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高三数学专项训练:立体几何解答题(文科)(一)

时间:2013-10-21


高三数学专项训练:立体几何解答题(文科)(一)
1. (本题满分 12 分) 如图,三棱锥 A—BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正 三角形. (Ⅰ)求证:DM//平面 APC; (Ⅱ)求 证:平面 ABC⊥平面 APC; (Ⅲ)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积.

2.如

图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为 侧棱 PD 上一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示.

(Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD .

试卷第 1 页,总 25 页

3.如图,四棱柱 P ? ABCD 中, AB ? 平面PAD. AB / /CD, PD ? AD, F 是 DC 上

1 AB, PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高. 2 (Ⅰ)求证: AB / / 平面 PDC ;
的点且 DF ? (Ⅱ)求证: PH ? BC ; (Ⅲ)线段 PB 上是否存在点 E ,使 EF ? 平面 PAB ?说明理由.

P F D H A B

C

4. 在四棱锥 V ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧面 VAD 是正三角形, 平面 VAD ? 底面 ABCD .
V

D

C

A

B

(Ⅰ)如果 P 为线段 VC 的中点,求证: VA // 平面 PBD ; (Ⅱ)如果正方形 ABCD 的边长为 2, 求三棱锥 A ? VBD 的体积.

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5.如图,在四棱锥 中点。

中,底面

为菱形,







(1)若 (2)点

,求证:平面 在线段 上,

; ,试确定 的值,使 ;

6. 如图, 已知三棱锥 A ? BPC 中,AP ? PC ,AC ? BC ,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且 ?PMB 为正三角形。

A

M P D B
(Ⅰ)求证: DM //平面 APC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ⊥平面 APC ; (III)若 BC ? 4 , AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积.

C

试卷第 3 页,总 25 页

7 . 如 图 , E 是 矩 形 ABCD 中 AD 边 上 的 点 , F 为 CD 边 的 中 点 , 2 AB ? AE ? AD ? 4 ,现将 ?ABE 沿 BE 边折至 ?PBE 位置,且平面 PBE ? 平面 3 BCDE . ⑴ 求证:平面 PBE ? 平面 PEF ; ⑵ 求四棱锥 P ? BEFC 的体积.
P

A

E

D

E

D

F B (1) C B (2) C

F

8.如图,平面四边形 ABCD 的 4 个顶点都在球 O 的表面上, AB 为球 O 的直径, P 为 球面上一点,且 PO ? 平面 ABCD , BC ? CD ? DA ? 2 ,点 M 为 PA 的中点. (1) 证明:平面 PBC // 平面 ODM ; (2) 求点 A 到平面 PBC 的距离.
P

M

C

B

O D A

试卷第 4 页,总 25 页

9.如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 E, F 分别为 PC,BD 的 中点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD=

2 AD. 2

P E D F A B (Ⅰ)求证:EF//平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 C—PBD 的体积. C

10. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD ? 平面 ABCD , ABC ? ?BCD ? 90 , ?
?

PA ? PD ? DC ? CB ? a , AB ? 2a , E 是 PB 中点, H 是 AD 中点.

(Ⅰ)求证: EC / / 平面 APD ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? BCD 的体积.

试卷第 5 页,总 25 页

11 . 如 图 , 在 三 棱 锥 S ? ABC 中 , 侧 面 SAB 与 侧 面 S A C 均 为 等 边 三 角 形 , ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点.

S

O
B A

C

(Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求异面直线 BS 与 AC 所成角的大小.

12. (本题满分 12 分) 如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE∥AB,△ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2 AB ,且 F 是 CD 的中点.

(Ⅰ)求证 AF∥平面 BCE; (Ⅱ)设 AB=1,求多面体 ABCDE 的体积.

试卷第 6 页,总 25 页

13. 在四棱锥 P-ABCD 中, ABC=∠ACD=90°, BAC=∠CAD=60°, ⊥平面 ABCD, ∠ ∠ PA E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF;
P

E F A D

B C

14. .(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 E, F 分别为 PC,BD 的中 点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= (Ⅰ)求证:EF//平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 C—PBD 的体积. P E D F A B C

2 AD. 2

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15.右图为一组合体,其底面

ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且

PD ? AD ? 2EC ? 2
(Ⅰ)求证: BE // 平面 PDA ; (Ⅱ)求四棱锥 B ? CEPD 的体积; (Ⅲ)求该组合体的表面积.

16. 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD ,E 为

SD 的中点,已知 ?ABC ? 45?,AB ? 2,BC ? 2 2 , SB ? SC ? 3.
(Ⅰ)求证: SA ? BC ; (Ⅱ)在 BC 上求一点 F ,使 EC / / 平面 SAF ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? EAC 的体积. S

E C D A B

试卷第 8 页,总 25 页

17.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是边长为 2 3 的正三角形, 点 A1 在底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 中点. (Ⅰ)求证: AA1 ? BC ; (Ⅱ)当侧棱 AA1 和底面成 45 角时, 求 VA? BB1C1C (Ⅲ)若 D 为侧棱 AA1 上一点,当 A1 D B1 C1
?

A1 D 为何值时, BD ? A1C1 . DA

A B O

C

18.在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA=PD,底面 ABCD 是菱形,∠A= 60°,E 是 AD 的中点,F 是 PC 的中点. (Ⅰ)求证:BE⊥平面 PAD; (Ⅱ)求证:EF∥平面 PAB;

试卷第 9 页,总 25 页

19 . 在 几 何 体 ABCDE 中 , ?BAC ?

?
2

, DC ? 平 面 ABC , EB ? 平 面 ABC ,

AB ? AC ? BE ? 2, CD ? 1 .
(1)设平面 ABE 与平面 ACD 的交线为直线 l ,求证: l // 平面 BCDE ; (2)设 F 是 BC 的中点,求证:平面 AFD ? 平面 AFE ; (3)求几何体 ABCDE 的体积.

20.在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA=PD,底面 ABCD 是菱形,∠A= 60°,E 是 AD 的中点,F 是 PC 的中点. (Ⅰ)求证:BE⊥平面 PAD; (Ⅱ)求证:EF∥平面 PAB;

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21. (本小题满分 12 分)如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ?ACD 为等 边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 中点.
E

A
B

A
A F C D

A

(1)求证: AF // 平面 BCE ; A (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3)求直线 BF 与平面 BCE 所成角的正弦值.

A

22.如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD﹦60°,E 是 CD 中 点, PA⊥底面 ABCD,PA= 3

(1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB (2)求二面角 A—BE—P 的大小。

试卷第 11 页,总 25 页

23 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 已 知 三 棱 锥 P ? ABC , ?ACB ? 90 ? , (

CB ? 4, AB ? 20, D 为 AB 中点, M 为 PB 中点,且 ?PDB 是正三角形, PA ? PC .
P

M C A D B

(1)求证:平面 PAC ? 平面 ABC ; (2)求三棱锥 M ? BCD 的体积.

24.(本小题满分 12 分) 在正四棱锥 V - ABCD 中,P,Q 分别为棱 VB,VD 的中点, 点 M 在边 BC 上,且 BM: BC = 1 : 3,AB =2 3 ,VA = 6.

(I )求证 CQ∥平面 PAN; (II)求证:CQ⊥AP.

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25.( (本小题满分 12 分)

在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA=AD=4,AB=2, PB=2 5 ,PD=4 2 ,E 是 PD 的中点 (1)求证:AE⊥平面 PCD; (2)若 F 是线段 BC 的中点,求三棱锥 F-ACE 的体积。

26.如图,在长方体 A1 B1 C1 D1 ? ABCD 中, AB ? a , AD ? b , AA1 ? c , M 是线 段 B1 D1 的中点. (Ⅰ)求证: BM // 平面 D1 AC ; (Ⅱ)求平面 D1 AC 把长方体 A1 B1 C1 D1 ? ABCD 分成的两部分的体积比.

D1 A1

M B1

C1

D A B

C

试卷第 13 页,总 25 页

27.如图,四边形 ABCD 是正方形, PD∥ MA , MA ? AD , PM ? 平面CDM ,

1 PD ? 1 2 (Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 AMPD ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? CMP 的高 MA ? AD ?
C

B D

P

A

M

28.如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中,底面是边长为 2 的正方形,侧棱 PA ?

6,E为

BC 的中点, F 是侧棱 PD 上的一动点。

(1)证明: AC ? BF ; (2)当直线 PE // 平面ACF 时,求三棱锥 F ? ACD 的体积.

试卷第 14 页,总 25 页

29. (本题满分 12 分)如图, AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上, ?BAC ? 30? , BM ? AC 交 AC 于点 M , ? 平面 ABC , // EA ,AC ? 4,EA ? 3,FC ? 1 . FC EA

(1)证明: EM ? BF ; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

30. 如图所示的几何体中,矩形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直,

AF ? 2 AB ? 2 AD , M 为 AF 的中点, BN ? CE 。

(Ⅰ)求证: CF // 平面MBD ; (Ⅱ)求证: CF ? 平面BDN 。

F

E

M

A

N B

D

C

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31. (本小题满分 12 分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. (1)若 F 为 PD 的中点,求证: AF ? 面 PCD ; (2)求 A 到面 PEC 的距离;

P 4 E
4 主视图

2 2
左视图

A B C D
4 俯视图

4

32.

试卷第 16 页,总 25 页

33. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PD ⊥底面 ABCD 底面 ABCD 为正方形, PD = DC , E , F 分别是 AB PB 的中点. (1)求证: EF ? CD ; (2)设 PD=AD=a, 求三棱锥 B-EFC 的体积.

0

34. 如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, AD ? PA ? 2, CD ? 2 2, E、F 分别是 AB、 PD 的中点.

(I)求证:AF//平面 PCE; (II)求证:平面 PCE ? 平面 PCD; (III)求四面体 PEFC 的体积.

试卷第 17 页,总 25 页

35.如图, PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, AD ? PA, E, F 分别是 AB, PD 的中 点. (I)求证: AF // 平面 PCE ; (Ⅱ)求证:平面 PCE ? 平面 PCD .

36. (本小题共 12 分)如图所示,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD;





G








试卷第 18 页,总 25 页

37. (本小题共 12 分)如图,已知 AB ⊥平面 ACD , DE ∥ AB ,?ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2 AB ,且 F 是 CD 的中点

E B

A C F D

(1)求证: AF ∥平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE .

38.如图所示,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD;





G








试卷第 19 页,总 25 页

39.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 A BCD , PD ? DC ? BC ? 2 ,

AB ? 2DC , AB ∥ DC , ?BCD ? 90? . (Ⅰ)求证: PC ? BC ; (Ⅱ)求多面体 A ? PBC 的体积.

P

D

C

A

B

40.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,D 是 AC 的中点,E 是线段 D 1 O 上一点,且

D1E ? ?ED
(1)若 ? ? 1 ,求异面直线 DE 与 CD 1 所成角的余弦值; (2)若面 CDE ? 面 CD 1 O,求 ? 的值

试卷第 20 页,总 25 页

41.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点.
P

E

D

C

A

B

(1)求证: PC ∥平面 BDE ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .

42 . 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ( 即 侧 棱 与 底 面 垂 直 的 三 棱 柱 ) ABC ? A1B1C1 中 ,
? ?A C B? 9 0 ,2 AC ? AA1 ? BC ? 2 , D 为 AA1 的中点 .

(I)求证:平面 B1CD ? 平面 B1C1D ; (II)求 C1 到平面 B1CD 的距离.

试卷第 21 页,总 25 页

43. (本小题 12 分)如图所示,三棱柱 A1B1C1—ABC 的三视图中,正(主)视图和侧(左) 视图是全等的矩形,俯视图是等腰直角三角形,点 M 是 A1B1 的中点.

(1)求证:B1C∥平面 AC1M; (2)求证:平面 AC1M⊥平面 AA1B1B.

44. (本小题满分 12 分) 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,? BCD=60 ? , 是 CD 的中点, E PA ? 底面 ABCD,PA=2.

(1)证明:平面 PBE ? 平面 PAB; (2)求 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值。

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45.12 分) 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PD ? 底面 ABCD,PD=AD

(Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 PBD (Ⅱ)求 PC 与平面 PBD 所成角

46.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为平行四边形, PD ? 平面 ABCD , M 为 PC 中 点.

(1)求证: AP // 平面 MBD ; (2)若 AD ? PB ,求证: BD ? 平面 PAD .

试卷第 23 页,总 25 页

47. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面为矩形,AB ? 的中点, DE ? PA . P

2 ,BC ? 1 ,E , F 分别是 AB, PC

F D

C

A

E

B

(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 PDE .

48.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, E 为 PD 上一点, AD ? 2 AB ? 2 AP ? 2 , PE ? 2DE . P F E A B C D

(I)若 F 为 PE 的中点,求证 BF ? 平面 ACE ; (II)求三棱锥 P ? ACE 的体积.

试卷第 24 页,总 25 页

49. (本小题满分 14 分) 如图,斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧面 AAC1C ? 底面 ABC ,侧面 AAC1C 是菱形, 1 1

?A1 AC ? 60? ,E、F 分别是 AC1 、AB 的中点. 1
A1 E B1 C1

A F B

C

求证: (1)EF∥平面 BB1C1C ; (2)平面 CEF⊥平面 ABC.

50.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,其中 PA ? PD ? AD ? 2 ,

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点.

(1) 求证: AD ? 平面PQB ; (2) 若平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 M 为 PC 的中点, 求四棱锥 M ? ABCD的体积.

试卷第 25 页,总 25 页

高三数学专项训练:立体几何解答题(文科)参
考答案 1.解: (Ⅰ)∵M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,

∴MD//AP, 又∴MD ? 平面 ABC ∴DM//平面 APC ?????3 分 Ⅱ)∵△PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点。 ∴MD⊥PB 又由(Ⅰ)∴知 MD//AP, ∴AP⊥PB 又已知 AP⊥PC ∴AP⊥平面 PBC, ∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC ∴BC⊥平面 APC, ∴平面 ABC⊥平面 PAC ?????8 分 (Ⅲ)∵AB=20 ∴MB=10 ∴PB=10 又 BC=4, PC ? 100 ? 16 ? 84 ? 2 21. ∴ S ?BDC ?

1 1 1 S ?PBC ? PC ? BC ? ? 4 ? 2 21 ? 2 21. 2 4 4

又 MD ?

1 1 AP ? 20 2 ? 10 2 ? 5 3. 2 2 1 1 S ?BDC ? DM ? ? 2 21 ? 5 3 ? 10 7 ??????12 分 3 3

∴VD-BCM=VM-BCD=

【解析】略 2. (I)

2 ; (II)详见解析; (Ⅲ)详见解析. 3

【解析】 试题分析: (I)根据三视图等条件,求出棱锥底面积和高,可求体积; (II)在面 PFC 内找 一直线平行 AE 即可证明 AE ∥平面 PFC ; (III)证平面 PFC ? 平面 PCD 只需证明平面 PFC 过平面 PCD 的一条垂线即可. 试题解析: (Ⅰ)解:由左视图可得 F 为 AB 的中点,
答案第 1 页,总 33 页

所以 △ BFC 的面积为 S ? 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以四面体 PBFC 的体积为

1 ?1 ? 2 ? 1. 2

1分 2分

1 VP ? BFC ? S?BFC ? PA 3 1 2 ? ?1? 2 ? . 3 3

3分 4分 5

(Ⅱ)证明:取 PC 中点 Q ,连结 EQ , FQ . 分

由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所以 EQ ∥ CD , EQ ? 又因为 AF ∥ CD , AF ?

1 CD . 2

6分

1 CD , 所以 AF ∥ EQ , AF ? EQ . 2
8分

所以四边形 AFQE 为平行四边形,所以 AE ∥ FQ . 因为 AE ? 平面 PFC , FQ ? 平面 PFC , 所以 直线 AE ∥平面 PFC . (Ⅲ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD . 因为面 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD . 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 AE ? 平面 PAD ,所以 CD ? AE . 因为 PA ? AD , E 为 PD 中点,所以 AE ? PD . 所以 AE ? 平面 PCD . 因为 AE ∥ FQ ,所以 FQ ? 平面 PCD . 因为 FQ ? 平面 PFC , 所以 平面 PFC ? 平面 PCD .

9分

11 分

12 分 13 分 14 分

考点:棱锥体积公式,线面平行,面面垂直. 3. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ)详见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用 AB//CD 结合直线与平面平行的判定定理证明即可; (Ⅱ)利用已知 条件先证明 PH ? 平面 ABCD ,进而得到 PH ? BC ; (Ⅲ)取 PA 的中点 G ,连接 DG , 可以先证 DG ? 平面 PAB ,再利用平行四边形平移法证明四边形 DGEF 为平行四边形,
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由 EF //DG ,进而得到 EF ? 平面 PAB ,从而确定点 E 的位置. 试题解析: (Ⅰ)证明: AB / / CD ,且 AB ? 平面 PCD, CD ? 平面 PCD,所以 AB / / 平 面 PDC 2分 (Ⅱ)证明:因为 AB ? 平面 PAD,且 PH ? 平面 PAD , 所以 AB ? PH 又 PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高,所以 PH ? AD 又 AD ? AB ? A 所以 PH ? 平面 ABCD 而 BC ? 平面 ABCD 所以 PH ? BC . 7分 (Ⅲ)解:线段 PB 上存在点 E ,使 EF ? 平面 PAB 理由如下:如图,分别取 PA、PB 的中点 G、E

P

G D H A
则 GE / /

E

F

C

B

1 AB 2 1 AB 2

由 DF / /

所以 GE / / DF , 所以 GDEF 为平行四边形,故 EF / /GD 因为 AB ? 平面 PAD,所以 AB ? GD 因此, EF ? AB 因为 G 为 PA 的中点,且 PD ? AD ,所以 GD ? PA ,因此 EF ? PA 又 PA ? AB ? A ,所以 EF ? 平面 PAB 14 分 考点:直线与平面平行、直线与平面垂直 4. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 连结 AC 与 BD 交于点 O, 连结 OP, 证明 OP∥VA,易得 VA // 平面 PBD ; (Ⅱ) 在面 VAD 内,过点 V 作 VH⊥AD,可得 VH 为三棱锥的高,由体积公式易得三棱锥的体积. 试题解析: (Ⅰ)连结 AC 与 BD 交于点 O, 连结 OP,因为 ABCD 是正方形,所以 OA=OC,又因 为 PV=PC
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2 3 . 3

所以 OP∥VA,又因为 PO ? 面 PBD,所以 VA // 平面 PBD . 6分 (Ⅱ)在面 VAD 内,过点 V 作 VH⊥AD,因为平面 VAD ? 底面 ABCD .所以 VH⊥面 ABCD
1 1 1 3 2 3 所以 VA?VBD ? VV ? ABD ? S?ABD ? ? ? ? 22 ? . VH ?2 ? 3 3 2 2 3

12 分

v
P D C O A B

考点:1、面面垂直的性质;2、线面平行的判定定理;3、三棱锥的体积公式. 5. (1)证明详见解析;(2)

1 3

【解析】 试题分析: (1)由已知条件可证 AD⊥BQ,AD⊥PQ,根据平面与平面垂直的判定定理即可求证 平面 PQB⊥平面 PAD.

AQ AN 1 ? ? ,由直线与平面 BC NC 2 PM AN 1 1 1 平行的性质,可证 PA∥MN,即得 ? ? ,所以 PM= PC,即 t= . PC AC 3 3 3
(2) 连结 AC 交 BQ 于 N, AQ∥BC,可证△ANQ∽△BNC,即得 由 试题解析:(1)连 BD,四边形 ABCD 菱形, ∵AD⊥AB, ∠BAD=60° △ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ ∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,AD⊥PQ 又 BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面 PQB, AD ? 平面 PAD ∴平面 PQB⊥平面 PAD; (2)当 t ?

1 时, PA // 平面 MQB 3

下面证明,若 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,?

AQ AN 1 ? ? BC NC 2

? PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC ? 平面 MQB ? MN ,? PA // MN
PM AN 1 ? ? PC AC 3
即: PM ?

1 PC 3

1 ?t ? ; 3

考点:1.平面与平面垂直的判定;2.直线与平面平行的性质及直线与直线平行的性质. 6. (Ⅰ)(Ⅱ)详见解析(III) 10 7 . 、 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用中位线性质得到线线平行,根据线面平行的判定判定直线与平面平行; (Ⅱ)利用正三角形中点得到线线垂直,根据平行推得线线垂直,利用直线与平面垂直判定 面面垂直; (Ⅲ)利用三棱锥的体积公式计算体积.
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试题解析: (Ⅰ)∵M 为 AB 中点,D 为 PB 中点, ∴MD//AP, 又∴MD ? 平面 ABC ∴DM//平面 APC. 3分 (Ⅱ)∵△PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点.∴MD⊥PB. 又由(1)∴知 MD//AP, ∴AP⊥PB. 又已知 AP⊥PC ∴AP⊥平面 PBC, ∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC. 7分 ∴BC⊥平面 APC, ∴平面 ABC⊥平面 PAC, (Ⅲ)∵ AB=20 ∴ MB=10 ∴PB=10 又 BC=4, PC ? 100 ? 16 ? 84 ? 2 21 .

1 1 1 S?PBC ? PC ? BC ? ? 4 ? 2 21 ? 2 21 . 2 4 4 1 1 又 MD ? AP ? 202 ? 102 ? 5 3 . 2 2 1 1 ∴VD-BCM = VM-BCD = S?ABC ? DM ? ? 2 21 ? 5 3 ? 10 7 . 3 3
∴ S?ABC ?

12 分

考点:直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定,三棱锥体积计算. 7.(1)详见解析;(2)

28 2 . 3

【解析】 试题分析:(1) 利用折叠前几何图形的性质,推导 EF⊥BE,然后借助面面垂直的性质定理 证明 EF⊥平面 PBE,进而利用面面垂直的判定定理进行证明; (2)首先求出底面 BEFC 的面 积,然后确定高为三角形 PBE 的高,最后利用体积公式求解.

ED ? DF ? ? ? ? ?DEF ? 45? ? ED ? DF ? ? 试题解析:(1) 证明:由题可知, (3 ? ? EF ? BE AE ? AB ? ? ?ABE中??? ? ? ? ?AEB ? 45??? ? AE ? AB ? ? ?DEF中??????
分)

? ? ? ? 平面ABE ? 平面BCDE ? BE ? ? EF ? 平面PBE ? ? ? 平面PBE ? 平面PEF (6 分) ? EF ? BE ? ? ?????????????????????????????????????????????? EF ? 平面PEF ? ? 平面ABE ? 平面BCDE
(2) S BEFC ? S ABCD ? S ABE ? S DEF ? 6 ? 4 ?

1 1 ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 14 ,则 2 2
(12 分)

1 1 28 2 . V ? ? S BEFC ? h ? ?14 ? 2 2 ? 3 3 3
考点:1.线面、面面的垂直关系;2.空间几何体体积.
答案第 5 页,总 33 页

8.(1)详见解析; (2)

4 21 7

【解析】 试题分析:本小题通过立体几何的相关知识,具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平 行关系的判断以及二面角的求法等有关知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力,对 学生的数形结合思想的考查也有涉及, 本题是一道立体几何部分的综合题, 属于中档难度试 题.(1)借助几何体的性质,得到 BC // OD ,借助线面平行的判定定理得到线面平行,进 而利用面面平行的判定定理证明平面 PBC // 平面 ODM ; 利用等体积求解几何体的高, (2) 即为点 A 到平面 PBC 的距离. 试题解析:(1) 证明:

AB为圆O直径 ? ? ? BC ? CD ? DA ? 2 且 AB ? CD , BC ? CD ? DA?

则 CD 平行且等于 BO ,即四边形 OBCD 为平行四边形,所以 BC // OD .

AO ? BO ? ? ? ? OM // PB ? OD // 平面PBC ? AM ? PM ? ?? ? ? 平面ODM // 平面PBC ? OM // 平面PBC ? ?????????????????????????BC // OD ?
(6 分) (2) 由图可知 VP ? ABC ? VA? PBC ,即 ? ? 2 ? 2 3 ? 2 ? 则h ?

1 1 3 2

1 1 ? ? 2? 7 ? h 3 2
(12 分)

4 21 4 21 ,即点 A 到平面 PBC 的距离为 . 7 7

考点: (1)平行关系; (2)点面距. 9. (1)对于线面平行的证明,主要是根据线面平行的判定定理,根据 EF//PA,来得到证明。 (2) VC ? PBD ? VP ? BCD ?

a3 1 S?BCD ? PM= 12 3

【解析】 试题分析:解: (Ⅰ)证明:连接 AC,则 F 是 AC 的中点, E 为 PC 的中点,故在 ? CPA 中,EF//PA, 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,∴EF//平面 PAD (Ⅱ)取 AD 的中点 M,连接 PM,∵PA=PD,∴PM⊥AD,又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PM⊥平面 ABCD. 在直角 ? PAM 中,求得 PM=

a3 1 1 a ,∴ VC ? PBD ? VP ? BCD ? S?BCD ? PM= 12 2 3

考点:空间中线面平行,锥体的体积 点评: 解决的关键是根据线面平行的判定定理来得到证明, 同事能结合等体积法来求解几何 体的体积,是常用的转换方法,属于基础题。 10. (1)根据线面平行的判定定理来得到证明,关键是证明 CE//DF (2)

2 3 a 24
答案第 6 页,总 33 页

【解析】 试题分析: (1)证明:取 PA 中点 F,连 EF,FD ∵E 为 PB 中点 故 EF ∴EF DC

1 AB 2

又 DC

1 AB 2

CEFD 为平行四边形

CE//DF DF ? 平面 PAD,CE ? 平面 PAD ∴CE//平面 PAD 6分 (II) ABCD 为直角梯形,AB=2a,CD=BC= a ∴ AD ?

BC 2 ? ( AB ? DC ) 2 ? a 2 ? a 2 ? 2a

PA=PD H 为 AD 中点故 PH⊥AD 平面 PAD⊥平面 ABCD ∴PH⊥平面 ABCD

AH ?

2 a 2

pH ? PA2 ? AH 2 ? 2 a 4

2 a 2

E 为 PB 中点,故 E 到平面 BCD 距离为

S?BCD ?

1 1 BC ? CD ? a 2 2 2
12 分

1 2 1 1 2 2 3 VE ? BCD ? S?BCD ? a ? ? a2 ? a? a 3 4 3 2 4 24

考点:锥体的体积,线面平行 点评:主要是考查了棱锥中的性质以及体积公式和线面平行的证明。 11. (Ⅰ)根据 SB ? SC , O 为 BC 中点得到 SO ? BC , 连 OA,求得 OA ? SO ? 所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)

2, 得到 OA ? SO ,因为 OA, BC 是平面 ABC 内的两条相交直线,

? . 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明:因为侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,所以 SB ? SC 又 O 为 BC 中点,所以 SO ? BC 连 OA,设 AB=2,由 ?BAC ? 90° 易求得 OA ? SO ? 所以 OA2 ? SO 2 ? SA2 ,所以 OA ? SO 因为 OA, BC 是平面 ABC 内的两条相交直线,所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)分别取 AB、SC、OC 的中点 N、M、H,连 MN、OM、ON、HN、HM,由三角形中位线定理

2,

答案第 7 页,总 33 页

ON ? AC , ON ?

1 1 1 AC , OM ? BS , OM ? BS , HM ? OS , HM ? OS 2 2 2

所以 OM、ON 所成角即为异面直线 BS 与 AC 所成角 设 AB=2,易求得

ON ? OM ? 1, MN ? 3

| cos ?MON |?|

ON 2 ? OM 2 ? MN 2 1 |? 2 ? ON ? OM 2

所以异面直线 BS 与 AC 所成角的大小为

? . 3

考点:本题主要考查立体几何中的垂直关系,角的计算。 点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、 体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法” 。利用几何法,要遵循“一作、二 证、三计算”的步骤。利用向量则能简化证明过程,对计算能力要求高。解答立体几何问题, 另一个重要思想是“转化与化归思想” ,即注意将空间问题转化成平面问题。 12.解: (Ⅰ)见解析; (II)多面体 ABCDE 的体积为 3 . 【解析】本试题主要是考查了线面平行的判定定理和多面体体积的求解的综合运用。 (1)因为取 CE 中点 P,连结 FP、BP,∵F 为 CD 的中点,∴FP//DE,且 FP= 又 AB//DE,且 AB=

1 DE 2

1 DE. ∴AB//FP,且 AB=FP, 2

∴ABPF 为平行四边形, ∴AF//BP,从而利用判定定理得到证明。 (2)根据已知中直角梯形 ABED 的面积和 C 到平面 ABDE 的距离,然后表示出锥体的体积。 解: (Ⅰ)取 CE 中点 P,连结 FP、BP,

答案第 8 页,总 33 页

∵F 为 CD 的中点,∴FP//DE,且 FP= 又 AB//DE,且 AB=

1 DE . 2

1 DE. ∴AB//FP,且 AB=FP, 2

∴ABPF 为平行四边形, ∴AF//BP. 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴AF//平面 BCE. (II)∵直角梯形 ABED 的面积为

1? 2 ?2 ? 3, 2

C 到平面 ABDE 的距离为

3 ?2 ? 3 , 2

∴四棱锥 C-ABDE 的体积为 V ?

1 ? 3 ? 3 ? 3 .即多面体 ABCDE 的体积为 3 . 3

13.Ⅰ)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60°,∴BC= 3 ,AC=2. 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60°,∴CD=2 3 ,AD=4. ∴SABCD=
1 1 1 1 5 AB ? BC ? AC ? CD ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 .?????? 3 分 2 2 2 2 2

1 5 5 则 V= ? 3?2 ? 3. 3 2 3
P

?????? 5 分

E F A M B C D

(Ⅱ)∵PA=CA,F 为 PC 的中点,∴AF⊥PC. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
答案第 9 页,总 33 页

?????? 7 分

∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ??? 11 分∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF. 【解析】略 14.解: (Ⅰ)证明:连接 AC,则 F 是 AC 的中点, E 为 PC 的中点,故在 ? CPA 中,EF//PA, 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,∴EF//平面 PAD (Ⅱ)取 AD 的中点 M,连接 PM,∵PA=PD,∴PM⊥AD,又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PM⊥平面 ABCD.

a3 1 1 在直角 ? PAM 中,求得 PM= a ,∴ VC ? PBD ? VP ? BCD ? S ?BCD ? PM= 12 2 3
【解析】略 15. (Ⅰ)证明:∵ EC // PD, PD ? 平面PDA , EC ? 平面PDA ∴ EC // 平面PDA 同理可证 BC // 平面PDA ∵ EC ? 平面EBC, BC ? 平面EBC, 且EC ? BC ? C ∴ 平面BEC // 平面PDA 又∵ BE ? 平面EBC , ∴ BE // 平面PDA (Ⅱ)解:∵ PD ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD ∴ PD ? BC ∵ BC ? CD , PD ? CD ? D ∴ BC ? 平面PDCE ∵ S梯形PDCE ?

1 1 ( PD ? EC )?DC ? ? 3 ? 2 ? 3 2 2

∴四棱锥 B ? CEPD 的体积

1 1 VB ?CEPD ? ?S梯形PDCE ?BC ? ? 3 ? 2 ? 2 3 3
(Ⅲ)解:∵ BE ? PE ? 5 PD ? 2 3 ∴ S PBE ?

1 ?2 3? 2 ? 6 2

又∵ S ABCD ? 4 , S PDCE ? 3 , S PDA ? 2 , S BCE ? 1 , S PAB ? 2 2 ∴组合体的表面积为 10 ? 2 2 ? 6 【解析】略 16. (2)见证明过程;(3) (1)

1 3
答案第 10 页,总 33 页

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 要证线线垂直只要证明线面垂直,利用题中数据求出底面平行四边形的各边 的长度,找到 ?BAC 及 ?BSC 是等腰三角形,利用等腰三角形中线是高结论找到“线线垂 直”关系(Ⅱ)要找线面平行先找线线平行,要找线线平行先找面面交线,即平面 PAB 与 平面 PAC 交线 PK , 注意到 P, K 为中点的特点,即可导致 PK ∥ SD ,从而推出线面平 行. 试题解析: (Ⅰ)证明:连接 AC, ? ?ABC ? 45 ,AB ? 2,BC ? 2 2 ,
?

由余弦定理得 AC ? 2 ,? AC ? AB

1分

取 BC 中点 G ,连接 SG, AG ,则 AG ? BC .

? SB ? SC,? SG ? BC,? SG ? AG ? G,

? BC ? 面 SAG,? BC ? SA.

4分 5分

(Ⅱ)当 F 为 BC 的中点 G 时, EC / / 面 SAF 证明:取 SA 中点 M ,连接 EM , MG .

? E 为 SD 的中点, 1 1 ? EM / / DA,? CG / / DA,? EM / /CG 2 2 四边形 EMGC 为平行四边形,? EC / / MG . ?

7分 8分

? MG ? 面 SAG, EC ? 面 SAG ,? EC / / 面 SAG ,即 EC / / 面 SAF .

(Ⅲ)? 面 SBC ? 面 ABCD, SG ? 面 SBC ,面 SBC ? 面 ABCD ? BC , SG ? BC ,

1 ? SG ? 面 ABCD ,且 SG ? 1,? E 为 SD 的中点,? E 到面 ABCD 的距离为 . 10 分 2 1 1 1 1 12 分 ?VD ? EAC ? VE ? DAC ? ? ? 2 ? 2 ? ? . 3 2 2 3
考点:线面平行与垂直,及椎体体积公式. 17. (Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 3

答案第 11 页,总 33 页

(Ⅲ)

A1D OF 1 ? ? DA FA 2

【解析】本试题主要考查了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力及计算能力的综合运用。 对于空间中点线面的位置关系的研究和灵活的运用。 (1)中利用线面垂直的性质定理得到 (2)中,分析棱锥的底面积和高度,可以得到体积。 (3)中,结合三垂线定理和中心的位置关系得到结论。 解法一: (Ⅰ)连结 AO,∵A1O⊥面 ABC,AO⊥BC.∴A1A⊥BC. (Ⅱ)由(Ⅰ)得∠A1AO=45° 3分 由底面是边长为 2 3 的正三角形,可知 AO=3 ∴A1O=3,AA1=3 2

V ?4 3

7分

(Ⅲ)过 D 作 DF∥A1O,交 AO 于 F,则 DF⊥平面 ABC. ∴BF 为 BD 在面 ABC 内的射影, 又∵A1C1∥AC,∴要使 BD⊥A1C1,只要 BD⊥AC,即证 BF⊥AC, ∴F 为△ABC 的中心,∴

A1D OF 1 ? ? 12 分 DA FA 2

18 . (Ⅰ) 证 明 : ∵AB = 2 , ∴AE = 1 , ∴BE2 = AB2 + AE2 - 2AB·AE·cos ∠A = 4 + 1 - 2×2×1×cos 60°=3, ∴AE2+BE2=1+3=4=AB2,∴BE⊥AE. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,交线为 AD, ∴BE⊥平面 PAD.

(Ⅱ)证明:取 BC 的中点 G,连接 GE,GF.则 GF∥PB,EG∥AB, 又 GF∩EG=G,∴平面 EFG∥平面 PAB,∴EF∥平面 PAB. 【解析】略 19. (1)∵CD⊥平面 ABC,BE⊥平面 ABC, ∴CD∥BE. ∵CD?平面 ABE, BE?平面 ABE, ∴CD∥平面 ABE. 又 l=平面 ACD∩平面 ABE,∴CD∥l. 又 l?平面 BCDE,CD?平面 BCDE, ∴l∥平面 BCDE.

(2)在△DFE 中,FD= 3 ,FE= 6 ,DE=3.

∴FD⊥FE.

∵CD⊥平面 ABC,∴CD⊥AF, 又 BC⊥AF,CD∩BC=C,∴AF⊥平面 BCDE, ∴AF⊥FD,∵EF∩AF=F, ∴FD⊥平面 AFE. 又 FD?平面 AFD,∴平面 AFD⊥平面 AFE.
答案第 12 页,总 33 页

(3)∵DC⊥平面 ABC,BE⊥平面 ABC,∴DC∥BE ∵AB=AC=2,且∠BAC= ∴S?BEDC=

? 2

∴BC=2 2

1 (DC+BE)×BC=3 2 2
∴VE-BCDE=

由(2)知 AF⊥平面 BCED

1 1 SBEDC AF= ×3 2 × 2 =2. 3 3

【解析】略 20.(Ⅰ)证明:∵AB=2,∴AE=1, ∴BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos ∠A=4+1-2×2×1×cos 60°=3, ∴AE2+BE2=1+3=4=AB2,∴BE⊥AE. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,交线为 AD, ∴BE⊥平面 PAD.

(Ⅱ)证明:取 BC 的中点 G,连接 GE,GF.则 GF∥PB,EG∥AB, 又 GF∩EG=G,∴平面 EFG∥平面 PAB,∴EF∥平面 PAB. (Ⅲ)解:∵AD∥BC,∴AD∥平面 PBC. ∴点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离. 因为平面 PBE⊥平面 PBC. 又平面 PBE∩平面 PBC=PB, 作 EO⊥PB 于 O,则 EO 是 E 到平面 PBC 的距离,
2 2 且 PE= PA ? AE =1,BE= 3 ,∴PB=2.



1 1 EO·PB= PE·EB, 2 2

∴EO=

1? 3 3 = . 2 2

【解析】略 21. (1)略(2)略(3)

2 4

答案第 13 页,总 33 页

【解析】略 22. 略 0 60 【解析】 (1)连 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=600 知△BCD 是等边三角形。∵E 中 CD 中点 ∴BE⊥CD 又 AB∥CD,∴BE⊥AB (2 分) ? 平面 ABCD∴PA⊥BE (4 分) 又∵PA⊥平面 ABCD,BE 而 PA∩AB=A ∴BE⊥平面 PAB 又 BE ? 平面 PBE ∴平面 PBE⊥平面 PAB(6 分) (2) (1) BE⊥平面 PAB ∴BE⊥PB 又 BE⊥AB∴∠PBA 是二面角 A—BE—P 的平面角 (9 由 知 分) 在 RT△PAB 中,tan∠PBA=

PA = 3 AB
0

∴∠PBA=600

(11 分)

故二面角 A—BE—P 的大小是 60 23. (1)平面 PAC ? 平面 ABC ,证明略。

(12 分)

CD

1 5 42 ? ? ? 2 (2) 10 7 96 ? 3 8
【 解 析 】 1 ) 证 明 : ? ?PBD 是 正 三 角 形 , ? PD ? BD ? AD ( ? PA ? PC , PC ? PB ? P , ? PA ? 面 PBC

? PA ? PB , 又 , ? PA ? BC

? ?ACB ? 90 ? , PA ? AC ? A,? BC ? 面 PAC

? BC ? 面 ABC ?面 PAC⊥面 ABC。
(2)设 P、M 到面 ABC 的距离分别是 h p , hm ,? PM ? MB ? hm ? 下面由等体积法求 h p ,?VP ? ABC ? VB ? APC

1 hp 2

BC ? 面 PAC

1 1 ? h p ? S ?ABC ? BC ? S ?APC 3 3
在 Rt?ABC 中 , AB=20 , BC=4 , ? S ?ABC ?

1 ? 4 ? 400 ? 16 ? 2 384 , 又 2


? PB ? 10, PA ? PB

? PA ? 10 3,? PA ? PC,? PC ? 84 ,? S ?PAC ?
? hp ? 5 42 , 4 5 42 8

1 ? 10 3 ? 84 ? 5 3 ? 84 2



? hm ?

S ?BCD ?

1 ? 4 ? 96 2

答案第 14 页,总 33 页

?VM ?BCD ?

1 5 42 ? ? 2 96 ? 10 7 。 3 8

24.(I )只需证平面 APM ∥平面 CQN ; (II)只需证 GH 2 ? VG 2 ? VH 2 。 【解析】 试题分析: (Ⅰ)连接 AC , BD ,设 AC ? BD ? O ,则 VO ⊥平面 ABCD , 连接 AM ,设 AM ? BD ? E ,由 BM : BC ? 1: 3 , ?MEB ~ ?AED , 得 BE : ED ? 1: 3 ∴ E 为 OB 的中点,而 P 为 VB 的中点,故 PE ∥ VO 在 DA 上取一点 N ,使 DN : DA ? 1: 3 , CN ? BD ? F 同理 QF ∥ VO ,于是 PE ∥ QF 在正方形 ABCD 中 AM ∥ CN ,∴平面 APM ∥平面 CQN ,又 CQ ? 平面 CQN ∴ CQ ∥平面 PAM ; ?6 分

(Ⅱ)延长 BA 至 G 使 BA ? AG ,连接 VG ,则 VG ∥ AP 且 VG ? 2 AP 延长 DC 至 H 使 DC ? CH ,连接 VH ,,则 VH ∥ CQ 且 VH ? 2CQ ∴相交直线 VG 与 VH 所成的不大于 90? 的角即为异面直线 AP 与 CQ 所成的角 连接 GH ,在 ?GVH 中, GH ? 2 30, VG ? VH ? 2 AP ? 2CQ ? 2 15 ∴ GH 2 ? VG 2 ? VH 2 ,∴ ?GVH ? 90? ,即 CQ ⊥ AP . ?12 分

考点:线面平行的判断;先线垂直的判断;正四棱锥的结构特征。 点评:①本题主要考查了空间的线面平行,线线垂直的证明,充分考查了学生的逻辑推理能 力,空间想象力,以及识图能力。②我们要熟练掌握正棱柱、直棱柱、正棱锥的结构特征。 正棱柱:底面是正多边形,侧棱垂直底面;直棱柱:侧棱垂直底面;正棱锥:底面是正多边 形,顶点在底面的投影是底面的中心。 25.

答案第 15 页,总 33 页

【解析】略 26. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 1 : 5 或 5 : 1 . 【解析】 试题分析:1. 第(Ⅰ)问有一点难度,需要作辅助线,这几乎是用几何法证明线面平行、 线面垂直的必经之路了,对此考生要有意识.2.第(Ⅱ)问的解决比较简单,并且不依赖于 第(Ⅰ)问,有的考生第(Ⅰ)问没有做出来,但第(Ⅱ)问做出来了,这是一种好的现象, 说明考生能够把会做的做对了. 试题解析: (Ⅰ)证明:设 AC 的中点为 O ,连接 OD1 , BD .

D1 M A1 D A O B

C1

C

根据题意得 AC ? BD ? O , BO // MD1 ,且 BO ? MD1 . ∴四边形 BOD1 M 是平行四边形. ∴ BM // OD1 .

答案第 16 页,总 33 页

∵ BM ? 平面 D1 AC , OD1 ? 平面 D1 AC , ∴ BM // 平面 D1 AC . (Ⅱ)解:∵ VD1 ? ADC ?

1 abc , ? S ? ADC ? D1 D ? 3 6

V ABCD ? A1B1C1D1 ? AD ? DC ? D1 D ? abc ,
∴空间几何体 A1 B1 C1 D1 ABC 的体积 V ? V ABCD ? A1B1C1D1 ? VD1 ? ADC

? abc ?

abc 5abc . ? 6 6

∴ VD1 ? ADC : V ? 1 : 5 或 V : VD1 ? ADC ? 5 : 1 ,即平面 D1 AC 把长方体

A1 B1 C1 D1 ? ABCD 分成的两部分的体积比为 1 : 5 或 5 : 1 .
考点:空间线面位置关系,线面平行,三棱锥体积的求法. 27.①见解析 ②

6 6

【解析】 试题分析: I)要证面面垂直,只要证明线面垂直,只要证明线线垂直:即找到直线 (

CD ? AD, CD ? PM(Ⅱ) VA?CMP ? VC ? AMP ,所以求点面距离转化为等体积方法计算, 因为
容易求出三角形 AMP 的面积与高 CD 的值, 再计算出三角形 CMP 的面积即可 试题解析: (Ⅰ)? PM ? 平面 CDM ,且 CD ? 平面 CDM ,

? PM ? CD , 又 ABCD 是正方形,? CD ? AD ,而梯形 AMPD 中 PM 与 AD 相交,
? CD ? 平面 AMPD ,
又 CD ? 平面 ABCD , 4分 ?平面 ABCD ? 平面 AMPD (Ⅱ)设三棱锥 A ? CMP 的高为 h , 已证 CD ? 平面 AMPD ,又 PM ? 平面CDM ,则 PM ? CM , PM ? DM , 由已知 MA ? AD ? 故 S?AMP

1 PD ? 1 ,得 DM ? 2 , CM ? 3 , PM ? 2 , 2 1 1 ? AM ? AD ? , 2 2
8分

6分

1 1 6 S?CMP ? CM ? PM ? ? 3 ? 2 ? 2 2 2

? VA?CMP ? VC ? AMP

答案第 17 页,总 33 页

1 1 S?CMP ? h ? S?AMP ? CD 3 3 1 ?1 S?AMP ? CD 2 6 ? ? ?h ? S?CMP 6 6 2
则 故三棱锥 A ? CMP 的高为

10 分

12 分

6 6

(其他做法参照给分) 考点:1 线面位置关系;2 垂直的判定与性质;3 等体积法求椎体的高 28. (1)先证 AC ? 平面PBD 【解析】 试题分析:(1)连接 BD ,设 AC ? BD ? O ,连接 PO ,则 PO ? 面ABCD (2)

8 9

? AC ? PO ,?四边形 ABCD 为正方形,? AC ? BD, BD ? PO ? O
? AC ? 平面PBD , BF ? 平面PBD ? AC ? BF
(2)连接 DE 交 AC 于 G 点,连接 FG ,? PE // 平面AACF,? PE // FG

?

DG DF 1 1 ,又 CE ? BC ? AD, BC // AD ? DE DP 2 2 EC GE 1 DG 2 DG 2 ? ? ,? ? ,? ? AD DG 2 DE 3 DP 3

?

过 F 作 FH ? DB, 垂足为 H , 则 FH // OP

?

FH DF 2 2 4 ? ? ,? FH ? OP ? . OP DP 3 3 3 1 1 1 2 4 8 . ?VF ? ACD ? S ?ACD ? FH ? ? ? 2 ? ? 3 3 2 3 9

考点:线线垂直的判定 体积 点评:本题考查证明线面平行、线线垂直的方法,求棱锥的体积,取中点是解题的关键.
答案第 18 页,总 33 页

29. (1)见解析; (2)

2 . 2

【解析】第一问证明几何中线线垂直,利用线面垂直的性质定理得到。由于? EA ? 平面 ABC, BM ? 平面 ABC , ? EA ? BM ?BM ? 平面 ACFE, BM ? EM 在底面圆中 ? 利用圆的性质得到 EM ? MF ,从而得到?EM ? 平面 MBF . 第二问中,通过作辅助线得到二面角的平面角的大小为??FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角.然后借助于直角三角形求解得到结论。 解: (法一) (1)? EA ? 平面 ABC, BM ? 平面 ABC , ? EA ? BM .?????1 分 又? BM ? AC, EA ? AC ? A , ?BM ? 平面 ACFE, 而 EM ? 平面 ACFE, ?BM ? EM . ???????????????3 分

? AC 是圆 O 的直径,??ABC ? 90? .
又??BAC ? 30?, AC ? 4 ,

? AB ? 2 3,BC ? 2, AM ? 3, CM ? 1 .
? EA ? 平面 ABC, FC // EA , FC ? 1 , ? FC ? 平面 ABCD . ? ?EAM 与 ?FCM 都是等腰直角三角形. ??EMA ? ?FMC ? 45? . .??????5 分 ??EMF ? 90? ,即 EM ? MF (也可由勾股定理证得) ? MF ? BM ? M , ?EM ? 平面 MBF . 而 BF ? 平面 MBF , ?EM ? BF . ????????????????????????6 分 (2)延长 EF 交 AC 于 G ,连 BG ,过 C 作 CH ? BG ,连结 FH .
E

F O
?

A

M

C H

G

B 由(1)知 FC ? 平面 ABC , BG ? 平面 ABC , ? FC ? BG . 而 FC ? CH ? C ,? BG ? 平面 FCH . ? FH ? 平面 FCH , ? FH ? BG , ??FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的
答案第 19 页,总 33 页

二面角的平面角.

????????8 分

在 Rt?ABC 中,? ?BAC ? 30? , AC ? 4 ,

? BM ? AB ? sin 30 ? ? 3 .


FC GC 1 ? ? ,得 GC ? 2 . EA GA 3

? BG ? BM 2 ? MG 2 ? 2 3 .
又? ?GCH ~ ?GBM ,

?

GC ? BM 2 ? 3 GC CH ? ? 1. ,则 CH ? ? BG BG BM 2 3

???????11 分

??FCH 是等腰直角三角形, ?FHC ? 45 ? .
?平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为
(法二) (1)同法一,得 AM ? 3,BM ?

2 . 2

???????12 分

3.

????????3 分

如图,以 A 为坐标原点,垂直于 AC . AC . AE 所在的直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标 系. z E

F O
?

A x

M

C y

B

由已知条件得 A(0, 0, 0), M (0, 3, 0), E (0, 0, 3), B( 3, 3, 0), F (0, 4, 1) ,

???? ??? ? ? ME ? (0, ? 3, 3), BF ? (? 3, 1, 1) . ???4 分
由 ME ? BF ? (0, ? 3, 3) ? (? 3, 1, 1) ? 0 , 得 MF ? BF , ? EM ? BF . ?????6 分

???? ??? ?

(2)由(1)知 BE ? (? 3, ? 3, 3), BF ? (? 3, 1, 1) .

??? ?

??? ?

答案第 20 页,总 33 页

设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 由 n ? BE ? 0, n ? BF ? 0, 得 ?

? ??? ?

? ??? ?

?? 3 x ? 3 y ? 3 z ? 0 ?

?? 3 x ? y ? z ? 0 ? ? 令 x ? 3 得 y ? 1, z ? 2 ,? n ? 3, 1, 2 ,



?

?

??????9 分

由已知 EA ? 平面 ABC ,所以取面 ABC 的法向量为 AE ? (0, 0, 3) , 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? , 则 cos ? ? cos ? n, AE ? ?

??? ?

?

?

3 ? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 3 2 ? , ??????????11 分 2 3? 2 2
2 . ????????12 分 2

?平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为
30. (I)证明:连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM 因为 M 为 AF 中点, O 为 AC 中点, 所以 FC // MO , 又因为 MO ? 平面MBD , 所以 FC // 平面MBD ; …………………4 分

(II)因为正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直, 所以 AF ? 平面ABCD 所以 AF ? BD ,又因为 所以 BD ? 平面ACF ,所以 FC ? BD 因为,正方形 ABCD 和矩形 ABEF ,所以 AB ? BC, AB ? BE , 所以 AB ? 平面BCE ,所以 AB ? BN ,又因为

EF // AB ,所以 EF ? BN

又因为 EC ? BN ,所以 BN ? 平面CEF ,所以 BN ? FC , 所以 CF ? 平面BDN 。 …………………12 分

【解析】略 31.解: (1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, PA ? 面 ABCD ,

? PA ∥ EB , PA ? 2EB ? 4 .? PA ? AD, F 为 PD 的中点, PD ? AF ,
又? CD ? DA, CD ? PA ?CD ? AF ? AF ? 面 PCD ??? 6 分

答案第 21 页,总 33 页

(2)有已知可得

PC ? PE ? 2 5 PC ? 4 3 ??? 6 分

1 1 S?PCE ? ?4 3 ?2 2 ? 4 6 , S?PEA ? ?4?4 ? 8 2 2 1 1 由 VC ? PEA ? VA? PEC ,得 ? 8 ? 4 ? ? h ? 4 6 ; 3 3
解得, h ?

8 4 6 ? 3 6

??? 12 分

【解析】略 32.(1)证明: ∵四边形 ACDE 是平行四边形, AE ? 2 , AC ? 4 , ?E ? 60? ,点 B 为 DE 中点 ∴ BE ? BD ?

1 ED ? 2 , DC ? AE ? 2 , ?D ? 120? 2

∴ ?AEB 是等边三角形, ?BCD 是等腰三角形 ∴ ?ABE ? 60?, ?CBD ? 30? ∴ ?ABC ? 90? 即 BC ? AB ……………………………3 分 又∵ A1 A ? 平面ACDE , BC ? 平面ACDE , ∴ BC ? AA1 …………………………………………4 分

AB ? BC ? B ∴ BC ? 平面A1 ABB1 ……………………………….5 分
∴平面 A1 BC ? 平面 A1 ABB1 ………………………………………………6 分 (2)解: 由(1)知 BC ? 平面A1 ABB1 ,∴ ?CA1 B 为 AC 与平面 A1 ABB1 所成的角???7 分 1 ∵ AC ? AA1 ? 4 , A1 A ? AC , ∴ A1C ? 4 2 ?????????9 分

BC 2 ? BD2 ? CD2 ? 2BD? cos120? ? 12 CD
BC ? 2 3
∴ sin ?CA1 B ? ???????????????????11 分

BC 2 3 6 ? ? A1C 4 2 4

??????????????12 分

【解析】略 33. 、证明:? 四边形 ABCD 为正方形, (1)
答案第 22 页,总 33 页

? AD ? CD .
又 ? PD ? 平面ABCD ,
? PD ? CD ,且AD ? PD =D .

? CD ? 平面PAD , 又 ? PA ? 平面PAD ,

? CD ? PA . 又 ? EF // PA , ? EF ? CD .
???6 分 (2)解:连接 AC,DB 相交于 O,连接 OF, 则 OF⊥面 ABCD, ∴ V B ? EFC ? V F ? EBC ?

1 1 1 a a 1 2 S ?EBC ? OF ? ? ? a ? ? ? a . ???12 分 3 3 2 2 2 24

【解析】略 34.(1) 设 G 为 PC 的中点,连接 FG,EG,根据中位线定理得到 FG 平行且等于一半的 CD, AE 平行且等于一半的 CD,进而可得到 AF∥GE,再由线面平行的判定定理可证明 AF∥平面 PCE,得证. (2) 根据 PA=AD=2 可得到 AF⊥PD,再由线面垂直的性质定理可得到 PA⊥CD,然后由 AD⊥CD 结合线面垂直的判定定理得到 CD⊥平面 PAD, 同样得到 GE⊥平面 PCD, 再由面面垂直的判定 定理可得证. (3)

2 2 3

【解析】

试题分析: 解: (1)证明:设 G 为 PC 的中点,连接 FG,EG,∵F 为 PD 的中点,E 为 AB 的中点, ∴FG//=

1 1 CD,AE// CD∴FG//AE,∴AF∥GE∵GE?平面 PEC,∴AF∥平面 PCE; (2)证明: 2 2

∵PA=AD=2,∴AF⊥PD 又∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴PA⊥CD,∵AD⊥CD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD,∵AF?平面 PAD,∴AF⊥CD.∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面 PCD,∴GE⊥平面 PCD,∵GE?平面 PEC,∴平面 PCE⊥平面 PCD; (3)由(2)知,GE⊥平面 PCD,所以 EG 为 四面体 PEFC 的高, GF∥CD, 又 所以 GF⊥PD,EG=AF= 2 , GF=

1 1 CD= 2 S△PCF= PD?GF=2. 得 2 2

四面体 PEFC 的体积 V=

2 2 1 S△PCF?EG= . 3 3

答案第 23 页,总 33 页

考点:线面垂直 点评:本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理.考查对立体几 何中基本定理的掌握程度和灵活运用能力. 35.(1)证明:.取 PA 中点 G,连 FG、EG,可证四边形 AEGF 为平行四边形 ? AF / / EG, 又AF ? 面PEC, EG ? 面PEC

? AF / /面PEC

(2) ? PA ? CD, AD ? CD, PA ? AD ? A ? CD ? 面PAD,? CD ? AF ,? EG / / AF ,? EG ? CD. ?? PAC ?? CBE ,? PE ? CE ,? EG ? PC , 又PC ? CD ? C , ? EG ? 面PCD, 又EG ? 面PEC ,? 面PEC ? 面PCD
【解析】略 36.解: (1)证明:∵ AD ? 平面 ABE , AD // BC , ∴ BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC ----------------3 分 又? BF ? 平面 ACE ,则 AE ? BF ----------------6 分 ? AE ? 平面 BCE (2)由题意可得 G 是 AC 的中点,连接 FG

? BF ? 平面 ACE ,则 CE ? BF , 而 BC ? BE ,? F 是 EC 中点
在 ?AEC 中, FG // AE ,? AE // 平面 BFD 【解析】略 37.

---------9 分 --12 分

答案第 24 页,总 33 页

【解析】略 38. (1)证明:∵ AD ? 平面 ABE , AD // BC , ∴ BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC ----------------3 分 又? BF ? 平面 ACE ,则 AE ? BF ----------------6 分 ? AE ? 平面 BCE (2)由题意可得 G 是 AC 的中点,连接 FG

? BF ? 平面 ACE ,则 CE ? BF , 而 BC ? BE ,? F 是 EC 中点
在 ?AEC 中, FG // AE ,? AE // 平面 BFD 【解析】略

---------9 分

39.(Ⅰ)? PD ? 面ABCD , BC ? 面ABCD

?PD ? BC ????????2 分 ??BCD ? 90? ?BC ? CD ????????4 分 ? PD ?CD ? D
? BC ? 面PCD ??????5 分
答案第 25 页,总 33 页

又PC ? 面PCD

?PC ? BC ????????6 分
(Ⅱ)解:连接 AC

? PD ? 平面ABCD

1 ?V A ?PBC ? ? S ?ABC ? PD ????9 分 3 ? AB ∥ DC , ?BCD ? 90? .
??ABC 为直角三角形且?ABC为直角.

? PD ? DC ? BC ? 2 , AB ? 2DC 1 1 1 1 1 8 ?V A ?PBC ? ? S ?ABC ? PD ? ? ? AB ? BC ? PD ? ? ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 3 2 3 2 3
P

D

C

A

B

【解析】略 40.(1) cos DE , CD1 ? (2) ? ? 2 【解析】略 41.证明如下 【解析】 试题分析: (1)证明:设 AC ? BD=O,因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC . 因为 EO ? 平面 BDE PC ? 平面 BDE 所以 PC ∥平面 BDE . (2)证明:连结 OP
? ?

3 6

答案第 26 页,总 33 页

P

E

D O A B

C

因为 PB ? PD , 所以 OP ? BD . 在菱形 ABCD 中, BD ? AC 因为 OP ? AC ? O 所以 BD ? 平面 PAC 因为 BD ? 平面 BDE 所以平面 PAC ? 平面 BDE . 考点:直线与平面平行的判定定理;平面与平面垂直的判定定理 点评:在立体几何中,常考的定理是:直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定 定理。 42. (I)略; (II) 【解析】 试题分析: (I)可以转化为证线面垂直(如转化为证明 CD ? 平面 B1C1D )(II)可利用 ; 等积法求点面距.设 C1 到平面 B1CD 的距离为 d ,利用 VC ? B1C1D ? VC1 ? B1CD ,列出关于 d 的 方程 ? S?B1C1D ? CD ?

2 3 . 3

1 3

S ? CD 1 ? S?B1CD ? d ,得 d ? ?B1C1D ,进而可求得 d . S?B1CD 3
1?

试题解析: (I)证明:∵ ?A1C1B1 ? ?ACB ? 90? ,∴ B1C1 ? AC1 . 1 又由直三棱柱的性质知 B1C1 ? CC1 , ∴ B1C1 ? 平面 ACC1 A1 . ∴ B1C1 ? CD , 由 D 为 AA1 的中点,可知 DC ? DC1 ? ① 3?

2?

2,
② 4? ③

2 2 2 ∴ DC ? DC1 ? CC1 ,即 CD ? DC1 ,

又 B1C1 ? DC1 ? C1 由①②③可知 CD ? 平面 B1C1D , 5?
答案第 27 页,总 33 页

又 CD ? 平面 B1CD ,故平面 B1CD ? 平面 B1C1D .

6?

(II)设 C1 到平面 B1CD 的距离为 d ,由(I)知 CD⊥平面 B1C1D,

1 1 1 2 8? ? S?B1C1D ? CD ? ? ( ? B1C1 ? C1D ) ? CD ? 3 3 2 3 1 而由 CD ? 2, DB1 ? 6, CD ? DB1 可得 S?B1CD ? ? CD ? B1D ? 3 9? 2
所以 VC ? B1C1D ? 又 VC ? B1C1D ? VC1 ? B1CD ?

1 3 2 ? S?B1CD ? d ? ?d ? 3 3 3

11?

所以 d ?

2 3 3

12?

考点:1、空间面面垂直关系的证明;2、空间点面距. 43.(1) 由三视图可知三棱柱 A1B1C1—ABC 为直三棱柱,底面是等腰直角三角形,从而可知 MO∥B1C,利用线面的平行的判定定理,得到结论。 (2)根据题意,由于 MO∥B1C,同时能结合性质可知平面 A1B1C1⊥平面 AA1B1B,从而利用面 面垂直的性质定理得到。 【解析】 试题分析:(1)由三视图可知三棱柱 A1B1C1—ABC 为直三棱柱,底面是等腰直角三角形,且∠ ACB=90°. 连结 A1C,设 A1C∩AC1=O,连结 MO, 由题意可知,A1O=CO,A1M=B1M, ∴MO∥B1C, 又 MO? 平面 AC1M, B1C?平面 AC1M,∴B1C∥平面 AC1M. (2)∵A1C1=B1C1,M 为 A1B1 的中点, ∴C1M⊥A1B1, 又平面 A1B1C1⊥平面 AA1B1B, 平面 A1B1C1∩平面 AA1B1B=A1B1, ∴C1M⊥平面 AA1B1B, 考点:空间中线面和面面的位置关系 点评:解决的关键是是熟练的运用性质定理和判定定理,来证明,属于基础题。 44.(1)利用面面垂直的判定定理来证明。(2) cos ?CPF ?

5 7 14

【解析】 试题分析: (1)略??????????????????????????6 分 (2)过点 C 作 CF ? AB 于 F,连接 PF。则 AF= 3

2

由(1)知 EB ? 面PAB,则CF ? 面PAB,

则?DPF即为PD与平面PAB所成的角 ??????8 分
答案第 28 页,总 33 页

因为PA ? 2, AF ? 3 ,又CF ? BE ? 3 ,可得PF ? 5 , PC ? 2 2 2 cos ?CPF ? 5 7 ??12 分 14

7 ??10 分

考点:本试题考查了面面垂直和线面角的求解。 点评:对于立体几何中面面垂直的证明,一般可以通过两种方法来得到。几何法,就是面面 垂直的判定定理,或者运用向量法来得到,同理对于角的求解也是这样的两种方法,进而反 而系得到结论。属于中档题。 45.

【解析】略 46. (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接 AC ,找到 AC 与 BD 的 交点 O 为 AC 的中点,利用三角形的中位线平行于底边证明 AP//OM ,最后利用直线与平 面平行的判定定理证明 AP // 平面 MBD ; (2)先证明 AD ? 平面 PBD ,得到 AD ? BD , 再由已知条件证明 BD ? PD , 最终利用直线与平面垂直的判定定理证明 BD ? 平面 PAD . 试题解析: (1)连接 AC 交 BD 于点 O ,连接 OM , 因为底面 ABCD 是平行四边形,所以点 O 为 AC 的中点, 又 M 为 PC 的中点,所以 OM //PA , 4分 因为 OM ? 平面 MBD , AP ? 平面 MBD ,所以 AP // 平面 MBD 6分 P
M D O A B C

(2)因为 PA ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD , 8分 因为 AD ? PB , PD ? PB ? P , PD ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD ,所以 AD ? 平面

PBD , 因为 BD ? 平面 PBD ,所以 AD ? BD , 10 分 因为 PD ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BD ,
答案第 29 页,总 33 页

12 分

又因为 BD ? AD , AD ? PD ? D , AD ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD , 所以 BD ? 平面 PAD 14 分 考点:直线与平面平行、直线与平面垂直 47. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 (Ⅰ)要证线面平行,先找线线平行; (Ⅱ)要证线面垂直,先证线面垂直,于是需 找出图形中的线线垂直关系,以方便于证明纯平面垂直. 试题分析: 试题解析: (Ⅰ)取 PD 中点 G ,连 AG, FG , 因为 F , G 分别为 PC , PD 的中点,所以 FG ? CD ,且 FG ? 又因为 E 为 AB 中点,所以 AE ? CD ,且 AE ?

1 CD . 2

2分 3分 5分

1 CD . 2

所以 AE ? FG , AE ? FG .故四边形 AEFG 为平行四边形. 所以 EF ? AG ,又 EF ? 平面 PAD , AG ? 平面 PAD , 故 EF ? 平面 PAD , (Ⅱ)设 AC ? DE ? H ,由 ?AEH ∽ ?CDH 及 E 为 AB 中点得 又因为 AB ?

7分

AH AE 1 ? ? , CH CD 2

2 , BC ? 1 ,所以 AC ? 3 , AG ?

1 3 . AC ? 3 3

所以

AH AB ? ? AE AC

2 ,又 ?BAC 为公共角,所以 ?HAE ∽ ?BAC . 3
?

所以 ?AHE ? ?ABC ? 90 ,即 DE ? AC . 又 DE ? PA , PA ? AC ? A ,

10 分

所以 DE ? 平面 PAC . 12 分 又 DE ? 平面 PDE ,所以平面 PAC ? 平面 PDE . 14 分 考点:直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定 理. 48. (I)详见解析; (II)三棱锥 P ? ACE 的体积为

2 . 9

【解析】 试题分析: (I)要证线面平行,先构造面外线平行于面内线; (II)求三棱锥的体积关键是 选择适当的底面,以便于求高为标准,为此要先考察线面垂直. 试题解析: 若 F 为 PE 的中点, E 为 PD 上一点,PE ? 2DE , E ,F 都是线段 PD (I) 故 的三等分点. 设 AC 与 BD 的交点为 O ,由于底面 ABCD 为矩形,则 OE 是 ?BDF 的中位线,故有

BF ? OE ,而 OE ? 平面 ACE , BF ? 平面 ACE 内,故 BF ? 平面 ACE .

答案第 30 页,总 33 页

(II)由于侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 ABCD 为矩形,故有 PA ? CD , AD ? CD , PA ? AD ? A ,故 CD ? 平面 PAD ,又因为 AD ? 2 AB ? 2 AP ? 2 , PE ? 2DE ,所以 三 棱 锥 的 体 积 P ? ACE

1 1 2 1 2 1 2 VP ? ACE ? VC ? PAE ? S?PAE ? CD ? ( S?PAD ) ? AB ? ? ? ?1? 2 ?1 ? . 3 3 3 3 3 2 9
考点:直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、三棱锥的体积公式. 49.证明:取 BC 中点 M,连结 FM, C1 M .在△ABC 中,因为 F,M 分别为 BA,BC 的中点, 所以 FM ∥
1 AC.因为 E 为 AC1 的中点,AC ∥ AC1 ,所以 FM ∥ EC1 .从而四边形 EFMC1 1 1 2

为平行四边形,所以 EF ∥C1M .所以 EF∥平面 BB1C1C . (2) 在平面 AAC1C 内,作 1

O 因为∠ A1 AC ? 600 , 所以 AO ? A1O ? AC , 为垂足。

1 1 从而 O 为 AC 的中点. 所 AA1 ? AC , 2 2

以 OC ∥ A 1 E ,因而 EC ∥ A1O .因为侧面 AA 1C1C ⊥底面 ABC,交线为 AC, A1O ? AC ,所 以 A1O ? 底面 ABC.所以 EC ? 底面 ABC.又因为 EC ? 平面 EFC, 所以平面 CEF⊥平面 ABC. 【解析】 试题分析:证明: (1)取 BC 中点 M,连结 FM, C1 M . 在△ABC 中,因为 F,M 分别为 BA,BC 的中点, 所以 FM ∥
1 AC. 2

????????????2 分

因为 E 为 AC1 的中点,AC ∥ AC1 ,所以 FM ∥ EC1 . 1 1 从而四边形 EFMC1 为平行四边形,所以 EF ∥C1M .????????4 分 又因为 C1M ? 平面 BB1C1C , EF ? 平面 BB1C1C , 所以 EF∥平面 BB1C1C .???????6 分 (2) 在平面 AAC1C 内,作 A1O ? AC ,O 为垂足. 1 因为∠ A1 AC ? 600 ,所以 AO ? 从而 O 为 AC 的中点.??8 分 所 以
O ∥ C1 A , E 因

A1

E B1

C1

1 1 AA1 ? AC , 2 2

A F

O M B

C



E ∥ C . 1

A ???????10 分 O

因为侧面 AA 1C1C ⊥底面 ABC,交线为 AC, A1O ? AC ,所以 A1O ? 底面 ABC. 所以 EC ? 底面 ABC. ????????????????12 分
答案第 31 页,总 33 页

又因为 EC ? 平面 EFC,所以平面 CEF⊥平面 ABC.??????14 分 考点:本题考查了空间中的线面关系 点评:证明立体几何问题常常利用几何方法,通过证明或找到线面之间的关系,依据判定定 理或性质进行证明求解 50.(1)详见解析; (2) VM ? ABCD ? 1 . 【解析】 试题分析:(1)只要证 AD 与平面 PQB 内的两条直线相交垂直即可,如 AD 与 PQ , BQ 都 垂 直 ; (2) 先 作 求 出 四 棱 锥 M ? A B C D 高 , 再 利 用 四 棱 锥 体 积 公 式 求 四 棱 锥 的 的体积. M ? ABCD 试题解析: (1)? PA ? PD , Q 为中点,? AD ? PQ 连 DB ,在 ?ADB 中, AD ? AB , ?BAD ? 60? , 1分

??ABD 为等边三角形, Q 为 AD 的中点,
? AD ? BQ , PQ ? BQ ? Q , PQ ? 平面 PQB , BQ ? 平面 PQB ,
(三个条件少写一个不得该步骤分) 3分 4分 5分 2分

? AD ? 平面 PQB .
(2)连接 QC ,作 MH ? QC 于 H .

P M C H B

D Q A

? PQ ? AD , PQ ? 平面 PAD ,
平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 平面 PAD ? 平面 ABCD, 6分

? PQ ? 平面ABCD ,
QC ? 平面ABCD ,

7分

答案第 32 页,总 33 页

? PQ ? QC ? PQ / / MH .

8分 9分 10 分

? MH ? 平面ABCD ,
又 PM ? 1 PC ,? MH ? 2

1 1 3 3 . PQ ? ? ?2 ? 2 2 2 2

11 分

在菱形 ABCD 中, BD ? 2 , 方法一: S?ABD ?

1 3 1 = 3, ? AB ? AD ? sin 600 = ? 2 ? 2 ? 2 2 2

12 分

? S菱形ABCD ? 2S?ABD ? 2 3 .
1 3 1 VM ? ABCD ? ? S菱形ABCD ? MH ? ? 2 3 ? ?1. 3 2 3
方法二: AC ?

13 分

14 分

AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 cos1200
12 分

? 1? = 4+4 ? 8 ? ? ? ? ? 2 3 , ? 2?
1 1 ? S菱形ABCD ? ? AC ? BD ? ? 2 3 ? 2 ? 2 3 , 2 2

13 分

VM ? ABCD
1 ? ? S菱形ABCD ? MH 3
1 3 ? ?2 3? ?1 3 2
14 分

考点:1、空间线面垂直关系的证明;2、空间几何体体积的计算.

答案第 33 页,总 33 页


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