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高考数学一轮总复习第1讲集合的概念及运算课件(理 )


了解集合、空集与全集的含义,理解集合
之间的包含与相等,交集、并集和补集的含义, 会求两个集合的交集、并集与补集,能运用韦 恩图和集合语言解决有关问题.

1.集合的有关概念  

?1? 一般的,某些指定的对象集中在一起就构成了
一个集合,集合中的每个对象叫这个集合的元素.

? 2 ? 元

素与集合的关系有两种:① ________ ,
② ________ .

? 3? 集合中元素的性质:③ ____________________ . ? 4 ? 集合的表示法:④ ________________________ . ? 5? 集合的分类.按元素个数可分为:⑤ _______
_____________________________ .

? 6 ? 两个集合A与B之间的关系:

? 7 ? 常用数集的记法:

2.集合的运算及运算性质

【要点指南】 ①属于“∈”;②不属于“?”;③确定性、互异性、 无序性;④列举法、描述法、韦恩图法;⑤空集、有限 集、无限集;⑥2n;⑦2n-1;⑧且;⑨{x|x∈A且x∈B}; ⑩或;?{x|x∈A或x∈B};?{x|x∈U且x?A}

b 1.设a、b ? R,集合{1,a+b,a}={0, ,b},则b-a=?   a A. 1 B.-1 C. 2 D.-2

?

b 【解析】由题知a ? 0,否则 无意义,所以a+b=0, a b 所以a=-b ? 0,即 =-1,所以a=-1,b=1, a 所以b-a=1-(-1)=2.

易错点:集合互异性应用错误.

2.(2011· 北京一模) 集合A={x|x2-2x<0},B={x|y=lg(x- 1)},则A∩B为 {x|1<x<2} .

【解析】因为 A={x|0<x<2},B={x|x>1},

所以 A∩B={x|1<x<2}.

3. 已 知 M = {x|x≤1} , N = {x|x>p} , 若 M∩N≠?,则 p 应满足的条件是( ) A.p>1 C.p<1 B.p≥1 D.p≤1

【解析】在数轴上表示出M={x | x ? 1}, N=? x | x ? p?,可得p ? 1.

4.(2012· 江苏卷)已知集合A={1,2,4},B= {2,4,6},则A∪B= {1,2,4,6} .

  5.若全集U=?0,1, 2,3? 且?U A=?2?,则集合A 的真子集共有 个.

【解析】依题意,由已知A=?0,1,3?,则集合 A的真子集共有23-1=7个.

易错点:集合A的真子集不能是A本身.

一 集合的运算及应用
【例 1】 若集合A={x|x2-2x-8<0},B={x|x-m<0}. (1)若m=3,全集U=A∪B,试求?UB; (2)若A∩B=?,求实数m的取值范围; (3)若A∩B=A,求实数m的取值范围.

【解析】 (1)由 x2-2x-8<0,得-2<x<4, 所以 A={x|-2<x<4}; 当 m=3 时,由 x-m<0,得 x<3,所以 B={x|x<3}. 所以 U=A∪B={x|x<4},所以?UB={x|3≤x<4}. (2)因为 A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 又 A∩B=?,所以 m≤-2. (3)因为 A={x|-2<x<4},B={x|x<m}. 又 A∩B=A,即 A?B,所以 m≥4.

【点评】(1)读懂集合语言,化简集合,才能找到解 题的突破口. (2)解决集合问题,常用韦恩图或数轴直观地表示. (3)理解补集的意义:UA 指在全集 U 中但不在集合 A ? 中的元素组成的集合.

素材1

设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-(a +3)x+3a=0}. (1)若A∪B={1,2,3},求实数a的值; (2)若全集U=R,A∩(?UB)=A, 求实数a的取值范围.

【解析】 由 x2-3x+2=0, x1=1, 2=2, 得 x 即 A={1,2}. 由 x2-(a+3)x+3a=0,得(x-3)(x-a)=0, 则 x1=3,x2=a,从而 3∈B,a∈B.

(1)若 A∪B={1,2,3},则 B?{1,2,3}. 又 3∈B,则 a=1 或 a=2 或 a=3. (2)A∩(?UB)=A,得 A??UB, 所以 A∩B=?, 则 3?A 且 a?A,故 a≠1 且 a≠2. 故 a 的取值范围为{a∈R|a≠1 且 a≠2}.



集合语言与韦恩图及应用
【例 2】 集合A={(x,y)|y=a|x|},B={(x, y)|y=x+a},且集合C=A∩B为单元素 集合,求实数a的取值范围.

【解析】 由题意满足条件的实数 a, 使集合 A, B 表示的曲线只有一个共公点,即函数 y=a|x| 与函数 y=x+a 的图象只有一个公共点, a|x| 即 =x+a 只有一解.

当 a=0 时,方程只有一解为 x=0,满足题意; x 当 a≠0 时,|x|=a+1, 1 1 由图可知,a≥1 或a≤-1,即|a|≤1,且 a≠0. 综上可得-1≤a≤1.

【点评】集合作为工具经常渗透到其他数学知识中, 解决此类问题的关键是将集合语言转化为熟悉的数学语 言,再求解.

素材2

(1)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+ y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且y=x},则A ∩B的元素个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

【解析】(1)A∩B 的元素个数即为圆 x +y

2

2

=1 与直线 y=x 的交点个数,易知直线 y=x 与 圆 x2+y2=1 相交,故有两个交点,所以 A∩B 的 元素个数为 2,故选 C.

素材2

(2)设全集U是实数集R,集合M={x|y=log2(x2- 4)},N={y|y=x2-2,-3≤x≤2},则右图阴影 部分所表示的集合是 [-2,2] .

【解析】(2)由于函数y=log2(x2-4)的定义域是 {x|x<-2或x>2}, 则M=(-∞,-2)∪(2,+∞). 又y=x2-2(-3≤x≤2)的值域为{y|-2≤y≤7}, 则N=[-2,7]. 而阴影部分表示的集合为N∩(?UM)=[-2,2].

【点评】 集合语言的理解应结合一般元素与元素的属 性思考,如集合 M 是函数 y=log2(x2-4)的定义域,而集 合 N 是函数 y=x2-2(-3≤x≤2)的值域.

三 元素与集合、集合与集合之间的互相关系
【例 3】 设A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x +a -1=0}. (1)若A?B,求a的值; (2)若B?A,求a的值.
2 2 2

【解析】 (1)因为 A={-4,0},若 A?B,则必有 A=B.
?2?a+1?=4 由方程根与系数关系? 2 ,解得 a=1. ?a -1=0

(2)若 B?A,则 ①当 B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0,解得 a<-1; ②当 B 为单元素集合时,Δ=0,得 a=-1,此时 B={0} ?A; ③当 B=A 时,由(1)可知 a=1. 综上可知,若 B?A,则 a≤-1 或 a=1.

【点评】(1)解决集合问题时,不能忽视?对 解题的影响. (2)在解含有参数的不等式(或方程)时, 要注 意参数对结论或解题过程的影响,从而进行分 类讨论,分类时,必须做到“不重不漏”,且 对每一类情况给出问题的解答.

素材3

(1)满足M?{a1,a2,a3,a4},且M∩ {a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是 2个 .

(2)已知集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0}, 且M∩N=N,求实数a的值.

【解析】 (1)由 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}, 可知 a1∈M,a2∈M,且 a3?M. 又 M?{a1,a2,a3,a4},从而 M={a1,a2} 或 M={a1,a2,a4},共 2 个.

(2)由 x2+x-6=0 得 x=2 或 x=-3,所以 M={2,-3}. N∩M=N?N?M. (ⅰ)当 a=0 时,N=?,此时 N?M; 1 (ⅱ)当 a≠0 时,N={a}. 1 1 由 N?M 得a=2 或a=-3, 1 1 即 a=2或 a=-3. 1 1 故所求实数 a 的值为 0 或2或-3.



集合的创新与应用

【例 4】 对任意两个集合M,N,定义:M-N={x|x∈ M且x ? N},M △ N=(M-N) ∪ (N-M),M={y|y=x2,x ∈ R},N={y|y=3sinx,x∈R},则M△N=____________.

【解析】因为 M=[0,+∞),N=[-3,3]. 由 M-N={x|x∈M 且 x?N}, 所以 M-N=(3,+∞),N-M=[-3,0), 所以 M△N=(M-N)∪(N-M)=[-3,0)∪ (3,+∞).

【点评】 本题属新概念理解及应用题, 准确 理解 M-N,M△N 是解决本题的关键.

素材4

对于集合A、B,我们将{(a,b) | a ? A,b ? B} 记作A ? B.例如:A=?1, 2?,B=?3, 4?,则A ? B= {?1,3?, 4 ?,2,3?,2, 4 ?}. ?1, ? ?

?1?已知A ? B={?1, 2 ?,2, 2 ?},则集合A= _______ , ?
B= __________ ;

? 2 ? 若A有3个元素,B有4个元素,则A ? B共含有
__________ 个元素.

【解析】

?1?由A ? B={(a,b) | a ? A,b ? B}的含义可知 A=?1, 2?,B=?2?. ? 2 ? 设A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3,b4 },则在B中
与ai (i=1, 2,3)组合的元素均有4个,故共有3 ? 4=12 个元素.

备选例题

1? 集合P={y | y=x 2 },Q={y | x 2+y 2=2}, ? 则P I Q等于 ? A. ? ?1 C.,2} {0

?
B.1,1?, 1,1)} {? (- D.,2] [0

? 2 ? 设I 为全集,S1,S2是I的两个非空子集, 且S1 U S 2=I,则下面论断正确的是 ? ?
A.?I S1 I S 2=? C .痧 1 I IS
I

B.S1 ? ?I S 2 D.S 2 ? I S1

S2

【解析】

?1?因为P=[0,+?),Q=[-
所以P I Q=[0,2],故选D.

2,2],

? 2 ?因为S1 U S2=I,所以痧( S1 U S 2 )= I
即痧 1 I IS
I

I

I=?

S 2=?,故选C.

1.理解集合语言、把握元素的特征是分析解 决集合问题的前提. 2.化简集合(具体化、一般化、特殊化)是求 解集合问题的基本策略. 3.注意集合元素的三要素(尤其是互异性)、 不忘空集是解集合问题与防止出错的诀窍.

4.数形结合、分类讨论、补集思想、转换化 归是解集合问题能力的具体体现.

设集合A={0,a},集合B={a 2,-a 3,a 2-1}, 且A ? B,则a的值是(    ) A. 1 ? B.-1 C. 1 D. 2 错解:由A={0,a}及集合元素的互异性

可知a ? 0,所以a ? 0,-a =0,又A ? B
2 3

得a -1=0,即a= ? 1.故选A.
2

错误分析:解出a= ? 1后,忽视了检验这 两个值是否都满足元素的互异性.

正解:由A={0,a}及集合元素的互异性可知a ? 0, 所以a 2 ? 0,-a 3 ? 0, 又A ? B,所以a -1=0,解得a= ? 1.
2

当a=-1时,a 2=-a 3=1,这与集合元素互异性 矛盾,舍去. 当a=1时,A=?0,1?,B={1,-1,0},满足A ? B. 综上a=1,故应选C.


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