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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系习题 理

时间:2016-05-24


第八节
[基础达标]

直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.不论 k 取何值,直线 y=k(x-2)+b 与曲线 x -y =1 总有公共点,则实数 b 的取值范围是( A.() B.[] C.(-2,2) D.[-2,2]
2 2

)

1.B 【解析】直线 y=k(x-2)+b 恒过点(2,b),所以只要满足 22-b2≥1,即 b2≤3,解得

-

≤b≤

.
2

2. (2015·石家庄二模) 已知 F 是抛物线 x =4y 的焦点,直线 y=kx-1 与该抛物线交于第一象限 内的交点 A,B,若|AF|=3|FB|,则 k 的值是 A. B. C. D. ( )

2.D 【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去 x 得 y2+(2-4k2)y+1=0,则 y1+y2=4k2-2

①,y1y2=1 ②,又|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,由已知 y1+1=3(y2+1) ③,由②③得 y1=3,y2= ,代入

①得 k=

(A,B 在第一象限,负值舍去).

3. (2015·山东北镇中学模拟) 直线 x-2y+2=0 经过椭圆 顶点,则该椭圆的离心率为 A. B. C. D.

=1(a>b>0)的一个焦点和一个
( )

3.C 【解析】由题意可知椭圆的一个焦点为(-2,0),一个顶点为(0,1),代入椭圆方程得

b=1,c=2,则 a=

,则该椭圆的离心率为

.

1

4. (2015·河南八市联考) 已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,过点 F 的直线交抛 物线于 A,B 两点,过点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 E,当 A 点坐标为(3,y0)时,△AEF 为正三角 形,则此时△OAB 的面积为 A. B. C. D. ( )

2

4.A 【解析】如图所示,过点 F 作 AE 的垂线,垂足为点 H,则 H 为 AE 的中点,因为 A 点坐标 为(3,y0),所以 AE=3+ ,EH=p,所以 2p=3+ ,所以 p=2,所以 y2=4x,此时

A(3,2

),F(1,0),kAF=

,所以直线 AF 的方程为 y=

(x-1),代入抛物线方程可得

3(x-1)2=4x,解得 x=3 或 ,所以 y=2

或-

,所以△AOB 的面积

S=S△OFB+S△OFA= ×1×

.

5.已知曲线 y=ax 与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点 A,B,如果过这两个交点的 直线的倾斜角是 45°,则实数 a 的值是 A.2 B. C.1 D.-1 ( )

2

5.B 【解析】曲线 y=ax2 关于点(1,1)对称的曲线方程为 y=-a(x-2)2+2,设两个不同的交点

A,B 的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程 ax2=-a(x-2)2+2,即方程 ax2-2ax+2a-1=0 的两
根,∴x1+x2=2,∵过两个交点的直线的倾斜角是 45°,∴ 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6. (2015·宿迁质检) 椭圆 C:

=a(x1+x2)=1,∴a= .

=1(a>b>0)的右焦点为 F,直线 y=.

x 与椭圆 C 交于

A,B 两点,且 AF⊥BF,则椭圆 C 的离心率为

2

6.

-1 【解析】设左焦点为 F',则四边形 F'AFB 是平行四边形,又 AF⊥BF,所以四边形

F'AFB 是矩形,则 OA=OF=c,又∠AOF=120°,所以 AF=

c,AF'=c,由椭圆定义可得

AF+AF'=

c+c=2a,即 c=

a,则离心率 e=

-1.

7. (2015·绍兴质检) 已知抛物线 C:y2=4x,点 M(-1,1),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交 于 A,B 两点,若

=0,则实数 k 的值为

.

7.2 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得直线 AB 的方程为 y=k(x-1),代入抛物线

C:y2=4x,整理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则 x1+x2=

,x1x2=1,所以

=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=x1x2+x1+x2+y1y2-(y1+y2)+2=x1x2+x1+x2+k2(x1-1)(x2-1)-

k(x1+x2)+2k+2=(1+k2)x1x2+(1-k2-k)(x1+x2)+k2+2k+2=0,所以 1+k2+(1-k2-k) +k2+2k+2=0,解得 k=2.
8.已知圆 M:x +y +2mx-3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 C: 于 x 轴且经过 F 点的直线与圆 M 相切,则 a 的值为
2 2 2 2 2

=1 的左焦点为 F(-c,0),若垂直 .
2

8.2 【解析】∵圆 M:x +y +2mx-3=0(m<0)的半径为 2,∴m +3=4,∴m =1,∵m<0,∴m=-1,∴圆 心 M 的坐标为(1,0),∵垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,∴c=1,∴a =1+3=4,∴a=2. 三、解答题(共 20 分) 9.(10 分)求过点 P( ,5)且与双曲线
2

=1 有且只有一个公共点的直线的方程.

9.【解析】若直线的斜率不存在,则 x=

,此时仅有一个交点(

,0),满足条件.

若直线的斜率存在,设直线的方程为 y-5=k(x-

),则 y=kx+5-

k,代入双曲线方程,得

3

=1,即(25-7k2)x2-7×2kx(5-

k)-7(5-

k)2-7×25=0,

当 k=

时,方程无解,不满足条件;

当 k=-

时,2×5

x×10=875,则方程有一解,满足条件,直线方程为 y=-

x+10;

当 k2≠ 足条件;

时,令 Δ =[14k(5-

k)]2+4(25-7k2)[7(5-

k)2+175]=0,化简后 k 无解,所以不满

所以满足条件的直线有两条,分别是 x=

和 y=-

x+10.

10.(10 分) (2015·重庆三诊) 如图,椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,F1,F2 为其左、

右焦点,且|F1F2|=2,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1,F2 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 P,Q,求四边形 PF1F2Q 面积的最大值. 10.【解析】(1)由题知 c=1,e= ,故 a= ,b=1,故椭圆 C 的方程为

+y2=1.

(2)当 k=0 时,

=2;

当 k≠0 时,令|PF1|=d1,|QF2|=d2, 则 d1= ,d2= ,|PQ|=

.


2 2

得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
2 2 2 2

由题知 Δ =16k m -4(1+2k )(2m -2)=0,即 m =1+2k , 4

所以 又 m =1+2k ,故|m|>1, 所以
2 2

(d1+d2)·|PQ|=

=

,

=|

|=

<2;

综上,当 k=0 时,

取得最大值 2.

[高考冲关] 1.(5 分) (2015·哈尔滨三中二模) 已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A,B 两 点,F 为 C 的焦点,若|FA|=3|FB|,则 k= A. B. C. D. ( )
2

1.A 【解析】由抛物线定义可得|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,则 xA+2=3(xB+2),xA=3xB+4 线 y=k(x+2),k>0 代入抛物线 C:y2=8x 整理得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,则 xA+xB=-4+

①.将直
,xAxB=4,与

①联立解得 xA=6,xB=

(舍负),k = ,又 k>0,所以 k=

2

.

2.(5 分) (2015·江苏盐城中学阶段检测) 已知椭圆

=1(a>b>0),M,N 是椭圆上关于原

点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,且直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离 心率为 ,则|k1|+|k2|的最小值为

.

2.1 【解析】设 P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),则 k1k2=

,因为

两式相减得

=-

=-

=-1+ =- ,所以|k1|+|k2|≥2

=1,当且

仅当|k1|=|k2|= 时取等号,所以|k1|+|k2|的最小值为 1.

5

3.(5 分)已知正方形的一条边 AB 在直线 y=x+4 上,顶点 C,D 在抛物线 y =x 上,则该正方形的 边长为 3.3 或5

2

.
【解析】设 CD 所在直线的方程为 y=x+b(b<0),由 消去 x 得

y2-y+b=0,设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 y1+y2=1,y1y2=b,∴ |CD|=
,又 AB 与 CD 的距离 d= ,由四边形 ABCD

为正方形有

,解得 b=-2 或 b=-6,∴正方形的边长为 3

或5

.

4.(12 分) (2015·北京昌平区模拟) 已知椭圆 C:

=1(a>b>0),右焦点 F(

,0),点

A

在椭圆上.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,且与圆 O:x +y =a +b 相交于 P,B 两点,问 kOM·kPB=-1 是否成立?请说明理由.
2 2 2 2

4.【解析】(1)因为椭圆 C 的右焦点 F(

,0),经过点 A

,所以

解得

a2=4,b2=1,
所以椭圆 C 的方程是 (2)不成立. 由(1)知圆 O:x +y =5, 因为直线与椭圆 C 有且只有一个公共点 M, 所以方程组
2 2 2 2

+y2=1.

(*)有且只有一组解,由(*)得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
2 2

从而 Δ =0,即 16(4k -m +1)=0,化简得 m =1+4k ,

① ②
6

xM=-

,yM=kxM+m=

.

所以点 M 的坐标为

.

因为 kPB=k≠0,由①可知 m≠0,所以 kOM×kPB= 所以 kOM·kPB=-1 不成立.

×k=- ≠-1,

5.(13 分)设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 ,求 p 的值及圆 F 的方程;

2

(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到

m,n 距离的比值.
5.【解析】(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形, 则|BD|=2p,圆 F 的半径|FA|=

p.

由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|=

p.

因为△ABD 的面积为 4

,

所以 |BD|·d=4

,

即 ·2p·

p=4

,

解得 p=-2(舍去),p=2. 所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x +(y-1) =8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上, 所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°. 由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|,
2 2

所以∠ABD=30°,直线 m 的斜率为

或-

.
7

当直线 m 的斜率为

时,由已知可设 n:y=

x+b,代入 x2=2py 得

x2-

px-2pb=0.

由于直线 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ = p2+8pb=0.解得 b=- .

因为直线 m 的截距 b1=

=3,

所以坐标原点到直线 m,n 距离的比值为 3. 同理,当直线 m 的斜率为时,坐标原点到直线 m,n 的距离的比值也为 3.

8


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