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2.1随机变量及其分布


第二章 随机变量的分布与数字特征

§2.1

随机变量及其分布

一、随机变量的概念 在许多随机试验中, 试验的基本结果 可以用一个 数表示. 例如: 掷一颗骰子,观察其点数. ? ? ?1, 2, 3,4,5,6? 任选一个人,测量其身高. ? = (0, 3)
? = { 0, 1, 2,..., n,

...}
? ? [0, ?? ) 在一批灯泡中任取一个,测试其使用寿命.

记录某交叉路口在任意一个小时内 通过的车辆数.

有些随机试验, 虽然其结果没有直接表现为数量,
但也可以用数量表示.
办法是:将基本事件与一个实数对应

例如, 抛掷一枚硬币一次,Ω={正面, 反面} 令
?1 X ?? ?0

ω=“正面” ω=“反面”

? ?={0,1}

于是事件 “硬币出现正面”就表示为 ? X ? 1?

“硬币出现反面”就表示为 ? X ? 0?

抛掷一枚硬币,直到首次出现正面为止. 样本空间为
? ? ?正, 反正,反反正, 反反反正, 反反反反正,...

?

令X为 抛掷的次数,则 X 的取值范围为

?1, 2, 3,4,..., n,...?
事件 “反反反正”就表示为{ X ? 4}

一批产品100 件,其中有优质品80 件,二等品15 件, 废品 5 件,任取一件.

? 取出的是优质品; 取出的是二等品; 取出的是废品 ?

?2 ? X ?? 1 ? ?0

??

ω=“取出优质品” ω=“取出二等品” ω=“取出废品”

事件“取出合格品” 就表示为? X ? 1 或 X ? 2 ?

定义2.1 设Ω为 某一随机试验的样本空间, 如果
对每一个样本点 ? ? ? 有一个实数 X (?) 与之对应, 这样就定义了一个定义域为Ω的实值函数 X ? X (?) 称之为随机变量.

随机变量通常用大写英文字母 X ,Y , Z 等表示,
有时也用小写希腊字母 ξ,η等表示. 小写英文字母 表示随机变量所取的值.

讨论
1.随机变量与普通变量的异同

同: 都是变量

异:普通 ? 取确定值 随机 ? 以一定的概率取各可能 值
2.引进随机变量的意义

引入随机变量后, 对随机现象统计规律的研究,

就由对事件 及事件概率的研究, 扩大为对随机变量 及其取值规律 的研究.

引入随机变量以后,随机试验中出现的各种事件就可 通过随机变量的关系式来表示 出来,亦即事件的表示 也可数量化。

如, 某电话交换台在单位时间内收到的呼叫 次数, 用 X 表示, 此时,
X ?1 “收到不少于一次呼叫” X ?0 “没有收到呼叫”

又如, X表示某元件的寿命, 则
“寿命在200小时和1000小时之间”
200 ? X ? 1000

随机变量的分类: 离散型随机变量 随机变量 非离散型随机变量 连续型随机变量

非离散非连续型 随机变量

二、离散型随机变量的概率分布
定义2.2 如果随机变量X 只可能取有限个 或可数 无穷多个值,则称 X 是 离散型随机变量. 离散型随机变量的特点是它的所有取值 可以逐 注: 个一一列举出来. 如 “取到次品的个数”
0 1 2 3 4
?
? ?

?

?

?

?

?

“某电话交换台 任一小时内收到的呼叫次数”

其取值在数轴上 是有限个点 或一列离散的点.

定义2.3 设X 是离散型随机变量,它的一切可能 取值为 x1 , x2 ,..., xn ,... 且 X 取各个值的概率为
pi ? p( xi ) ?P ? X ? xi ?
i ? 1, 2, 3,... (2.1)

称? p( xi ), i ? 1,2,...?为X 的概率分布, 简称 X 的分布. X的概率分布的表示法: 记 pi ? p( xi ) 概率分布 可以用列表法表示 X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...

? x1 有时也写成 X ~ ? ? p1

x2 p2

... ...

xk pk

...? ...? ?

X

x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...

概率分布的性质: 1. 非负性 pk ? 0 2. 归一性 ? pk ? 1
k

证 (1) pk ?P ? X ? xk ? ? 0
(2) 1 ? P (? ) ? P ? ? x1? ?
... ? ? ? p{ X ? x1 } ? p{ X ? x2 } ?... ? p{ X ? xk } ? ... ...

? x2 ?
k

? xk ?

? p1 ? p2 ? ... ? pk ?... ? ? pk

例 已知 P ? X ? k? ? ck

k ? 1,2,...,100 求c

解 1 ? P{ X ? 1 } ? P{ X ? 2 } ? P{ X ? 3 } ?... ? P{ X ? 100 } ? c ? 2c ? 3c ? ... ? 100c 1 ? c ( 1 ? 2 ? 3 ? ... ? 100 ) ? 5050c ? c ? 5050

例 已知 P ? X ? k?? p k k ? 2,4,6,... 其中 p ? 0, 求p 解
1 ? P{ X ? 2 } ? P{ X ? 4 } ? P{ X ? 6 } ? ... ? P{ X ? 2n }? ...
? p ? p ? p ? ... ? p ? ... ? 2 1? p 1 2 p2 ? 1 p ? 2
2 4 6 2n

p

2

若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1 x2 p2
A x k

pk

则对于集合? xn n ? 1,2,3,... ? 的任一子集 A, 事件

“ X 在 A 中取值” 即“X ? A ” 的概率为
P{ X ? A } ? ? pk
xk ? A

只有两种对立结果: 对于贝努利试验, “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 ? p ? 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q ? 1 ? p 令X表示 一次贝努利试验中, A发生的次数, 即
?1 X ?? ?0

A发生

A不发生



X P

0

1

1? p

p

称X服从0—1分布.

例 一批产品 的次品率为 15%, 从中随机抽取一个

抽到的次品的个数 用X表示 抽取一次, 即
?1 X ?? ?0

抽到次品 抽到正品
X P 0 1

0.85 0.15

X服从0—1分布.

一射手的命中率为 p ( 0 ? p ? 1 ) 他射击一次, 用X表示 他射击一次, 击中的次数.即
?1 X ?? ?0

击中 没击中

X P

1 1? p p

0

X服从0—1分布.

例 将26个英文字母 编号为1 ~ 26, 随机取一个字母, 设对应的号码为X , 则 X 的概率函数为
X pk 1 1 26 2 1 26 3 1 26 ...

...

26 1 26

一般地, 若 r .v . X 的概率函数是 P{ X ? xk }?
? x1 即 X ~?1 ? ? ?n x2 x3

1 n

1 n

... xn ? ? 1 ? ... ? n ?

1 n k ? 1, 2,..., n

则称 r .v . X 具有离散均匀分布.

如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
?1 X ~?1 ? ?6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 6? 1 1 ? ? 6 6 ?

五个人依次抽取 , 五支签中有一支“好签” , 不放回, 设 X ? i 表示第 i 个人抽到 “好签”
?1 X ~? 1 ? ?5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 ? ? ? ?

X 服从离散均匀分布.

三、分布函数 离散型随机变量的特点是: 其取值范围是有限集
或可列集. 其概率分布可用列表法表示: X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...

但有些随机变量是非离散的,它的取值可能是 某一
区间内的一切值. 如炮弹弹着点离目标的距离. 某河流某处任一时刻的水位; 电子元件的寿命. 等等 .

由于非离散型随机变量 可能取某个区间上的 所有实数,这些实数不可能逐个一一列举出来, 所以前面 用来描述离散型随机变量 的方法, 不再 适用于非离散型随机变量. 给出一种 为了对离散型和其它类型的随机变量, 统一的描述方法, 引进分布函数的概念.

定义2.4 设 X 是 任意一个随机变量, 称 F ( x ) ? P{ X ? x } ?? ? x ? ??

为随机变量X 的分布函数. 记为 X ~ F ( x )
x 例如, 设 X 是 掷一颗骰子出现的点数, 则 2 F ( 2) ? P{ X ? 2} ? F ( 7 ) ? P { X ? 7} ? 1 6 A ? [ [ ) F (0) ? P{ X ? 0} ? 0 0 50 60 又如, 电台每到整点报时, 某人午觉醒来,他打开 收音机,X为他等待报时的时间. 10 F ( ?1) ?P{ X ? ?1}? P (? )? 0 F (10) ? P{ X ? 10} ? 60

例 设 X 服从0-1分布 求 X 的分布函数.

X P

0 1 0.85 0.15

F ( x ) ? P { X ? x } ? P (? ) ? 0 解 x ? 0时, F ( x ) ? P { X ? x } ? P { X ? 0} ? 0.85 0 ? x ? 1时, F ( x ) ? P { X ? x }? P ( ? ) ? 1 x ? 1时,
y ? F ( x)

x

0 x 1

x

1 0.85

? ?
0

?0.85 F ( x ) ? P{ X ? x}? ? ? 1 ?

? 0

x?0 0? x ?1 x ?1

? 1

对于随机变量 X ,其分布函数 F ( x ) 具有如下性质:
(1)
0 ? F ( x) ? 1

?? ? x ? ??
lim F ? x ? ? 1

(2) F ( x ) 是 x 的 单调不减函数. 即 a ? b 时, F (a ) ? F (b) (3) lim F ? x ? ? 0
x ??? x ???

(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,

F ? x ? ? F (a ) 是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim ?

证(1)0 ? F ( x ) ? P{ X ? x } ? 1 ( 2) a ? b 时 , X ? a

x ?a

X ? b { X ? a } ? { X ? b}

? P { X ? a } ? P { X ? b} 即 F ( a ) ? F ( b )

(3) lim F ? x ? ? lim P{ X ? x} x? ? ? x ???

?0

lim F ? x ? ? lim P{ X ? x} ? 1 x? ? ? x ???

x
0

x x x

x

x x

x x

0

x

(1)

0 ? F ( x) ? 1

?? ? x ? ??
lim F ? x ? ? 1

(2) F ( x ) 是 x 的 单调不减函数. 即 a ? b 时, F (a ) ? F (b) (3) lim F ? x ? ? 0
x ??? x ???

(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,

F ? x ? ? F (a ) 是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim ?
x ?a

任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.

例 下列各函数中,哪些可以作为随机变量的 分布函数:
1) F ( x ) ?

x?0 ?0, 1? x ? 3) F ( x ) ? ?sin x, 0 ? x ? ? 3 1 ? 1, 2)F(x)? ? arctanx x ?? ? 4 2π
2

1

3 1 1 3 1 ? ? ? ? ? (2) lim F ? x ? ? lim ? ? arctgx ? ? ? ? ?0 ? ? ? x ??? x ??? 4 2? ? ? 4 2?? 2 ? 2
(3) F ( x ) 不具单调不减性.

1 F ? x ? ? lim 解 1) xlim ?1 2 ? 0 x ??? ??? 1? x

1?

?

?

设随机变量 X 的分布函数已知则
P{a ? X ? b }? P ?? X ? b? ? ? X ? a?? ? P{ X ? b } ? P{ X ? a } ? F (b) ? F (a ) P {a ? X } ? 1 ? P { X ? a } ? 1 ? F ( a )
a
b

P{ X ? a } ? P ?? X ? a?? ? X ? a?? ? P{ X ? a } ?P{ X ? a } ? F (a ) ? lim F ? x ? ? F (a ) ? F (a ? 0) ?
x ?a

则 若随机变量X 的分布函数F ( x ) 在点a 连续,
P{ X ? a } ? F (a ) ?lim F ? x ? ? F (a ) ?F (a ) ? 0
x ?a ?

? ? 1 2 3 4 5 6 ? ? ? ? X ~ 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 6 6 6 6 6 6? ? 求 X 的分布函数. ? F ( x ) ? P{ X ? x} ? ? ? 解 ? ? 1 2 3 4 5 6 ? 1 5 ? 6 4 ? 3 6 ? ? 6 2
1 6
6

四、离散型随机变量的分布函数 例 掷一颗骰子,出现的点数为X

0
1 6 2 6 3 6
4 6

x ?1 1? x ? 2 2? x?3 3? x?4 4? x?5 5? x?6 6? x

5 6

1

0 1

2

3 4

5 6

? 1 X ~? 1 ? ? 6

2 1 6

3 1 6

4

5 6 3 6 1 6

1
4 6

2 6

0 1

2

3

4

? ? 1 1 ? 6 6 ? ? ? F ( x ) ? P{ X ? x}? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5 6 ? 1? ? 6?
5 6

0
1 6 2 6 3 6
4 6

x ?1 1? x ? 2 2? x?3 3? x?4 4? x?5 5? x?6 6? x

5 6

1

F ( x )是一个阶梯形函数, 它在X的可能取值点

1, 2, 3, 4, 5, 6 处发生跳跃, 跳跃的高度等于 X取相应值的概率.

任一离散型随机变量 的分布函数,都具有这个 特征. 反之,若一随机变量X的分布函数 是阶梯型函数, 则X一定是 离散型随机变量. 而且
F ( x ) 的全部跳跃点 就是X的全部取值点. F ( x )在跳跃点处 跳跃的高度 等于X在相应取值点

处的概率.

例 已知随机变量X的分布函数为 x?0 ?0 ? 21 0? x ?1 ? ? 45 F ( x ) ? ? 42 1? x ? 2 ? ? 45 2 ? x 1 求X的分布. ? ?

? 0 X ~ ? 21 ? ? 45

1
21 45

2 ? 3 ? ? 45 ?

42 1 45 21 45

0

?

1

?

2

?

五、连续型随机变量及其概率密度 例 在区间 [ a , b ] 等可能地投入点, 落点的坐标X 是随机变量, 设 [ c , d ] ? [ a , b ] 则X落在区间 [ c , d ] 的概率为 d ? c ? d 1 dx ?
b?a
c

称随机变量X 服从区间
[ a , b ] 上的均匀分布.

? 0 ? X ~ F ( x ) ? P{ X ? x }? ? x ? a b?a ? ? 1
?

b?a

x?a

a? x?b
x?b
?
?

x

a c x d

?

?

b x

落点的坐标X 例 在区间[ a , b ] 等可能地投入点, x?a ? 0 ? x ? a a? x?b X ~ F ( x ) ? P{ X ? x } ? ? b?a x?b ? 1 令 ? 1
? ? ? ? ? 其它 x b x x a x ? 则 ? 0 0 dt x?a ? ?? ? x a ? F ( x ) ? ? f ( t )dt ? ? 0dt ? x 1 dt ? x ? a a? x?b ?? ??? ? a b?a b?a ? a b 1 x ? ????0dt ? ?a b ? a dt ? ?b 0dt ? 1 x ? b

? f (t ) ? ? ?

1 b?a

a?t?b

b?a

0

X称为连续型随机变量, f ( x ) 称为X的密度函数.

定义2.5 对于随机变量 X , 如果存在一个非负
可积函数 f ( x ), ?? ? x ? ?? 使得对任意实数 x 有
F ( x ) ? P { X ? x }? ?
x ??

f ( t )dt

则称 X 是 连续型随机变量, 称 f ( x ) 为 X 的概率密度 函数,简称密度函数. 记为 X ~ f ( x )
y ? f (t )
X的概率密度函数具有以下性质:

(1) f ? x ? ? 0 x ? ( ?? , ? )
x
P{X ? x}? ??? f (t )dt
x

(2)

?

??

??

f

? x ? dx ? 1

?

??

??

f ( x )dx ?P{?? ? X ? ?? }

? P ( ? )? 1

P{a ? X ? b }? P ?? X ? b? ? ? X ? a?? 此时, ? P{ X ? b } ? P{ X ? a }? F (b) ? F (a )
b
a

f ( x ) 为X的密度函数, 记为 X ~ f ( x ) 即 x F ( x ) ? P { X ? x } ? ? f ( t )dt
??

? ? f ( t )dt ? ???f ( t )dt ? ??? f ( t )dt ? ?a f ( t )dt ? ???f ( t )dt
a b ??

a

y ? f ( x)

? ? f ( t )dt
a

b

a
a
b

b

b

P{a ? X ? b}? ?a f ( x)dx

例 在区间 [ a , b ] 等可能地投入点, 落点的坐标X 是随机变量,X的分布函数为? 0 x?a
F ( x) ? ?
x ??

? F ( x ) ? P{ X ? x } ? ? x ? a b?a ? 1 f ( t )dt ?
1 b?a

a? x?b
x?b

? 其中 f ( t ) ? ? ?

a?t?b

0

其它

为X的密度函数

设 [ c , d ] ? [ a , b ] 则X落在区间 [ c , d ]的概率为
d d 1 d ?c dx ? ? f ( t )dt ?? c cb?a b?a
?

x

a c x d

?

?

b x

?

?

对连续型随机变量 X , 设 c是任一实数, 考虑
P{ X ? c } =?

?? ? 0,

{ X ? c} ? { c ? ? ? X ? c ? ? }
c??

? P { X ? c } ? P {c ? ? ? X ? c ? ? } ?
M

?

c??

c ??

f ( t )dt

?
y ? f ( x)

M dt ? 2 M ? c ?? 0 ? P{ X ? c } ? 2 M ?
?

?

c?? c c??

? ? ?

令? ? 0 , 得

P{ X ? c }? 0

即连续型随机变量 取单个值的概率为 0 这是它和离散型随机变量的重要区别.*

由于P{ X ? c } ? 0 P{a ? X ? b} ? P{a ? X ? b 或 X ? b?
? P { a ? X ? b } ? P { X ? b } ? P {a ? X ? b } P{a ? X ? b} ? P{a ? X ? b 或 X ? a? ? P { a ? X ? b } ? P { X ? a } ? P {a ? X ? b } P{a ? X ? b} ? P{a ? X ? b 或 X ? a 或 X ? b? ? P{ a ? X ? b } ? P{ X ? a }? P{ X ? b}? P{a ? X ? b}
? ? f ( t )dt
a b

连续型随机变量 X , 取值落入某一区间的概率 与区间的开或闭无关.

P {a ? X ? b } ? P {a ? X ? b } ? P {a ? X ? b } b ? P {a ? X ? b} ? ? f ( x )dx
a

对离散型随机变量, 此结论不成立. 例如, 抛掷一枚硬币一次,出正面记为1,出反面 记为0 X 0 1 即用 X 表示 出正面的次数,
P {0 ? X ? 1} ? 0 P { 0 ? X ? 1 } ? 0.5 P {0 ? X ? 1} ? 1
P
0.5 0.5

由 F ( x ) ? ??? f ( t ) dt

x

F '? x ? ?

??

x

??

? f ( t ) dt ? f ? x ?
当 f ( x ) 连续时

?

F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数

?

b

a

f ( x )dx ? P{a ? X ? b}? P ?? X ? b? ? ? X ? a??

? P{ X ? b } ? P{ X ? a } ? F (b) ? F (a )

? f ? x ? dx ? F ? b ? ? F ? a ?
b a

牛顿—莱布 尼兹公式

由于连续型随机变量在任一单个点取值的概率 为0,故对任一实数 a

? lim F ? x ? ? F (a ) ?
x ?a

F x 0 ? P{ X ? a } ? F (a ) ? lim ? ? ?
x ?a
x ?a

F x ? F ( a ) ? ? 又 lim ?

故 lim F ? x ? ? F (a )
x ?a

即F ( x ) 在点 a 连续.

F ( x )在任意一点a 连续.? F ( x ) 在( ??, ? ?) 连续.

连续型随机变量 的分布函数 F ( x )在 ( ??, ? ?) 连续.

确定系数 A 求X的分布函数, 计算 P ? X ? 1? ?? ?? ?? ?x ? x 解 1 ? ? Ae f ? x ? dx ? 2 ? Ae dx ? 2 A ? e ? x dx ?? 0 0
? x ?? ?x 0 ? 2 A( ? e ) ? 2 Ae ? 2A 0 ??

例 设随机变量X的密度函数为 f ( x ) ? Ae

?x

1 A? 2
?

1 ?x f ( x) ? e 2
x

1 ?t x 1 1 t x 1 x t F ( x ) ?P{ X ? x }? ? f e t ? dt ? ? e dt ? e ? ? e ?? 2 ?? 2 2 ?? 2 x ? 0 时, x 1 ?t 0 1 x1 t ?t e e dt ? ? e dt F ( x ) ?P{ X ? x } ? ? f ? t ? dt ? ? ?? 2 ?? 2 0 2 1 t 0 1 ?t x 1 1 ?t 0 1 1 1 ? x 1 ?x ? ? e ? e ?? ? e ? ? ? e ?1? e 0 x 2 2 2 2 2 2 2 2
x

x ? 0 时,

x

0

1 x ? 2e F ( x) ? ? 1 ?x ?1 ? e 2

x?0

x?0

P ? X ? 1 ?? P ? ?1 ? X ? 1 ?
1 ?1 1 ?1 ? F (1) ?F ( ?1) ? 1 ? e ? e ? 1 ? e ?1 2 2 1 ?x ? x ? dx 或 P ? X ? 1 ? ? P ? ?1 ? X ? 1 ?? ??1 f e 2 11 ?x 1 ?x ?x 0 ?x 1 ?1 ? e ? ( ? e ) e dx ? 2 ? e dx ? ? ? 1? e 0 1 0 2 0
1


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