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2016高考数学二轮复习 专题9 思想方法专题 专题综合检测九 文


专题综合检测(九)
(时间:120 分钟,满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

? π? 1 1.方程 sin?x- ?= x 的实数解的个数是(B) 4? 4 ?
A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.以上均不对



2. 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(其中 a<b), 且α , β 是方程 f(x)=0 的两根(α <β ), 则实数 a,b,α ,β 的大小关系为(A) A.α <a<b<β C.a<α <b<β B.α <a<β <b D.a<α <β <b

3.已知 y=f(x)是定义在 R 上的单调函数,实数 x1≠x2,λ ≠-1,α =

x1+λ x2
1+λ

,β =

x2+λ x1
1+λ

,若|f(x1)-f(x2)|<|f(α )-f(β )|,则(A) B.λ =0

A.λ <0

C.0<λ <1 D.λ ≥1

4.一给定函数 y=f(x)的图象在下图中, 并且对任意 a1∈(0,1), 由关系式 an+1=f(an) 得到的数列{an}满足 an+1>an(n∈N ),则该函数的图象是(A)
*

2 -1,x≤0, ? ? 5.设函数 f(x)=? 1 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(D) ? x , x > 0. 2 ? A.(-1,1) B.(-1,+∞)
1

-x

C.(-∞,-2)∪(0,+∞)

D.(-∞,-1)∩(1,+∞)

? 1? 2 6.已知不等式 x -logmx<0 在 x∈?0, ?时恒成立,则 m 的取值范围是(B) ? 2? ?1 ? A.(0,1) B.? ,1? ?16 ?
1? ? C.(1,+∞) D.?0, ? ? 16?

7.(2015·天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3),且 双曲线的一个焦点在抛物线 y =4 7x 的准线上,则双曲线的方程为(D) A. - =1 21 28
2

x2 y2 a b

x2

y2

B. - =1 28 21 D. - =1 4 3

x2

y2

C. - =1 3 4

x2 y2

x2 y2

解析:由双曲线的渐近线 y= x 过点(2,
2 2 2

b a

3),可得

3= ×2.①
2 2

b a

由双曲线的焦点(- a +b ,0)在抛物线 y =4 7x 的准线 x=- 7上,可得 a +b = 7.② 由①②解得 a=2,b= 3,所以双曲线的方程为 - =1. 4 3

x2 y2

? ?|lg|x-1||,x≠1, 2 8.设定义域为 R 的函数 f(x)=? 则关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c ?0,x=1, ?

=0 有 7 个不同实数解的充要条件是(C) A.b<0 且 c>0 B.b>0 且 c<0 C.b<0 且 c=0 D.b≥0 且 c=0

π π 9.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 6 4 的面积为(B) A.2 3+2 B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1

π π b c bsin C 解析:∵b=2,B= ,C= ,∴由正弦定理 = ,得 c= =2 2,A 6 4 sin B sin C sin B = 7π π 2+ 6 1 1 ?π π ? ,∴ sin A = sin ? + ? = cos = ,则 S △ ABC = bcsin A = × 2 × 2 2 × 12 12 4 2 2 ? 2 12?

2+ 6 = 3+1,故选 B. 4
2

10.在△ABC 中,面积 S=a -(b-c) ,则 cos A=(B) A. 8 15 B. 17 17 13 13 C. D. 15 17

2

2

1 2 2 2 2 2 解析:∵S=a -(b-c) =a -b -c +2bc=2bc-2bc cos A= bc sin A,∴sin A= 2 4(1-cos A). 15 2 2 ∴16(1-cos A) +cos A=1.∴cos A= . 17

11.如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速 滴下液体(滴管内液体忽略不计), 设输液开始后 x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为 h 厘米, 已知当 x=0 时,h=13,如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完,则函数 h=f(x)的图像为(A)

解析:由题意知,每分钟滴下π cm ,药液,当 4≤h≤13 时,xπ =π ·4 ·(13-h), 即 h=13- ,此时 0≤x≤144;当 1≤h<4,xπ =π ·4 ·9+π ·2 ·(4-h),即 h=40 16 π - ,此时 144<x<156.∴函数单调递增且 144<x≤156 时,递减速度变快,故选 A. 4

3

2

x

2

2

3

12. 设 f′(x)是函数 f(x)的导函数, 将 y=f(x)和 y=f′(x)的图像画在同一个直角坐 标系中,不可能正确的是(D)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动 点,若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________. 解析: 所求的 c 的最大值就是双曲线的一条渐近线 x-y=0 与直线 x-y+1=0 的距离, 此距离 d= 1 2 = . 2 2
2 2

答案:

2 2

? ?|x +5x+4|,x≤0, 14.(2014·天津卷)已知函数 f(x)=? 若函数 y=f(x)-a|x|恰有 ?2|x-2|,x>0. ?

2

4 个零点,则实数 a 的取值范围为________. 解析:分别作出函数 y=f(x)与 y=a|x|的图象,

由图知,a<0 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|无交点,a=0 时,函数 y=f(x)与 y=a|x| 有三个交点,故 a>0. 当 x>0,a≥2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有一个交点,当 x>0,0<a<2 时,函数 y =f(x)与 y=a|x|有两个交点,当 x<0 时,若 y=-ax 与 y=-x -5x-4,(-4<x<-1) 相切,则由Δ =0 得:a=1 或 a=9(舍),因此当 x<0,a>1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|
2

4

有两个交点,当 x<0,a=1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有三个交点,当 x<0,0<a<1 时, 函数 y=f(x)与 y=a|x|有四个交点, 所以当且仅当 1<a<2 时, 函数 y=f(x)与 y=a|x| 恰有 4 个交点. 答案:(1,2)

x2 y2 15.(2015·山东卷)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近 a b
线与抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率 为________.
2

b ?2pb 2pb ? 解析:双曲线的两条渐近线方程为 y=± x,与抛物线方程联立得交点 A? , 2 ?, a ? a ? a

2

? 2pb 2pb ? ? p? B?- , 2 ?,抛物线焦点为 F?0, ?,由三角形垂心的性质,得 BF⊥OA,即 kBF·kOA=- a ? ? a ? 2?
p 2pb2 - 2 2 a a b b b2 5 c ? a b?b 1,又 kBF= = - ,kOA= ,所以有? - ? =-1,即 2= ,故 C1 的离心率 e= = 4 b a 2pb 4b a a a a 4 a ? ? a b2 1+ 2= a
3 答案: 2 5 3 1+ = . 4 2

2

16. 设函数 f(x)的图象与直线 x=a, x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a,

b]上的面积,已知函数 y=sin nx 在?0, ?上的面积为 (n∈N*),则 n? n ?

?

π?

2

? 2π ? (1)y=sin 3x 在?0, ?上的面积为______; 3 ? ? ?π 4π ? (2)y=sin(3x-π )+1 在? , ?上的面积为______. 3 ? ?3
2 ? π? 解析:本题给出了 y=sin nx 在?0, ?上的面积为 ,需要由此类比 y=sin 3x 在

?

n?

n

?0,2π ?上的面积及 y=sin(3x-π )+1 在?π ,4π ?上的面积,这需要寻求相似性,其思 ? ? ?3 ? 3 ? 3 ? ? ?
维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积, 因此要研究这个已知条件, 要 4 注意已知条件所给出的是半个周期的面积,而第(1)问则是 n=3 时一个周期的面积为 ;第 3 2 ?π 4π ? (2)问,画出 y=sin(3x-π )+1 在? , ?上的图象,就可以容易地得出答案π + . 3 ? 3 ?3
5

4 2 答案:(1) (2)π + 3 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17. (10 分)设 A={x|-2≤x≤a}, B={y|y=2x+3, 且 x∈A}, C={z|z=x , 且 x∈A}, 若 C? B,求实数 a 的取值范围. 解析:∵y=2x+3 在[-2,a]上是增函数,∴-1≤y≤2a+3,即 B={y|-1≤y≤2a +3},作出 z=x 的图象,该函数定义域右端点 x=a 有如下三种不同的位置情况:
2 2

①当-2≤a≤0 时, a ≤z≤4 即 C={z|a ≤z≤4},要使 C? B,必须且只需 2a+3≥4, 1 得 a≥ ,与-2≤a≤0 矛盾; 2 ②当 0<a≤2 时,0≤z≤4 即 C={z|0≤z≤4},要使 C? B,由图可知:

2

2

? ?2a+3≥4, 1 必须且只需? 解得 ≤a≤2; 2 ?0<a≤2. ? ?a ≤2a+3, ? ③当 a>2 时,0≤z≤a ,即 C={z|0≤z≤a },要使 C? B,必须且只需? 解 ?a>2. ?
2 2 2

得 2<a≤3; ④当 a<-2 时,A=?,此时 B=C=?,则 C? B 成立.

?1 ? 综上所述,a 的取值范围是(-∞,-2)∪? ,3?. ?2 ?

6

18. (12 分)已知 A(1, 1)为椭圆 + =1 内一点, F1 为椭圆左焦点, P 为椭圆上一动点. 求 9 5 |PF1|+|PA|的最大值和最小值. 解析:由 + =1 可知 a=3,b= 5,c=2,左焦点 F1(-2,0),右焦点 F2(2,0).由 9 5 椭圆定义, |PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|, ∴|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|. 如图: 由||PA|-|PF2||≤|AF2|= (2-1) +(0-1) = 2,
2 2

x2 y2

x2 y2

知- 2≤|PA|-|PF2|≤ 2. 当 P 在 AF2 延长线上的 P2 处时,取右“=”号; 当 P 在 AF2 的反向延长线的 P1 处时,取左“=”号. 即|PA| - |PF1| 的最大值和最小值分别为 2,- 2.于是|PF1|+|PA|的最大值是 6 + 2,最小值是 6- 2.

1 3 1 2 19. (12 分)若函数 f(x)= x - ax +(a-1)x+1 在区间(1, 4)内为减函数, 在区间(6, 3 2 +∞)内为增函数,试求实数 a 的取值范围. 解析: 对函数 f(x)求导, 得 f′(x)=x -ax +a-1, 由此得出方程 x -ax+a-1 = 0 的两个根为 x=1 和 x=a-1,然后再借助图形进行研究.显然,函数 f′(x)=x -ax+a- 1 是开口向上,与 x 轴至少有一个交点的抛物线. ①当 a-1≤1 时, 函数 f′(x)与 x 轴的另一个交点横坐标 a-1 在 1 的左侧, 在区间(1, 4)内 f ′(x)>0,如下图(左)所示,那么 f(x)在(1,4)内为增函数,不合题意.
2 2 2

②当 1<a-1<4 时,函数 f′(x)与 x 轴的另一个交点的横坐标 a-1 在 1 与 4 之间, 在区间(1,4)内 f′(x)<0 不恒成立,如上图(右)所示,那么 f(x)在(1,4)内不为减函数, 不合题意.
7

③当 4≤a-1≤6 时,函数 f′(x)与 x 轴的另一个交点的横坐标 a-1 在区间 [ 4,6 ] 上,在区间(1,4)内 f′(x)<0;在区间(6,+∞)内 f′(x)>0,如下图(左)所示. 那么 f(x)在(1,4)内为减函数,在(6,+∞)内为增函数.此时 5≤a≤7,满足题意.

④当 a-1>6 时, 函数 f′(x)与 x 轴的另一个交点在 6 的右侧, 在区间(6, +∞)内 f′(x) >0 不恒成立,如上图(右)所示,那么 f(x)在(6,+∞)内为增函数不成立,不合题意.综 上所述,a 的取值范围是[5,7].

? 4 3? 试求实数 a, 2 20. (12 分)已知关于 x 的不等式 1-x >ax+b 的解集为?- , ?, b 的值. ? 5 5? ? 4 3? 2 解析:记 y1= 1-x ,y2=ax+b,如图,原不等式的解集为?- , ?的充要条件是当 ? 5 5?
︵ ? 4 3? 圆弧AB ? 4 3? B?3,4?. x∈?- , ?时, 在直线 y2=ax+b 的上方, 即直线 y2=ax+b 过点 A?- , ?, ? ?

? 5 5?

? 5 5? ?5 5?

4 3 ? ?-5a+b=5, ∴? 3 4 ? ?5a+b=5, 1 a= , ? ? 7 解得? 5 b= . ? ? 7

21.(12 分)设函数 f(x)=
2

x2+1-ax,其中 a>0,解不等式 f(x)≤1.
2 2

解析:f(x)≤1 即 x +1≤1+ax,利用数形结合,设 y1=1+ax1,设 y2= x2+1,y2-
2 2 x2 2=1(y2>0),所以研究的问题变为直线 L:y1=1+ax1 位于双曲线 C:y2-x2=1 上半支上方

时 x 的取值范围,如图所示:

8

①当 0<a<1 时,直线 L 与双曲线 C 有两个交点,其对应横坐标分别为 x=0,x= 2a 所以 0≤x≤ 2; 1-a

2a 2, 1-a

②当 a≥1 时,直线 L 与双曲线 C 只有(0,1)一个交点,所以只要 x≥0,原不等式就成 立. 综上可知,当 0<a<1 时,所给不等式的解集为{x|0≤x≤ 式的解集为{x|x≥0}. 2a 2};当 a≥1 时,所给不等 1-a

22. (12 分)(2014·新课标Ⅰ卷)设函数 f(x)=aln x+ 在点(1,f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)<

1-a 2 x -bx(a≠1), 曲线 y=f(x) 2

a

a-1

,求 a 的取值范围.

解析:(1)f′(x)= +(1-a)x-b,由题设知 f′(1)=0,解得 b=1. 1-a 2 a (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=aln x+ x -x,f′(x)= +(1- 2 x

a x

a)x-1=

1-a?

a ? x- ? ?(x-1). x ? 1-a?

1 a ①若 a≤ ,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增, 2 1-a 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 2-1<a< 2-1.

a a 1-a a 的充要条件为 f(1)< ,即 -1< ,所以- a-1 a-1 2 a-1

a ? 1 a ? ? a ,+∞?时, ②若 <a<1,则 >1,故当 x∈?1, 时,f′(x)<0;当 x∈? ? ? 2 1-a ? 1-a? ?1-a ? f′(x)>0; f(x)在?1,

? ?

a ? ? a ,+∞?单调递增,所以,存在 x ≥1,使得 f(x ) 单调递减,在? ? ? 0 0 1-a? ?1-a ?
9



? ?< ? ?=aln + 的充要条件为 f? ,而 f? + > ,所 ? ? 1-a 2(1-a) a-1 a-1 a-1 ?1-a? a-1 ?1-a?
a a a a a a a
1-a -a-1 a ③若 a>1,则 f(1)= -1= < . 2 2 a-1 综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞).

a2

以不合题意.

10


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