.函数 y ? (e ? e ) ? sin x 的图象大致是(

8.已知圆 C: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,直线 3x+4y+2 =0 与圆 C 相切,则该圆的方程为(
2 2 A.( x ? 1) ? y ?



64 25

B.x 2 ? ( y ? 1) 2 ?

64 25

C.( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

D.x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

9. 设函数 f ( x) ? x ? sin ? x ? 3 , 则 f?

? 1 ? ? 2 ? ? 4026? ? 4027? ?? f? ? ??? f ? ?? f? ?的 ? 2014? ? 2014? ? 2014? ? 2014?

值为( ) 4027 A. B. ? 4027 C. ? 8054 D. 8054 10.我们把底面是正三角形,顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。现 有一正三棱锥 P ? ABC 放置在平面 ? 上,已知它的底 面边长为 2, 高为 h ,BC 在平面 ? 上, 现让它绕 BC 转 动, 并使它在某一时刻在平面 ? 上的射影是等腰直角三 角形,则 h 的取值范围是( ) P

6 A. (0, ] 6 6 6 C. (0, ]?[ ,1] . 6 3

6 B. [ ,1] 3
D . (0,1]

B

A

α

C

第Ⅱ 卷(非选择题部分

共 70 分 )

二、填空题:本大题共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分.

5? 的值等于__________; 6 12.一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧视 图都是半径为 1 的圆,且这个几何体是实心球体的一部分,则这
11. cos 个几何体的体积为 ;

? ?2 x ? y ? 0 ? 13.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x , 则 2 x ? y 的最小 ? 9 ? y ? ?x ? ? 4
值为 ; 14.沿对角线 AC 将正方形 A B C D 折成直二面角后,A B 与 C D 所在的直线所成的角等 于 ;

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右 a 2 b2 支上,且 | PF ; 1 |? 4 | PF 2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
15.已知双曲线 16.设 M 是△ABC 内一点, AB ·AC ? 2 3, ?BAC ? 30 ,定义 f ( M ) ? (m, n, p), 其中

m, n, p 分别是△MBC,△MAC,△MAB 的面积,若 f ( M ) ? ( , x, y ),

1 2

a2 ? 2 1 4 ? ? a ,则 a x y

的取值范围是 。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对的边为 a、b、c , 且满足 cos 2 B ? ? (1)求角 B 的值; (2)若 b ?

1 2

3 且 b ? a ,求 a 的取值范围.

18. (本题满分 10 分)已知数列?an ? 的首项 a1 ? (1)求证:数列 ?an ? 1? 为等比数列; (2) 若 a1 ? a2 ?

5 , 3an?1 ? an ? 2 . n ? N * 3

? an ? 100 ,求最大的正整数 n .

19. (本题满分 10 分) 如图, 平面 ABEF ? 平面 ABC , 四边形 ABEF 为矩形,AC ? BC . O 为 AB 的中点, OF ? EC . (1)求证: OE ? FC ; (2)若 FC 与平面 ABC 所成的角为 30 , 求二面角 F ? CE ? B 的余弦值.
A O F

E

B

C

第 19 题图

20. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ?

k (k ? 0) , x

g ( x) ? x4 ? ax3 ? bx2 ? ax ? 1(a, b ? R)
(1)若 | f ( x) | 的最小值为 2,求 k 值; (2)设函数 y ? g ( x) 有零点,求 a 2 ? b 2 的最小值。

21. (本题满分 12 分)已知抛物线 C: x 2 ? 2 py ,的焦点为 F, ? ABQ 的三个顶点都在抛 物线 C 上,点 M 为 AB 的中点, QF ? 3FM (1)若 M (?

y
●Q

2 2 2 , ) ,求抛物线 C 方程; 3 3

B



M




F


(2)若 p ? 0 的常数,试求线段 | AB | 长的最大值。

A

x

(第 21 题图)

绍兴一中

2013 学 年 第二 学期 高二期末试卷

数学(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上.
参考公式: 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示底面积, h 表示柱体的高. 1 锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 4 球的表面积公式 S ? 4? R 2 , 球的体积公式 V ? ? R3 ,其中 R 表示球的半径. 3

第Ⅰ卷(选择题部分

共 30 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 3 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

A.y=sinx

B.y=-cos4x

C.y= sin4x

D.y=cosx

6. 设 m, n 是两条不同的直线,? 、? 、? 是三个不同的平面, 给出下列命题, 正确的 ( B ) A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?
x ?x

B .若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 ?

? ? m,?

? ? n , m//n ,则 ? // ?

[来

7.函数 y ? (e ? e ) ? sin x 的图象大致是( A )

8.已知圆 C: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,直线 3x+4y+2 =0 与圆 C 相切,则该圆的方程为( C)

第Ⅱ 卷(非选择题部分
3 5? 的值等于__________。 ? 6 2

共 70 分 )

二、填空题:本大题共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分. 11. cos

12.一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧视 图都是半径为 1 的圆,且这个几何体是实心球体的一部分,则 这个几何体的体积为 .

?

? ?2 x ? y ? 0 ? 13. 已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x , 则 2 x ? y 的最小 ? 9 ? y ? ?x ? ? 4
值为 .3

14. 沿对角线 AC 将正方形 A B C D 折成直二面角后, A B 与 C D 所在的直线所成的角等于 60°

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右 a 2 b2 5 支上,且 | PF . 1 |? 4 | PF 2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 3 8 2 a , PF2 ? a , 解:由定义知 | PF 1 ? 1 | ? | PF 2 |? 2a ,又已知 | PF 1 |? 4 | PF 2 | ,解得 PF 3 3 64 2 4 2 a ? a ? 4c 2 17 9 9 9 在 ?PF1 F2 中,由余弦定理,得 cos ?F1 PF2 ? ? ? e 2 ,要求 e 的最 8 2 8 8 2? a? a 3 3
15.已知双曲线

大值, 即求 cos?F1PF2 的最小值, 当 cos?F1 PF2 ? ?1时, 解得 e ?

5 5 . 即 e 的最大值为 . 3 3

16.设 M 是△ABC 内一点, AB ·AC ? 2 3, ?BAC ? 30 ,定义 f ( M ) ? (m, n, p), 其中

m, n, p 分别是△MBC,△MAC,△MAB 的面积,若 f ( M ) ? ( , x, y ),
的取值范围是

1 2

a2 ? 2 1 4 ? ? a ,则 a x y

163 [ , ??) 9

.

解:先求得 S?ABC ? 1 ? x ? y ?

1 1 4 1 4 ,所以 a ? ? ? 2( x ? y )( ? ) ? 18 2 x y x y



a2 ? 2 2 163 ? a ? ?[ , ??) a a 9
1 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对的边为 a、b、c , 且满足 cos 2 B ? ? (1)求角 B 的值; (2)若 b ?

3 且 b ? a ,求 a 的取值范围.

a1 ? a2 ?

1 1 ? an ? n ? 2( ? 2 ? 3 3

?

1 ) 3n

1 1 ? n ?1 1 ? n ? 2 ? 3 3 ? n ?1? n 1 3 1? 3

故 OC ? 平面 ABEF , 于是 OC ? OF . 又 OF ? EC , 所以 OF ? 平面 OEC , 所以 OF ? OE , 又因 OC ? OE , 故 OE ? 平面 OFC ,

…………2 分

…………4 分

所以 OE ? FC . …………6 分 (2)解法一:由(I ) ,得 AB = 2 AF .不妨设 AF ? 1 , AB ? 2 .

…………7 分

即二面角 F ? CE ? B 的余弦值为 ?

1 . 3

…………14 分

解法二:取 EF 的中点 D ,以 O 为原点, OC , OB , OD 所在的直线分别为 x , y , z 轴

1 , ) 0 ( , 建立空间直角坐标系 O ? xyz . 不妨设 AF ? 1 ,AB ? 2 , 则 B0
F (0, ?1,1) ,

, C ( 2,0,0) ,E (0,1,1) , …………8 分

从而 CE ? (? 2, ?1, ?1) , EF ? (0, ?2,0) . 设平面 FCE 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

z F D E

? EC ? n1 ? 0, ? ? 2 x1 ? y1 ? z1 ? 0 由? ,得 ? , ? ? ? 2 y ? 0 EC ? n ? 0 ? ? 1 ? 1 ?
可取 n1 ? (1,0, 2) . …………10 分

A C

O

B

y

同理,可取平面 BEC 的一个法向量为

n2 ? (1, 2,0) .

………12 分

n ?n 1 于是 cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? , ……13 分 | n1 || n2 | 3

x

2 2 (2)设函数 y ? g ( x) 有零点,求 a ? b 的最小值。

21. (本题满分 12 分)已知抛物线 C: x 2 ? 2 py ,的焦点为 F, ? ABQ 的三个顶点都在抛 物线 C 上,点 M 为 AB 的中点, QF ? 3FM

(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , Q( x0 , y0 ) 由?

? y ? kx ? m ? x ? 2 py
2

得 x2 ? 2 pkx ? 2 pm ? 0

y
●Q

2 2 于是 ? ? 4 p k ? 8 pm ? 0 , x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 pm ,

所以 AB 中点 M 的坐标为 (2 pk , pk ? m)
2

B



M




F


由 QF ? 3FM ,得 (? x0 , 所以 ?

p p ? y0 ) ? 3( pk , pk 2 ? m ? ) , 2 2

A

x

? 2m 4 ? x0 ? ?3 pk 2 2 ? , ,由 x0 ? 2 py0 得 k ? ? 2 5 p 15 ? ? y0 ? 2 p ? 3 pk ? 3m

(第 21 题图)


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