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2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

时间:2017-11-03


2016 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分 标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分 档次给分, 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次, 第 10、 11 小题 5 分一个档次, 不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分 1.设实数 a 满足 a ? 9a 3 ? 11a ?| a | ,则 a 的取值范围是 2. 设复数 z , w 满足 | z |? 3 ,( z ? w )(z ? w) ? 7 ? 4i , 其中 i 是虚数单位,z , w 分别表示 z , w 的共轭复数, 则 ( z ? 2w )(z ? 2w) 的模为 3.正实数 u , v, w 均不等于 1,若 logu vw ? logv w ? 5 , logv u ? logw v ? 3 ,则 logw u 的值为 4.袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币.现随机从 两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 5.设 P 为一圆锥的顶点,A,B,C 是其底面圆周上的三点,满足 ?ABC =90°,M 为 AP 的中点.若 AB=1, AC=2, AP ?

2 ,则二面角 M—BC—A 的大小为
4

6 . 设 函 数 f ( x ) ? sin

kx kx ? cos 4 ,其中 k 是一个正整数.若对任意实数 a ,均有 10 10

{ f ( x) | a ? x ? a ? 1} ? { f ( x) | x ? R},则 k 的最小值为
7.双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F2 作直线与双曲线 C 的右半支交于 3

点 P,Q,使得 ?F1 PQ =90°,则 ?F1 PQ 的内切圆半径是 8.设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,…,100 中的 4 个互不相同的数,满足
1 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? a3 )(a2 ? a3 ? a4 ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ) 2

则这样的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的个数为 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分 16 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 2BA ? BC ? 3CA ? CB .求 sin C 的最大值.

2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 1 页,共 14 页

10. (本题满分 20 分)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1 ,且对任意 x ? 0 ,均有 f ( 求 f (1) f (

x ) ? xf ( x) . x ?1

1 1 1 1 1 1 1 ) ? f ( ) f ( ) ? f ( ) f ( ) ? … ? f ( ) f ( ) 的值. 100 2 99 3 98 50 51

11. (本题满分 20 分)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是 x 轴正半轴上的一个动点.以 F 为焦点, O 为顶点作抛物线 C.设 P 是第一象限内 C 上的一点,Q 是 x 轴负半轴上一点,使得 PQ 为 C 的切线,且| PQ|=2.圆 C1 , C2 均与直线 OP 相切于点 P,且均与轴相切.求点 F 的坐标,使圆 C1 与 C 2 的面积之和取到 最小值.

2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 2 页,共 14 页

2016 年全国高中数学联合竞赛加试
2 2 一、 (本题满分 40 分) 设实数 a1 , a2 , … , a 2016 满足 9ai ? 11ai2 求 (a1 ? a2 )。 ,2, … ,2015 )(a2 ? a3 )… ?1 (i ? 1 2 (a2015 ? a2016 )(a2016 ? a12 ) 的最大值。

二、 (本题满分 40 分)如图所示,在 ?ABC 中,X,Y 是直线 BC 上两点(X,B,C,Y 顺次排列) ,使得 BX ? AC ? CY ? AB 。 设 ?ACX , ?ABY 的外心分别为 O1 , O2 ,直线 O1O2 与 AB,AC 分别交于点 U,V。 证明: ?AUV 是等腰三角形。

2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 3 页,共 14 页

三、 (本题满分 50 分)给定空间中 10 个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点之间用线段相连, 若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值。

四、 (本题满分 50 分) 设 p 与 p ? 2 均是素数, p ? 3 。 数列 {an } 的定义为 a1 ? 2 ,a n ? an ?1 ? ?

? pan?1 ? ?, ? n ?

n ? 2,3, ,…。这里 ?x ? 表示不小于实数 x 的最小整数。

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2016 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)
参考答案及评分标准 说明: 3. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分 标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 4. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分 档次给分, 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次, 第 10、 11 小题 5 分一个档次, 不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分 1.设实数 a 满足 a ? 9a 3 ? 11a ?| a | ,则 a 的取值范围是 答案: a ? (?

2 3 10 ,? ) 3 3

解:由 a ?| a | 可得 a ? 0 ,原不等式可变形为

1?

9a 3 ? 11a | a | ? ? ?1 a a
2

2 即 ? 1 ? 9a ? 11 ? 1 ,所以 a ? (

10 4 2 3 10 , ) .又 a ? 0 ,故 a ? (? ,? ). 9 3 3 3

2. 设复数 z , w 满足 | z |? 3 ,( z ? w )(z ? w) ? 7 ? 4i , 其中 i 是虚数单位,z , w 分别表示 z , w 的共轭复数, 则 ( z ? 2w )(z ? 2w) 的模为 答案: 65 解 : 由 运 算 性 质 , 7 ? 4i ? ( z ? w)(z ? w) ?| z |2 ? | w |2 ?( zw ? zw) , 因 为 | z | 与 | w | 为 实 数 ,
2 2

Re(zw ? zw) ? 0 ,故 | z |2 ? | w |2 ? 7 , zw ? zw ? ?4i ,又 | z |? 3 ,所以 | w | 2 ? 2 ,从而 ( z ? 2w)(z ? 2w) ?| z |2 ?4 | w |2 ?2( zw ? zw) ? 9 ? 8 ? 8i ? 1 ? 8i
因此, ( z ? 2w )(z ? 2w) 的模为 65 . 3.正实数 u , v, w 均不等于 1,若 logu vw ? logv w ? 5 , logv u ? logw v ? 3 ,则 logw u 的值为 答案:

4 5

解:令 logu v ? a , logv w ? b ,则

log v u ?

1 1 , log w v ? , logu vw ? logu v ? logu v ? logv w ? a ? ab a b
2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 5 页,共 14 页

条件化为 a ? ab ? b ? 5 ,

1 1 5 ? ? 3 ,由此可得 ab ? ,因此 a b 4 4 log w u ? log w v ? log v u ?? . 5

4.袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币.现随机从 两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 答案:

9 35

解: 一种取法符合要求, 等价于从 A 中取走的两张纸币的总面值 a 小于从 B 中取走的两张纸币的总面值 b ,
2 从而 a ? b ? 5 ? 5 ? 10 . 故只能从 A 中国取走两张 1 元纸币, 相应的取法数为 C3 又此时 b ? a ? 2 , ? 3. 2 2 即从 B 中取走的两张纸币不能都是 1 元纸币,相应有 C7 ? C3 ? 18 种取法.因此,所求的概率为

3 ? 18 54 9 . ? ? 2 2 C5 ? C7 10 ? 21 35
5.设 P 为一圆锥的顶点,A,B,C 是其底面圆周上的三点,满足 ?ABC =90°,M 为 AP 的中点.若 AB=1, AC=2, AP ? 答案: arctan

2 ,则二面角 M—BC—A 的大小为
2 3

解: 由 ?ABC =90°知, AC 为底面圆的直径. 设底面中心为 O, 则 PO ?

1 AC ? 1 ,进而 PO ? AP2 ? AO2 ? 1 . 2 设 H 为 M 在底面上的射影, 则 H 为 AO 的中点. 在底面中作 HK ? BC 于点 K,则由三垂线定理知 MK ? BC ,从而 ?MKH 为二面角 M—
平面 ABC,易知 AO ? BC—A 的平面角.

1 HK HC 3 3 ? ? , 结 合 HK 与 AB 平 行 知 , , 即 HK ? , 这 样 2 AB AC 4 4 MH 2 2 tan ?MKH ? ? .故二面角 M—BC—A 的大小为 arctan . HK 3 3 kx kx 4 ? cos 4 6 . 设 函 数 f ( x ) ? sin ,其中 k 是一个正整数.若对任意实数 a ,均有 10 10
因 MH ? AH ?

{ f ( x) | a ? x ? a ? 1} ? { f ( x) | x ? R},则 k 的最小值为
答案:16 解:由条件知, f ( x) ? (sin

5m ? (m ? Z ) 时, f ( x) 取到最大值.根据条件知,任意一个长为 1 的开区间 (a, a ? 1) k 5? ? 1 ,即 k ? 5? . 至少包含一个最大值点,从而 k
其中当且仅当 x ? 反 之 , 当 k ? 5? 时 , 任 意 一 个 开 区 间 均 包 含 f ( x) 的 一 个 完 整 周 期 , 此 时 2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 6 页,共 14 页

kx kx kx kx ? cos 2 ) 2 ? 2 sin 2 cos 2 10 10 10 10 kx 1 2kx 3 ? 1 ? sin 2 ? cos ? 5 4 5 4
2

{ f ( x) | a ? x ? a ? 1} ? { f ( x) | x ? R}成立.综上可知,正整数的最小值为 [5? ] ? 1 ? 16 .
7.双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F2 作直线与双曲线 C 的右半支交于 3

点 P,Q,使得 ?F1 PQ =90°,则 ?F1 PQ 的内切圆半径是 答案: 7 ? 1 解:由双曲线的性质知,

F1 F2 ? 2 ? 1 ? 3 ? 4 , PF1 ? PF2 ? QF1 ? QF2 ? 2 .
2 2 2 因 ?F1 PQ =90°,故 PF 1 ? PF 2 ? F 1 F2 ,因此

PF1 ? PF2 ? 2( PF12 ? PF22 ) ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 ? 4 2 ? 2 2 ? 2 7 从而直角 ?F1 PQ 的内切圆半径


r?

1 1 1 ( F1 P ? PQ ? F1Q) ? ( PF1 ? PF2 ) ? (QF1 ? QF2 ) ? 7 ? 1 2 2 2

8.设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,…,100 中的 4 个互不相同的数,满足
1 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? a3 )(a2 ? a3 ? a4 ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ) 2

则这样的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的个数为 答案:40
1 2 2 2 2 2 解:由柯西不等式知, (a1 ? a2 ? a3 )(a2 ? a3 ? a4 ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ) 2 ,等号成立的充分必要条件



a1 a 2 a3 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列.于是问题等价于计算满足 {a1 , a2 , a3 , a4 } ? {1,2,3,… ? ? a 2 a3 a 4
n ,其中 m, n 为 m

,100}的等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 的个数.设等比数列的公比 q ? 1 ,且 q 为有理数.记 q ?
互素的正整数,且 m ? n . 先考虑 n ? m 的情况.

a n 3 a1 n 3 3 3 此时 a 4 ? a1 ( ) ? ,注意到 m , n 互素,故 l ? 13 为正整数. 相应地, a1 , a2 , a3 , a4 分别等于 3 m m m
n ? 1 ,满足条件并以 q 为公比的等 m 100 3 比数列 a1 , a2 , a3 , a4 的个数,即为满足不等式 n l ? 100 的正整数 l 的个数,即 [ 3 ] . n 3 4 3 由于 5 ? 100,故仅需考虑 q ? 2,3, ,4, 这些情况,相应的等比数列的个数为 2 3

m3l , m 2 nl, mn2l , n 3l ,它们均为正整数.这表明,对任意给定的 q ?

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100 100 100 100 100 [ ]?[ ]?[ ]?[ ]?[ ] ? 12 ? 3 ? 3 ? 1 ? 1 ? 20 . 8 27 27 64 64
当 n ? m 时,由对称性可知,亦有 20 个满足条件的等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 . 综上可知,共有 40 个满足条件的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) . 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分 16 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 2BA ? BC ? 3CA ? CB .求 sin C 的最大值.

b2 ? c2 ? a2 解:由数量积的定义及余弦定理知, AB ? AC ? cb cos A ? . 2
同理得, BA ? BC ?

a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 , CA ? CB ? .故已知条件化为 2 2

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2(a 2 ? c 2 ? b 2 ) ? 3(a 2 ? b 2 ? c 2 )
即 a ? 2b ? 3c .………………………………8 分
2 2 2

由余弦定理及基本不等式,得

a2 ? b2 ? c2 cosC ? ? 2ab
?

1 a 2 ? b 2 ? (a 2 ? 2b 2 ) 3 2ab

a b a b 2 ? ?2 ? ? 3b 6a 3b 6a 3
2

所以 sin C ? 1 ? cos C ?

7 .………………………………12 分 3

等号成立当且仅当 a : b : c ? 3 : 6 : 5 .因此 sin C 的最大值是

7 .……………16 分 3
x ) ? xf ( x) . x ?1

10. (本题满分 20 分)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1 ,且对任意 x ? 0 ,均有 f ( 求 f (1) f (

1 1 1 1 1 1 1 ) ? f ( ) f ( ) ? f ( ) f ( ) ? … ? f ( ) f ( ) 的值. 100 2 99 3 98 50 51 1 解:设 a n ? f ( )( n =1,2,3,…) ,则 a1 ? f (1) ? 1 . n 1 ? x 1 x k ? 1 ,及 f ( x) 为奇函数.可知 ) ? xf ( x) 中取 x ? ? (k ? N *) ,注意到 在 f( ? 1 x ?1 k x ?1 k ?1 ? ?1 k 1 1 1 1 1 f( ) ? ? f (? ) ? f ( ) ……………………5 分 k ?1 k k k k
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n ?1 n ?1 a k ?1 1 a 1 1 .……………………10 分 ? ,从而 an ? a1 ? ? k ?1 ? ? ? ak k (n ? 1)! k ?1 a k k ?1 k

因此

? ai a101?i ? ?
i ?1 i ?1

50

50

49 1 1 ?? (i ? 1)!(100 ? i)! i ?0 i!?(99 ? i)!

1 49 i 1 49 i 1 1 99 2 98 99 ?i ……………………20 分 ? (C99 ? C99 ) ? ? ?2 ? ? C99 ? 99! ? 99! i ?0 99! 2 99! i ?0

11. (本题满分 20 分)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是 x 轴正半轴上的一个动点.以 F 为焦点, O 为顶点作抛物线 C.设 P 是第一象限内 C 上的一点,Q 是 x 轴负半轴上一点,使得 PQ 为 C 的切线,且| PQ|=2.圆 C1 , C2 均与直线 OP 相切于点 P,且均与轴相 的坐标,使圆 C1 与 C 2 的面积之和取到最小值. 解:设抛物线 C 的方程是 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,点 Q 的坐 标 为 切.求点 F

(?a,0)(a ? 0) , 并 设 C1 , C2 的 圆 心 分 别 为

O1 ( x1 , y1 ),O2 ( x2 , y2 ) .
设直线 PQ 的方程为 x ? my ? a(m ? 0) ,将其与 C 的方程联立,消去 x 可知 y 2 ? 2 pmy? 2 pa ? 0 . 因为 PQ 与 C 相切于点 P,所以上述方程的判别式为 ? ? 4 p m ? 4 ? 2 pa ? 0 ,解得 m ?
2 2

2a .进而可 p

知,点 P 的坐标为 ( xP , y P ) ? (a, 2 pa) .于是

| PQ |? 1 ? m 2 | y P ? 0 |? 1 ?
由|PQ|=2 可得

2a ? 2 pa ? 2a( p ? 2a) . p

4a 2 ? 2 pa ? 4

①……………………5 分 圆

注意到 OP 与圆 C1 , C2 相切于点 P,所以 OP ? O1O2 .设

C1 , C2 与 x 轴分别相切于点 M,N,则 OO1 , OO2 分别是
?POM, ?PON 的平分线,故 ?O1OO2 =90°.从而由射

2 2 y1 y2 ? O1 M ? O2 N ? O1 P ? O2 P ? OP2 ? xP ? yP ? a 2 ? 2 pa

影 定 理

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结合①,就有 y1 y2 ? a 2 ? 2 pa ? 4 ? 3a 2 由 O1 , P, O2 共线,可得

②……………………10 分

y1 ? 2 pa 2 pa ? y 2
化简得

?

y1 ? y P OP OM y ? 1 ? 1 ? 1. y P ? y 2 PO2 O2 N y 2

y1 ? y 2 ?

2 2 pa

y1 y 2

③……………………15 分

2 2 令 T ? y1 ,则圆 C1 , C2 的面积之和为 ?T .根据题意,仅需考虑 T 取到最小值的情况. ? y2

根据②、③可知,

T ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ?

4 2 2 y1 y 2 ? 2 y1 y 2 2 pa

?

4 (4 ? 3a 2 )(2 ? a 2 ) 2 2 2 ( 4 ? 3 a ) ? 2 ( 4 ? 3 a ) ? . 4 ? 4a 2 1? a2

2 作代换 t ? 1 ? a ,由于 4t ? 4 ? 4a 2 ? 2 pa ? 0 ,所以 t ? 0 .于是

T?

(3t ? 1)(t ? 1) 1 1 ? 3t ? ? 4 ? 2 3t ? ? 4 ? 2 3 ? 4 . t t t
3 1 ,此时 a ? 1 ? t ? 1 ? ,因此结合①得, 3 3

上式等号成立当且仅当 t ?

p 1? a2 ? ? 2 a

t 1? 1 3

?

3t 3? 3

?

1 3? 3

从而 F 的坐标为 (

p 1 ,0) ? ( ,0) .………………………20 分 2 3? 3

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2016 年全国高中数学联合竞赛 加试
2 2 一、 (本题满分 40 分) 设实数 a1 , a2 , … , a 2016 满足 9ai ? 11ai2 求 (a1 ? a2 )。 ,2, … ,2015 )(a2 ? a3 )… ?1 (i ? 1 2 (a2015 ? a2016 )(a2016 ? a12 ) 的最大值。 2 2 2 解:令 P ? (a1 ? a2 )(a2 ? a3 ) … (a2015 ? a2016 )(a2016 ? a12 ) ,

由已知得,对 i ? 1,2, …,2015,均有 ai ? ai ?1 ?
2

11 2 ai ?1 ? ai2?1 ? 0 。 9

2 若 a2016 ? a1 ? 0 ,则 P ? 0 。……………10 分 2 以下考虑 a2016 ? a1 ? 0 的情况。约定 a2017 ? a1 。由平均不等式得
1 2016 2016 1 2016 1 2016 2 ( a ? a ) ? ( a ? ai2?1 ) ? i i?1 2016 ? ? i 2016 i ?1 i ?1 i ?1

P

?

?

2016 1 2016 1 2016 ( ? ai ? ? ai2 ) ? ? ai (1 ? ai ) ………………20 分 2016 i ?1 2016 i ?1 i ?1

?

1 2016 ai ? (1 ? ai ) 2 1 1 1 [ ] ? ? 2016? ? ? 2016 i ?1 2 2016 4 4
1 4
2016

所以 P ?

。………………30 分

当 a1 ? a2 ? … ? a 2016 ?

1 ) ,此时 时 , 上 述 不 等 式 等 号 成 立 , 且 有 9ai ? 11ai2 ,2, … ,2015 ?1 (i ? 1 2

P?

1 4
2016



综上所述,所求最大值为

1 4
2016

。………………40 分

二、 (本题满分 40 分)如图所示,在 ?ABC 中,X,Y 是直线 BC 上两点(X,B,C,Y 顺次排列) ,使得 BX ? AC ? CY ? AB 。 设 ?ACX , ?ABY 的外心分别为 O1 , O2 ,直线 O1O2 与 AB,AC 分别交于点 U,V。 证明: ?AUV 是等腰三角形。

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证法一:作 ?BAC 的内角平分线交 BC 于点 P,设三角形 ACX 和 ABY 的外接圆分别为 ?1 和 ? 2 。由内角平

BP AB BX AB ? ? 。由条件可得 。从而 CY AC CP AC PX BX ? BP AB BP ? ? ? PY CY ? CP AC CP 即 CP ? PX ? BP ? PY 。…………20 分
分线的性质知, 故 P 对圆 ?1 和 ? 2 的幂相等,所以 P 在 ?1 和 ? 2 的根轴上。…………30 分 于是 AP ? O1O2 ,这表明点 U,V 关于直线 AP 对称,从而三角形 AUV 是等腰三角形。…………40 分

证法二:设 ?ABC 的外心为 O,连接 OO1 , OO2 。过点 O, O1 , O2 ,分别作直线 BC 的垂线,垂足分别为

D, D1 , D2 ,作于点 K。
我们证明。在直角三角形 OKO1 中,

OO1 ?

O1 K sin ?O1OK

由外心性质, OO1 ? AC 。又 OD ? BC ,故 ?O1OK ? ?ACB 。 而 D, D1 分别是 BC,CX 的中点,所以 DD1 ? CD1 ? CD ? 因此

1 1 1 CX ? BC ? BX 。 2 2 2

1 BX O1 K DD1 BX OO1 ? ? ? 2 ?R AB sin ?O1OK sin ?ACB AB 2R CY 这里 R 是 ?ABC 的外接圆半径。同理 OO 2 ? R 。…………10 分 AC BX CY ? 由已知条件可得 ,故 OO1 ? OO2 。…………20 分 AB AC

2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 12 页,共 14 页

由于 O1O2 ? AC ,所以 ?AVU ? 90° ? ?OO1O2 。同理 ?AUV ? 90° ? ?OO2 O1 。…………30 分 又因为 OO1 ? OO2 ,故 ?OO1O2 ? ?OO2 O1 ,从而 ?AUV ? ?AVU 。这样 AU ? AV ,即 ?AUV 是 等腰三角形。………………40 分 三、 (本题满分 50 分)给定空间中 10 个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点之间用线段相连, 若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值。 解:以这 10 个点为顶点,所连线段为边。得到一个 10 阶简单图 G。我们证明 G 的边数不超过 15. 设 G 的顶点为 v1 , v2 , … , v10 ,共有 k 条边,用 deg(vi ) 表示顶点 v i 的度。若 deg(vi ) ? 3 对 i ? 1,2, …,10 都成立,则

k?

1 10 1 deg(vi ) ? ? 10 ? 3 ? 15 ? 2 i ?1 2

假设存在 v i 满足 deg(vi ) ? 4 。不妨设 deg(v1 ) ? n ? 4 ,且 v1 与 v 2 , … , vn?1 均相邻。于是 v 2 , … , vn?1 之间 没有边,否则就形成三角形,所以, v1 , v2 , … , vn?1 之间恰有 n 条边。…………10 分 对每个 j (n ? 2 ? j ? 10) , (否则设 v j 与 vs , vt (2 ? s ? t ? n ? 1) 相 v j 至多与 v 2 , … , vn?1 中的一个顶点相邻 邻,则 v1 , vs , v j , vt 就对应了一个空间四边形的四个顶点,这与题设条件矛盾。 )从而 v 2 , … , vn?1 与 v n ? 2 , …

, v10 之间的边数至多 10 ? (n ? 1) ? 9 ? n 条。…………20 分
在 v n ? 2 , … , v10 这 9 ? n 个顶点之间,由于没有三角形,由托兰定理,至多 [

(9 ? n) 2 ] 条边,因此 G 的边数 4

k ? n ? (9 ? n) ? [

(9 ? n) 2 (9 ? n) 2 25 ] ? 9 ?[ ] ? 9 ? [ ] ? 15 …………30 分 4 4 4

如图给出的图共有 15 条边,且满足要求。 综上所述,所求边数的最大值为 15.………50 分

四、 (本题满分 50 分) 设 p 与 p ? 2 均是素数, p ? 3 。 数列 {an } 的定义为 a1 ? 2 ,a n ? an ?1 ? ?

? pan?1 ? ?, ? n ?

n ? 2,3, ,…。这里 ?x ? 表示不小于实数 x 的最小整数。
2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 13 页,共 14 页

证明:对 n ? 3,4, … , p ? 1 均有 n | pan?1 ? 1 成立。 证明:首先注意, {an } 是整数数列。 对 n 用数学归纳法。当 n ? 3 时,由条件知 a 2 ? 2 ? p ,故 pa2 ? 1 ? ( p ? 1) 2 。因 p 与 p ? 2 均是素数, 且 p ? 3 ,故必须 3 | p ? 1 。因此 3 | pa2 ? 1 ,即 n ? 3 时结论成立。 对 3 ? n ? p ? 1,设对 k ? 3, … , n ? 1 成立 k | pak ?1 ? 1 ,此时 ?

? pak ?1 ? pak ?1 ? 1 , ?? k ? k ?

故 pak ?1 ? 1 ? p(ak ?2 ? ? k ?2 ?) ? 1 ? p(ak ?2 ? ? k ?1 ?

? pa

?

pak ?2 ? 1 ) ?1 k ?1

?

( pak ?2 ? 1)( p ? k ? 1) …………10 分 k ?1

故对 3 ? n ? p ? 1,有

p ? n ?1 p ? n ?1 p ? n ? 2 ( pa n ? 2 ? 1) ? ? ( pa n ?3 ? 1) n ?1 n ?1 n?2 p ? n ?1 p ? n ? 2 p?3 ? ? …? ( pa 2 ? 1) …………20 分 =… ? n ?1 n?2 3 pa n ?1 ? 1 ?
因此 pan ?1 ? 1 ?

2n( p ? 1) n Cp ?n ( p ? n)( p ? 2)

n 由此知(注意 C p ? n 是整数) n | ( p ? n)( p ? 2)( pan?1 ? 1) ①…………40 分

因 n ? p , p 是素数,故 (n, n ? p) ? (n, p) ? 1 ,又 p ? 2 是大于 n 的素数,故 (n, p ? 2) ? 1 ,从而 n 与

( p ? n)( p ? 2) 互素,故由①知 n | pan?1 ? 1 ,则数学归纳法知,本题得证。………50 分

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