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题组26 平面几何选讲


高考圈题(新课标全国Ⅱ卷-数学理) 题组 26 平面几何选讲
一、考法解法
命题特点分析 重点考查:三角形相似,圆的切线的判定与性质、圆周角定理,旋切角定理、切割线定理和圆内接四边问题等.以计算证明为主. 解题方法荟萃 常用定理: 1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等

于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内角的对角. 4.圆内接四边形的判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论:如果一个四边形的外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. 5.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等. 6.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

7.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 8.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

二、真题剖析
【题干】(2015 新课标全国Ⅱ卷)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点.

(1)证明:EF//BC; (2)若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积。 【解析】(I)因为三角形 ABC 为等腰三角形,AD⊥BC,所以 AD 是∠CAB 的平分线, 又因为⊙O 分别与 AB,AC 相切与点 E,F,所以 AE=AF,故 AD⊥EF.从而 EF∥BC. (II) 由 (I) 知,AE=AF,AD⊥EF,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 为⊙O 的弦,所以 O 在 AD 上,连接 OE,OM,则 OE⊥AE,由 AG 等于⊙O 的半径得 AO=2OE, 所以∠OAE=30° ,因此,△ABC 和△AEF 都是等边三角形.

因为 AE= 2 3 所以 AO=4,OE=2. 因为 OM=OE=2,DM=

1 10 3 MN ? 3 所以 OD=1.于是 AD=5,AB= 2 3 .

所以四边形 EBCF 的面积为

1 10 3 2 3 1 3 16 3 ?( ) ? ? ? (2 3) 2 ? ? . 2 3 2 2 2 3

(点评)本题主要考查直角三角形、等腰三角形以及圆的有关性质,其中第二问中,求得三角形 ABC 和三角形 AEF 都是等边三角形是解题的突破口。 【题干】(2014 新课标全国Ⅱ卷) 如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交 于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.

A

O D

P

B E

C

【答案】见解析 【解析】 (命题意图) 本题涉及直线与圆切割关系、切割弦定理,圆内接四边形,三角形相似等知识点. (解题点拨)证明:(1)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD, 故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE=EC. 因此 BE=EC.

(2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2. (点评)本类试题主要是以圆的应用为模型,考查了三角形的边角关系,内容稳定、形式稳定、位置稳定,难度稳定,为容易题. 【题干】(2014 新课标全国Ⅰ卷)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

【答案】见解析 【解析】 (命题意图) 本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. (解题点拨)

N

解:.(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆,所以 ? D= ? CBE,由已知得, ? CBE= ? E ,所以 ? D= ? E (Ⅱ)设 BCN 中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC,知 MN⊥BC.

所以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OM⊥AD,即 MN⊥AD 所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE,又 ? CBE= ? E,故 ? A= ? E 由(1)知 ? D= ? E,所以△ADE 为等边三角形 (点评)第一问利用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由 CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E;第二问设 BC 的中点为 N, 连接 MN,证明 AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E,即可证明△ADE 为等边三角形.

【题干】(2012 新课标全国卷)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交于△ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 CF ??AB ,

证明: (I) CD=BC; (II) ? BCD∽? GBD .

【答案】见解析 【解析】 (命题意图) 利用圆的性质,运用相似三角形与圆、四边形等的性质及关系计算. (解题点拨)(1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD/ / AD ? CD ? BF

CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD
(2) BC / / GF ? BG ? FC ? BD

BC / /GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD ? ?GBD
(点评)此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质.注意把握判定与性质的作用.

三、高考圈题
【题干】如图,过点 ? 作圆 ? 的割线 ??? 与切线 ?? ,? 为切点,连接 ?? ,?? ,???? 的平分线与 ?? ,?? 分别交于点 C ,D ,其中 ???? ? 30? .

?D ?? ?D ; ? ? ?1? 求证: ? D ?? ?C

? 2 ? 求 ??C? 的大小.

【圈题理由】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到弦切角定理以及三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力 【答案】(1)见解析(2) ?PCE ? 75? 【解析】(1) 由题意可知, ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC , 则△ PED ∽△ PAC ,则

PE PD PE ED ED PB PD ,又 ,则 . (5 分) ? ? ? ? PA PC PB BD BD PA PC

(2) 由 ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC ,可得 ?CDE ? ?ECD ,

在△ ECD 中, ?CED ? 30? ,可知 ?PCE ? 75? . 【题干】如图, A, B, C 是圆 O 上三个点, AD 是 ?BAC 的平分线,交圆 O 于 D ,过 B 做直线 BE 交 AD 延长线于 E ,使 BD 平分 ?EBC . (I)求证: BE 是圆 O 的切线; (II)若 AE ? 6 , AB ? 4 , BD ? 3 ,求 DE 的长.

【圈题理由】综合考查圆的相关性质,三角形相似及应用.是几何证明选讲的常规考题. 【答案】见解析 【解析】(I)证明:连接 BO 并延长交圆 O 于 G ,连接 GC

? ?DBC ? ?DAC ,又? AD 平分 ?BAC , BD 平分 ?EBC ,??EBC ? ?BAC . 又? ?BGC ? ?BAC ,??EBC ? ?BGC , ? ?GBC ? ?BGC ? 90? ,? ?GBC ? ?EBC ? 90? ,? OB ? BE . ? BE 是圆 O 的切线. BE BD ? (II) 由 (1) 可知△ BDE ∽△ ABE , ,? AE ? BD ? AB ? BE , AE AB

AE ? 6 , AB ? 4 , BD ? 3 ,? BE ?
由切割线定理得:

9 . 2

? BE 2 ? DE ? AE ? DE ?

27 . 8

【题干】如图,EP 交圆于 E、C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

【圈题理由】综合考查圆的相关角度问题,三角形全等问题 【答案】见解析 【解析】

证明: ( Ⅰ ) ∵ PG=PD , ∴ ∠ PDG= ∠ PGD , ∵ PD 为 切 线 , ∴ ∠ PDA= ∠ DBA , ∵ ∠ PGD= ∠ EGA ,∴ ∠ DBA= ∠ EGA ,∴ ∠ DBA+ ∠ BAD= ∠ EGA+ ∠ BDA ,∴ ∠ NDA= ∠ PFA ,∵ AF ⊥ EP ,∴ ∠ PFA=90° .∴ ∠ BDA=90° , ∴ AB 为 圆 的 直 径 ; ( Ⅱ ) 连 接 BC , DC , 则 ∵ AB 为 圆 的 直 径 , ∴ ∠ BDA= ∠ ACB=90° , 在 Rt △ BDA 与 Rt △ ACB 中 , AB=BA , AC=BD , ∴ Rt △ BDA ≌ Rt △ ACB , ∴ ∠ DAB= ∠ CBA , ∵ ∠ DCB= ∠ DAB , ∴ ∠ DCB= ∠ CBA , ∴ DC ∥ AB , ∵ AB ⊥ EP , ∴ DC ⊥ EP , ∴ ∠ DCE 为 直 角 , ∴ ED 为 圆 的 直 径 , ∵ AB 为 圆 的 直 径 , ∴ AB=ED .

四、分层训练(10 题)
基础过关(第 1—5 题) 【题干】如图, AB 是圆 O 的直径, C , D 是圆 O 位于 AB 异侧的两点. 证明: ?OCB ? ?D .

【答案】见解析 【解析】因为 B, C 是圆 O 上的两点,所以 OB ? OC , 故 ?OCB ? ?B ,又因为 C , D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故 ?B ? ?D ,因此 ?OCB ? ?D

【题干】2 已知 ?ABC中,AB ? AC, D为?ABC 外接圆劣弧 ? ,延长 BD 至 E ,延长 AD 交 BC 的延长线于 F . AC 上的点(不与点 A 、 C 重合) (Ⅰ)求证: ?CDF ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .

【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析。 【解析】(Ⅰ)证明:? A 、 B 、 C 、 D 四点共圆

? ?CDF ? ?ABC .? AB ? AC ??ABC ? ?ACB
且 ?ADB ? ?ACB ,

?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ?ABC
? ?CDF ? ?EDF .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ADB ? ?ABF ,又? ?BAD ? ?FAB ,

所以 ?BAD 与 ?FAB 相似,

?

AB AD ? AB 2 ? AD ? AF , ? AF AB

又? AB ? AC ,

?A B? A C ?

A ?, D? AB A F ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF

根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,

AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .

【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ)30°

【答案】(1)略;(2)略

【题干】5 如图所示,圆 0 的直径为 BD,过圆上一点 A 作圆 O 的切线 AE,过点 D 作 DE AE 于点 E,延长 ED 与圆 O 交于点 C. (1)证明:DA 平分 BDE (2)若 AB=4,AE=2,求 CD 的长.

【知识点】几何证明选讲 N1 【答案】(1)略(2)

4 3 3

【解析】(1)证明:∵AE 是⊙O 的切线,∴∠DAE=∠ABD, ∵BD 是⊙O 的直径,∴∠BAD=90° ,∴∠ABD+∠ADB=90° , 又∠ADE+∠DAE=90° ,∴∠ADB=∠ADE.∴DA 平分∠BDE. (2)由(1)可得:△ADE∽△BDA,∴

AE AB ? , AD BD



2 3 2 4 ? ,化为 BD=2AD.∴∠ABD=30° .∴∠DAE=30° .∴DE=AEtan30° = . AD BD 3 2 3 2 3 4 3 ( +CD) ,解得 CD= . 3 3 3

由切割线定理可得:AE2=DE?CE,∴2 2 =

智能拓展(第 6—10 题) 【题干】6 如图,已知⊙O 的弦 AB、CD 相交于点 P,PA=4,PB=3,PC=6,EA 切⊙O 于点 A,AE 与 CD 的延长线交于点 E,AE=2 5 ,那么 PE 的长

【答案】4

? PD ? 【解析】? PA ? 4,PB ? 3,PC ? 6,

PA ? PB ? 2. PC

设DE ? x. ? EA切 ? O于点A, ? EA ? ED ? EC,
x x ? 8) ? 20,x ? 8 x ? 20 ? 0,x 即( ? 2,x ? ?10 (负值舍去) .则 PE ? DE ? PD ? 4.
【题干】7 如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连结 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明: (1)AC· BD =AD· AB; (2)AC=AE.

【答案】见解析 【解析】证明:(1)由 AC 与⊙O′相切于 A,得∠CAB=∠ADB, AC AB 同理∠A CB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.从而 = ,即 AC· BD=AD· AB. AD BD
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AE AD (2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.从而 = , AB BD 即 AE· BD=AD· AB.结合(1)的结论,得 AC=AE. 【题干】8 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC?AE=DC?AF,B、E、F、C 四点共圆. F (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 【答案】(1)见解析(2) D B E A C

1 2

【解析】因为 CD 是 ?ABC 外接圆的切线,所以 ?DCB ? ?A , 由题设知

BC DC ? , FA EA

所以 ?CDB ∽ ?AEF ,所以 ?DBC ? ?EFA , 因为 B,E,F,C 四点共圆,所以 ?DBC ? ?CEF , 所以 ?EFA ? ?CEF ? 90? , 所以 ?CBA ? 90? , CA 是△ABC 外接圆的直径 (Ⅱ)连结 CE,因为 ?CBE ? 90? , 所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE, 因为 DB=BE,所以 CE=DC, 又因为 BC ? DB ? BA ? 2DB ,
2 2

所以 CA ? 4DE ? BC ? 6DB ,
2 2 2 2

所以 DC ? DB ? DA ? 3DB ,
2 2

所以过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值是

1 . 2

【题干】9 如图, AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D , C , AC 经过圆心 O ,且 BC ? 2OC

求证: AC ? 2 AD

【答案】见解析 【解析】连接 OD,∵AB 与 BC 分别与圆 O 相切于点 D 与 C ∴ ?ADO ? ?ACB ? 90 ,又∵ ?A ? ?A
0

∴ RT ?ADO ~ RT ?ACB

BC AC ? AD 又∵BC=2OC=2OD ∴ OD

∴AC=2AD

【题干】10 如图,圆周角 ???C 的平分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线与弦 ? C 的延长线交于点 ? , ?D 交 ? C 于点 F .

? ? ? 求证: ?C//D? ;
?C ? ? ?C ,求 ???C ? ?? ? 若 D , ? , C , F 四点共圆,且 ?

【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB, 所以∠EDC=∠DCB, 所以 BC∥DE. (Ⅱ)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED
F E C D

由(Ⅰ)知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF. 设∠DAC=∠DAB=x, 因为AC ⌒ =BC ⌒ ,所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, 在等腰△ACF 中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= 2π 所以∠BAC=2x= . 7 π , 7

A

B


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