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高考复习资料:不等式问题的题型与方法


第 10 讲 不等式 不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用 问题体现了一定的综合性、 灵活多样性, 对数学各部分知识融会贯通, 起到了很好的促进作用. 在 解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不 等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合 问题,方程(

组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体 几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终 都可归结为不等式的求解或证明。 一、知识整合 1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据, 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相 转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归 为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图 形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰. 2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函 数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分 类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切 相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对 含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4. 证明不等式的方法灵活多样, 但比较法、 综合法、 分析法仍是证明不等式的最基本方法. 要 依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维, 并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值). 5.证明不等式的方法多样,内容丰富、技巧性较强.在证明不等式前,要依据题设和待证不 等式的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式 化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手, 经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因” ,后者是“由因导果” ,为沟通联系 的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的. 6.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、 解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时,要特别 注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这三个条件.利用 1 不等式解应用题的基本步骤:1.审题,2.建立不等式模型,3.解数学问题,4.作答。 7.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何 等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应 用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识. 二、方法技巧 1.解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二 次不等式(组)来求解, 。 2.解含参数不等式时, 要特别注意数形结合

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