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江苏省数学竞赛提优教案:第52讲 圆锥曲线(一)


第 52 讲 圆锥曲线(一) 常见二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等,前面已经研究过圆,本讲将对竞赛中常 见的有关椭圆、双曲线、抛物线等问题作一些研究. 1.各曲线的定义 (1)椭圆:{P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|,F1、F2 为定点,2a 为正常数}; (2)双曲线:{P| ||PF1|-|PF2||=2a,2a<|F1F2|,F1、F2 为定点

,2a 为正常数}; |PF| (3)抛物线:{P| =1,F 为定点,|PH|是 P 到定直线 l 的距离}. |PH| 圆锥曲线的统一定义: 平面上, 到一个定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离之比为一 个常数 e 的点的轨迹叫做圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线). 当 0<e<1 时, 曲线是椭圆; 当 e>1 时, 曲线是双曲线; 当 e=1 时, 曲线是抛物线. 这 个定点 F 叫做曲线的焦点, 定直线 l 叫做曲线的准线, 定点 F 到定直线的距离 p 叫做焦参数. 2.标准方程 x2 y2 y2 x2 (1)椭圆: 2+ 2=1(a>b>0), 2+ 2=1(a>b>0); a b a b (2)双曲线: 2- 2=1, 2- 2=1(a>0,b>0); (3)抛物线:y =2px,y =-2px,x =2py,x =-2py(p>0). 3.几何性质:(见教材) 4.直线与椭圆、双曲线、抛物线间关系的判别方法 判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的关系的方法主要有两种:一种是由它们的方程消去 一个未知数(如 y),得到另一个未知数(如 x)的一元二次方程,利用其根的判别式 Δ >0、 Δ =0、Δ <0 可分别判断直线与椭圆、双曲线、抛物线有两个不同的公共点、只有一个公 共点、没有公共点. 对于双曲线、抛物线还要特别注意二次项系数是否为零的讨论. 另一种是取椭圆、双曲线的参数方程,再转化为三角方程是否有解的问题. 2 2 2 2 x2 y2 a b y2 x2 a b A 类例题 例 1.椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 12 3 那么|PF1|是|PF2|的( A.7 倍 ) C.4 倍 D.3 倍(1998 年全国高考题) x2 y2 B.5 倍 分析 本题涉及到椭圆的几何性质、焦半径长,中点坐标公式等,也可以用椭圆的第二 定义来求解. 解 由已知得 F1、F2 的坐标分别为(-3,0)、(3,0). 设 P(x,y),线段 PF1 的中点的横坐标为 0,那么 将 x1=3 代入椭圆方程得,y1=± x1-3 2 =0,x1=3. 3 3 3 ,所以 P(3,± ),则|PF2|=|y1|= . 2 2 2 7 3 因为|PF1|+|PF2|=4 3,则|PF1|= ,故|PF1|=7|PF2|. 2 说明 本题也可以用焦半径公式求解,与焦半径有关的内容详见圆锥曲线(二). 例 2.设双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0)、(0,b)两点,已知 原点到直线 l 的距离为 A.2 3 c,则双曲线的离心率为( 4 C. 2 2 2 2 2 x2 y2 a b ) 2 3 D. (1996 年全国高考题) 3 B. 3 解 法一 因为 b>a>0,所以 c =a +b >2a ,c> 2a, c 2 3 则离心率 e= > 2> ,故排除选项 C、D. a 3 因为直线 l 过点(a,0)、(0,b),原点到直线 l 的距

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