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函数概念及表示


富县高级中学集体备课教案
年级: 课 题 高一级 科目: 生活中的变量 数学 授课人: 第 1 课时

知识与技能:能够发现和认识 和发现生活中的变量间的依赖关系,并 能利用初中所学函数知识对对依赖关系是不是函数关系进行判断。 三维目标 过程与方法:培养学生广泛想象能力,通过对生活及其他领域中变量及 其依赖关系的认识,让学生领悟生活中处处有变量。 情

感态度与价值观:培养学生观察能力,提高数学素养,发展数学应意 识。 重 点 变量间依赖关系和函数关系的区分
中 心 发

陈卫卫





依赖关系和函数关系的差别

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一.引入课题

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世界是变化的,许多变量之间有着相互依赖的关



系, 变量与变量的依赖关系在生活中随处可见,与我们 息息相关.函数就描述了因变量随自变量而变化的依 赖关系.



回顾复习:初中我们学习过哪些函数? 你能说出函数描述了几个变量之间的关系?它们 分别是什么变量?



因变量 y 与自变量 x 之间什么样的依赖关系?什 么是函数? 二.新课教学



因变量 y 随自变量 x 的变化而变化:即一个 x 的取值有唯一确定的值 y 与之对应则称 y 是 x 的函数. 函数的概念:设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,

如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应, 那么就说 y 是 x 的函数.x 叫做自变量. 注意:并非有依赖关系的两个变量都有函数关系. 下面我们在高速公路的情景下,看看你能发现哪 些函数关系? 1.里程与年份之间是否有函数关系? 2.高速公路上我们还会联想到行驶的汽车,自然 会想到时间与路程、速度的关系,还有什么变量关系? 3.储油量是否为 d 的函数? 储油量是否为截面半 径 r 的函数呢? (一)应用示例: 下列过程中,变量之间是否存在依赖关系,其中 哪些是函数关系? 1.地球绕太阳公转的过程中,二者的距离与时间的关 系。 2.在空中作斜抛运动的铅球,铅球距地面的高度与时 间的关系。 3.某水文观测点记录的水位与时间的关系。 4.某十字路口,通过汽车的数量与时间的系。课后作 业:P25A 组 1,2 B组2

教后 反思

审核人签字:陈天波







富县高级中学集体备课教案
年级: 课 题 高一级 科目: 数学 授课人: 第 1 课时

对函数的进一步认识----函数的概念

知识与技能:了解构成函数的要素;会求一些简单函数的定义域和值域; 三维目标
能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域; 过程与方法:理解用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函 数概念中的作用;

情感态度与价值观:感受函数来自生活,体会函数的必要性和重要性, 使学生感受到学习数学的必要性,激发学习的积极性。 重 点
理解函数的模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数; 中 心 发

陈卫卫





符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示;

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一.引入课题 复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化想。 思考: (1)y=1(x∈R)是函数吗? (2)y=x 与 y= x 2 是同一函吗? x 二.新课教学 (一)函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按 照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值 的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:①“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的 字母表示,如“y=g(x)”; ②函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的 函数值,是一个数,而不是 f 乘以 x。 ③ 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关 系分别完全相同. ④有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它



的定义域就是自变量的允许取值范围. 2.构成函数三要素:定义域、对应关系和值域 3.区间的概念: ①区间分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 ②无穷区间; ③区间的数轴表示. 说明:① 对于 ?a , b ? , ?a , b ? , ?a,b ? , ?a , b ?都 称数 a 和数 b 为区间的端点,其中 a 为左端点,b 为 右端点,称 b-a 为区间长度; ② 引入区间概念后, 以实数为元素的集合就有三 种表示方法:不等式表示法:3<x<7;集合表示法:

?x 3 ? x ? 7?;区间表示法: ?3,? 。 7







③ 在数轴上, 这些区间都可以用一条以 a 和 b 为 端点的线段来表示,在图中,用实心点表示包括在区 间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点; ④ 实数集 R 也可以用区间表示为(-∞,+∞), “∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”, “+∞”读作“正无穷大”,还可以把满足 x ? a, x>a, x ? b, x<b 的实数 x 的集合分别表示为[a,+∞]、 (a,+ ∞)、(-∞,b)、(-∞,b)。 (二)例题讲解 例 1.某山海拔 7500m, 海平面温度为 25°C,气温 是高度的函数, 而且高度每升高 100m, 气温下降 0.6°C.请你用解析表达式表示出气温 T 随高度 x 变化 的函数,并指出其定义域和值域. 例 2:下列函数中与函数 y=x 相同的是( B ). A. y ?

? x?

2

B.

y ? 3 x3

C y?

x2

2 例 3. 已知 f (x)=3x -5x+2, 求 f(3),f(- ), f (a), f2(a+1) , f [f (a)]. 三.课堂练习 P28 练习 1, 2 四.小结:在初中函数定义的基础上进一步用集合与 对应的语言描述了函数的定义及其相关概念,介绍了 求函数定义域和判断同一函数的典型题目,引入了区 间的概念来表示集合。 五.作业:p34 A组1

教后 反思

审核人签字:陈天波







富县高级中学集体备课教案
年级: 课 题 高一级 科目: 数学 授课人: 第 1 课时 对函数的进一步认识------函数的表示法

三维目标

知识与技能:1.使学生掌握函数的常用的三种表示法;2.使学生能根据不同需要 选择恰当的方法表示函数,了解函数不同表示法优缺点; 过程与方法:使学生理解分段函数及其表示法,会处理某些简单的分段函数问题 情感态度与价值观:培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法,激发学生的 学习热情。

重 难 教 教

点 点 具 法

函数的三种表示法及其相互转化,分段函数及其表示法 根据不同需要选择恰当方法表示函数,分段函数及表示法

中心 发言 人

陈卫卫

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一、新课引入

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复习提问:函数的定义及其三要素? 函数常用的表示法:列表法是、图像法、解析法 二、 新课讲解 1.列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义 的? 2.这三种表示法各有什么优、缺点? 下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列 表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。 (应用示例)请画出下列函数的图像。





?x , x ? 0 y? x ?? ?? x , x ? 0
解:图像为第一和第二象限的角平分线,


0

y

x

本题体现的是由数到形的变化,是数形结合的数学 思想方法。 问 1.如何作出函数 y ? x ? 1 的图像? 2.如何作出函数 y ? x ? 1 的图像? 3. 如何作出函数 y ? x ? 2 ? 3 的图像? 4.思考:如何由函数 y ? x 的图像得到函数



y ? x ? a ? b 的图像?

5.试求函数 y ? x 与函数 y=1 的图像围成的图形的



面积。 例 2、 国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量 和对应的邮资如表 2-5: 信函质量 0 ? m ? 20 20 ? m ? 40
40 ? m ? 60 60 ? m ? 80

80 ? m ? 100



邮资

1.20

2.40

3.60

4.80

6.00

画出图像,并写出函数的解析式。 解:邮资 M 是信函质量 m 的函数,函数图像



函数解析式为:
?1.20 ?2.40 ? ? M ? ?3.60 ?4.80 ? ?6.00 ? , 0 ? m ? 20 , 20 ? m ? 40 , 40 ? m ? 60 , 60 ? m ? 80 ,80 ? m ? 100

注:像这样定义域内的不同区间上对应着不同的解 析式的函数叫分段函数。 1.分段函数是一个函数,而不是几个函数; 2.分段函数的定义域是所有区间的并集,值域是各 段函数值域的并集; 3.分段函数的求解策略:分段函数分段解。 三、思考交流:第 1、2 题。 四、课堂练习:第 1、2、3 题。 五、 课堂小结: 1.函数的三种表示法和各自的优缺点; 2.分段函数及其解法; 3.函数解析式的求法。 六、布置作业:P34 习题 2-2 A 组 第 2 题。

教后 反思 审核人签字:陈天波 年 月 日

富县高级中学集体备课教案
年级: 课 题 高一级 科目: 数学 授课人: 第 1 课时

对函数的进一步认识-----映射

知识与技能:使学生了解映射的概念、表示方法;2.使学生了解象、原象的 三维目标 过程与方法:使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念; 情感态度与价值观:使学生认识到事物间是有联系的,对应、映射是一种联
系方式。 中 心 发 概念;





映射的概念

陈卫卫





映射的概念

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一、复习回顾: 在初中学过一些对应的例子; ①对于任何一个实数,数轴上都有唯一的点和它对 应;②对于坐标平面内的任何一个点,都有唯一有序实 数对(x,y)和它对应;③对于任意一个三角形,都有唯 一确定的面积和它对应。 二、新课讲授 (一)实例分析 1. 集合A={全班同学},集合B=(全班同学 的姓},对应关系是:集合A中的每一个同学在集合B 中都有一个属于自己的姓. 2. 集合A= {中国, 美国, 英国, 日本} B={北 , 京,东京,华盛顿,伦敦},对应关系是:对于集才 v 合A中的每一个国家,在集合B中都有一个首都与它对 应. 3. 设集合A={1,-3,2,3,-1,-2},集 合B={9,0,4,1,5},对应关系是:集合A中 的每一个数,在集合B中都有一个其对应的平方数. 三个对应的共同特点: (1)第一个集合中的每一个元素在第二个集合中都 有对应元素; (2)对于第一个集合中的每一个元素在第二个集合 中的对应元素是唯一的.









二.抽象概括 1. 映射的概念: 注意:(1)映射有三个要素:两个集合,一种对应 法则,缺一不可;(2)A,B 可以是数集,也可以是点集 或其它集合。这两个集合具有先后顺序:符号“f:A→B” 表示 A 到 B 的映射,符号“f:B→A”表示 B 到 A 的映射, 两者是不同的;(3)集合 A 中的元素一定有象,并且象 是唯一的,但两个(或两个以上)元素可以允许有相同 的象 例:“A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒数”就不可 以构成映射,因为 A 中元素 0 在 B 中无象 (4)集合 B 中的元素在 A 中可以没有原象,即使有可以 不唯一;(5)A={原象},B ? {象}。 思考交流: 函数与映射有什么区别和联系? 结论: 函数是一种特殊的映射;(数集到数集的映 1. 射) 2. 映射是函数的推广。 3.映射(一种特殊映射) (1)A 中每一个元素在 B 中都有唯一的像与之对应; (2)A 中的不同元素的像也不同; (3)B 中的每一个元素都有原像。 三.知识应用 1. 已知集合 A={x│x≠0,x∈R},B=R,对应法则 是“取负倒数” (1) 画图表示从集合 A 到集合 B 的对应(在集合 A 中任取四个元素); (2) 判断这个对应是否为从集合 A 到集合 B 的映射; 是否为一一映射? (3) 元素-2 的象是什么?-3 的原象是什么? (4) 能不能构成以集合 B 到集合 A 的映射? 2. 点(x,y)在映射 f 下的象是(2x-y,2x+y), (1) 求点(2,3)在映射 f 下的像; (2)求点(4,6)在映射 f 下的原象. (3)设集合 A={1,2,3,k},B={4,7,a,a+3a},其中 a,k∈N,映射 f:A→B,使 B 中元素 y=3x+1 与 A 中元素 x 对应,求 a 及 k 的值. (a=2 , k=5 ) 四.小结: 五.课后作业:p34 2-2B 组 1.2

教 后 反 思 审核人签字:陈天波 年 月 日

富县高级中学集体备课教案
年级: 课 题 高一级 科目: 数学 授课人: 第 1 课时

函数的单调性

知识与技能:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几
何意义;

三维目标

过程与方法:学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 情感态度与价值观:能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.





函数的单调性及其几何意义.

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陈卫卫





利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性

言 人

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复习上节课内容进而引出新课







上一节学习了函数上一及其表 示,利用列表,描点,连线的步骤来画出函数图象, 首先我们先观察函数图象定义域,值域是什么呢? 探究图象得出规律:按照从左到右的顺序自变量 由小变大,函数值由小变大,函数图象上升。 随着自变量 X 的值不断增大,函数值 Y 也不断增 大,函数图象上升。那么如果在函数图象上任取两点, 右边这一支上什么地方都可以,在这里取 x1 ,在一个 地方取 x 2 ,而且 x1 小于 x 2 一定可以得到 小 。叫做 Y= x 2 在(0,+00)上是一个增函数 由学生再来研究 Y 轴左侧的图象。



任取了两个不相等的值 x1 x 2 ,而且 x1 小于 x 2 , 都有 小于 .我们就说 F(x)在这个区间 上是一个增函数。 减函数的定义:定义域上,我们是某个区间,我 们任取了两个不相等的值 x1 , x 2 ,而且 x1 小于 x 2 ., 都有 大于 .我们就说 F(x)在这个区间 上是一个减函数。 单调性的定义:如果我们函数 y=f(x)在区间 D 上 是增函数或者是减函数,那么我们就说函数 y=f(x)在 这一区间具有严格的单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单 调区间。 应用示例: 例 1:定义域是 ?? 10,10 ? ,根据图像指出函数的 单调区间,及每个区间上的单调性。






解: 函数为增区间 ?? 4,?1? , ?2,8?



单调减区间 ?? 10,?4? , ?? 1,2? , ?8,10 ? 。 例 2:指出函数的单调增减区间。

例 2: 证明函数 f ?x ? ? 2 x ? 1 在区间 ?? ?,?? ? 上 是增函数。 归纳小结。我们今天学习的增函数和减函数,并 根据增函数和减函数引出了函数的单调性,最后我知 道了可以根据图象和定义两种方法判断函数的单调 性。定义证明的放大 首先是设元,作差,变形 ,断 号 ,定论。 课后作业: 课本习题 1.3

解:增区间 ?4,14 ?

单调减区间 ?0,4 ? , ?14 ,24 ?

教 后 反 思 审核人签字:陈天波 年 月 日


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