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高中数学竞赛

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奥林匹克数学的技巧(上篇) 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学,通常的情况是,在一般思维规律的指导下,灵活 运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中,经常使用一些方法和原理(如探索法, 构造法,反证法,数学归纳法,以及抽屉原理,极端原理,容斥原理??) ,同时,也积累了一批生 气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在 2-1 曾经说过: “竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶 得的雕虫小技,它既是使用数学技巧的技巧,又是创造数学技巧的技巧,更确切点说,这是一种数 学创造力,一种高思维层次,高智力水平的艺术,一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。 ” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是:以已知条件为原料、以所求结论为方向,构造出一种新的数学形式,使得问 题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形,构造方程,构造恒等式,构造函数,构造反例,构 造抽屉,构造算法等。 例 2-127 一位棋手参加 11 周(77 天)的集训,每天至少下一盘棋,每周至多下 12 盘棋,证 明这棋手必在连续几天内恰好下了 21 盘棋。 证明: an 表示这位棋手在第 1 天至第 n 天 用 (包括第 n 天在内) 所下的总盘数 n ? 1, 2,…77 ) ( , 依题意 1 ? a1 ? a2… ? a77 ? 12 ?11 ? 132 考虑 154 个数: a1 , a2 ,…,a77 , a1 ? 21, a2 ? 21, a77 ? 21 又由 a77 ? 21 ? 132 ? 21 ? 153 ? 154 ,即 154 个数中,每一个取值是从 1 到 153 的自然数,因 而必有两个数取值相等,由于 i ? j 时, ai ? ai 故只能是 ai , a j ? 21(77 ? i ? j ? 1) 满足 ai ? 21 ? a j ? 21 ai ? a j ? 21 这表明,从 i ? 1 天到 j 天共下了 21 盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序,并具体构造了 154 个“苹果”与 153 个“抽屉” ,其 困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知 x, y, z 为正数且 xyz ( x ? y ? z ) ? 1 求表达式 ( x ? y)( y ? z ) 的最最小值。 ?a ? x ? y ? 解:构造一个△ABC,其中三边长分别为 ?b ? y ? z ,则其面积为 ?c ? z ? x ? ? ? ( p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ? ( x ? y ? z ) xyz ? 1 另方面 ( x ? y )( y ? z ) ? ab ? 2? ?2 sin C 2 2 2 故知,当且仅当∠C=90°时,取值得最小值 2,亦即 ( x ? y ) ? ( y ? z ) ? ( x ? z ) 1 y 1 ? 如 y( x ? y ? z ) ? xz 时, x ? y)( y ? z) 取最小值 2, x ?z ? , ? 2 1 ( 2-7-2 映射 它的基本形式是 RMI 原理。 时, x ? y)( y ? z ) ? 2 。 ( 令 R 表示一组原像的关系结构(或原像系统) ,其中包含着待确定的原像 x ,令 M 表示一种映 射,通过它的作用把原像结构 R 被映成映象关系结构 R*,其中自然包含着未知原像 x 的映象 x * 。 如果有办法把 x * 确定下来,则通过反演即逆映射 I ?

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