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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第五节合情推理与演绎推理 理

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第五节 含绝对值的不等式 1.理解绝对值的几何意义, 并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不 等式: (1)|a+b|≤|a|+|b|; (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: (1)|ax+b|≤c; (2)|ax+b|≥c; (3)|x-a|+|x-b|≥c. 3.会用不等式|a+b|≤|a|+|b|和|a-b|≤

|a-c|+|c-b|证明一些简单 问题. 知识梳理 一、绝对值的基本性质 ?a,a≥0, ? 设 a∈R,则|a|=? ? ?-a,a<0. (1)|a|≥0(当且仅当a=0时,取等号); (2)|a|≥±a; (3)-|a|≤a≤|a|; (4)|-a|=|a|,|a-b|=|b-a|; 2 2 (5)|a| =a . 二、绝对值的运算性质 1.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(注意等号成立的条件). 2.|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(注意等号成立的条件). 以上二式中, 左边分别在 ab≤0(≥0)时取得等号, 右边分别在 ab≥0(≤0)时取得等号. 3.|a·b|=|a|·|b|. ?a? |a| 4.? ?= . ?b? |b| 三、解绝对值不等式的思路 2 2 2 2 1.若 a>0,x∈R,则|x|<a?x <a ?-a<x<a;|x|>a?x >a ?x<-a 或 x>a. ?-a<x<a,a>0, ? 若 a∈R , 则 需 对 a 进 行 分 类 讨 论 : |x|<a ? ? |x|>a ? ??,a≤0; ? x>a或x<-a,a>0, ? ? ?x≠0,a=0, ? ?x∈R,a<0. 2.|f(x)|≤g(x)?-g(x)≤f(x)≤g(x),|f(x)|≥g(x)?f(x)≥g(x)或 f(x)≤ -g(x). 第 1 页 共 3 页 3.|f(x)|≥|g(x)|?f (x)≥g (x)?[(f(x)+g(x)]·[ f(x)-g(x)]≥0. 4. 含有多个绝对值符号的不等式, 例如: 形如|x-a|+|x-b|≥c, |x-a|+|x+a|≤c 或|x-a|-|x-b|≥c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”求解, 也可利用绝对值 的几何意义去求解. 5.含有参数的不等式的求解,通常要对参数分类讨论. 四、解答含绝对值问题的常用策略 (1)定义策略;(2)平方策略;(3)定理策略;(4)等价转化策略;(5)分段讨论策略;(6) 数形结合策略. 五、证明绝对值不等式的方法 证明绝对值不等式的基本思想和基本方法有转化思想和比较法,分析法,换元法,综合 法,放缩法,反证法等. 2 2 基础自测 2 1.若命题 p:|x+1|<2,命题 q:x <2-x,则¬p 是¬q 的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 解析:解|x+1|<2 得-3<x<1,∴p:-3<x<1,¬p:x≤-3 或 x≥1;解 x <2-x 得- 2<x<1,∴q:-2<x<1,¬q:x≤-2 或 x≥1.显然¬p? ¬q,而¬q 推不出¬p. ∴¬p 是¬q 的充分不必要条件.故选 B. 答案:B 2.已知实数集 R,集合 M={x||x+2|<2},N=?x? ? ? ? ? 2 ? 3 <1 ?x+1 ? ? ?,则 M∩(?RN)=( ? ? ) A.{x|-4<x<0 B.{x|-1<x≤0} C.{x|-1≤x<0} D.{x|x<0 或 x>2}

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