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圣才学习网2012年全国高中数学联赛模拟试题(7)

时间:2012-06-07


2012 年全国高中数学联赛模拟试题(7)

一、填空题: 1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点,顺次连结这四个交点 和两个焦点,得到一个正六边形,则此椭圆的离心率为 .
? 2? 2. 在圆 ? ? 4 cos ? 上有两点 A,B,它们的极角分别是 , ;由极点向直线
5 5

AB 作垂线,垂足为

H,则 H 点的极坐标是 3. A , B 为锐角,则 cos
2

.
4

A + cos

2

B =

sin ( A ? B )
7

成立的充要条件

是 . 4. 一含有五项的等比数列,每一项都是小于 100 的正整数,这五项和为 211,则 这个数列中为完全平方数的项之和为 . 5. 锐角△ ABC 中, AD 是高线, AB ? AC ? 4
ABC 的面积为

2 17

= 17 , 4 BC ? 5 AD ? 17, △

.

6.对任意实数 k,曲线 x 4 + k x 3 y-6 x 2 y 2-k x y 3 + y 4 = 0 总可把圆 x 2 + y 2 = 1 分成 等分 . 7. 数 N =

? (2 k ? 1) 的末三位数是
k ?1

2010

.

8. 已知方程 x3-7x2+1=0 的最大实根为 t,则[t2000] 被 7 除的余数_______. 二、解答题: 9. 已知三棱锥 A— BCD 在顶点 A 处的三个面角( 即 ∠BAC,∠CAD,∠ DAB )分别为 75°,90°,105°;从这个顶点引三个侧面的高均为 1,求这 个棱锥的高. 10.用 1,2,3 这三个数字构造 n 位数,但不允许两个 1 相邻,能构造多少个 这样的 n 位数? 11. 已知抛物线 C 1 : y = x 2 + 2 x 和 C 2 : y =-x 2 + a .如果直线 l 同时是 C 1 和 C 2 的切线,称 l 是 C 1 和 C 2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线 段 . ⑴ a 取什么值时,C 1 和 C 2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; ⑵ 若 C 1 和 C 2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分 .

加试模拟题
1. 设△ABC 中,E、F 是 AC、AB 边上的任意点,O、O′分别是△ABC、 △AEF 的外心,P、Q 是 BE、CF 上的点,满足 求证:OO′⊥ PQ .
A

BP PE



FQ QC



BF CE

2 2

.

O'

F O P E

Q

B

C

2. 求证: ln( n ? 1) < 1 ?

1 2

? 1 ?? ? 3

1 n

≤1+ ln n , n=1,2,… ;

3. 对于给定的正整数 k ,以 f 1 ( k ) 表示 k 的各位数字之和的平方;并设 f n + 1 ( k ) = f 1 [ f n ( k ) ] ,n = 1 , 2 , 3 , … ; 试求 f 2010 ( 2 2009 ) 的值. 4. 某种彩票的对奖号是个三位数 (000 — 999) 开出的中奖号也是个三位数. , 买 彩票时可以自选号码, 如果对奖号与中奖号相同则中一等奖,如果对奖号与中奖 号有两个数字相同(例如中奖号为 123,对奖号为 423 或 183 或 125 等)则中二 等奖.为确保能有彩票能中二等以上的奖,最少应买几张彩票?