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人教版高中数学必修二圆的标准方程教学设计

时间:2016-12-05


4.1.1 圆的标准方程
教学目标: (1) 掌 握 圆 的 标 准 方 程 , 会 由 标 准 方 程 得 出 圆 心 与 半 径 , 能 根 据 圆 心、半径写出圆的标准方程. (2) 会 用 待 定 系 数 法 与 数 形 结 合 法 求 圆 的 标 准 方 程 . (3) 培 养 学 生 用 解 析 法 研 究 几 何 问 题 的 能 力 , 渗 透 数 形 结

合 思 想 , (4) 在 探 索 圆 的 知 识 与 特 点 时 感 受 数 学 中 的 对 称 美 与 和 谐 美 . 教学重点:圆的标准方程的得出与应用. 教学难点:根据不同的已知条件,求圆的标准方程 教学方法: 启发、引导、讨论. 教学过程: 一、新课引入 1. 引 入 语 : 通 过 上 一 章 的 学 习 ,我 们 知 道 直 线 这 一 平 面 图 形 可 以 由 一 个 代 数 中 的 二 元 一 次 方 程 来 表 示 ,称 此 方 程 为 直 线 的 方 程 。从 而 ,通 过 方 程 利 用 代 数 的 方 法 研 究 了 直 线 的 性 质 与 特 点 。事 实 上 ,这 种 方 法 是 解 析 几 何 解 决问题的基本方法, 我们还可以采用它研究其他的一些平面图形, 比如: 圆。 在 直 角 坐 标 系 中 ,两 点 确 定 一 条 直 线 ,或 者 一 点 和 倾 斜 角 也 能 确 定 一 条 直 线 。圆 作 为 平 面 几 何 中 的 基 本 图 形 ,确 定 它 的 要 素 又 是 什 么 呢 ? (圆心,半径。圆心决定位置,半径决定大小) 那 么 我 们 能 否 在 圆 心 与 半 径 确 定 的 条 件 下 ,找 到 一 个 方 程 与 圆 对 应 呢?这就是我们这节课的主要任务。(书写标题) 回 顾 直 线 方 程 得 出 的 过 程 : 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P(x,y), 找 到 该 点 的横纵坐标满足的一个关系式,通过验证,称此方程为直线的方程。 类似的,我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。 二、讲授新课 确 定 圆 的 基 本 条 件 为 圆 心 和 半 径 , 设 圆 的 圆 心 坐 标 为 A(a, b) , 半 径 为 r ( 其 中 a 、 b 、 r 都 是 常 数 , r ? 0 ).设 M ( x, y) 为 这 个 圆 上 任 意 一 点 ,

那 么 点 M 满 足 的 条 件 是( 引 导 学 生 自 己 列 出 ) P ? {M MA ? r} , 由 两 点 间 的 距 离 公 式 让 学 生 写 出 点 M 适 合 的 条 件 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r ① 引 导 学 生 自 己 证 明 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 为 圆 的 方 程 , 得 出 结 论 . 1. 若 点 M ( x0 , y0 ) 在 圆 上 , 由上述讨论可知, 点 M 的坐标适用方程①. 2. 若 ( x0 , y0 ) 是 方 程 ① 的 一 组 解 , 则 以 这 组 解 为 坐 标 的 点 M ( x0 , y0 ) 到圆心 A 的距离为 r ,即点 M 在圆心为 A 的圆上. 故 方 程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 为 圆 的 一 个 方 程 。 方 程 ① 可 等 价 变 为 :( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ② 方 程 ② 形 式 较 ① 式 更 为 和谐美观。 方 程 ② 也 是 圆 心 为 A(a, b) , 半 径 为 r 的 圆 的 方 程 ,我 们 把 它 叫 做 圆 的 标准方程. 特 别 地 ,若 圆 心 为 O( 0, 0) , 则 圆 的 标 准 方 程 为 : x2 ? y2 ? r 2 练 习 1 (口 答 ) 、 求 圆 的 圆 心 及 半 径 (1) 、 x 2 ? y 2 ? 4 练 习 2、 写 出 下 列 圆 的 方 程 ( 1) 、 圆 心 在 原 点 , 半 径 为 3; ( 2 ) 、 圆 心 在 (-3 、 4), 半 径 为 5 三、例题解析 例 1 已 知 两 点 A(4,9) 、 B(6,3) , 求 以 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 (2) 、 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

x2 ? y2 ? 9 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 5

并判断点M1 (8,7), M 2 (3,5)是否在这个圆上?
分析:可以从计算圆心与半径. 解 : 解 : 圆 心 C ( 5 , 6 ) 半 径 r= 10 所 求 的 圆 的 标 准 方 程 是 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 10 把 点 M 1 (8,7) 的 坐 标 代 入 方 程 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 10,左 右 两 边 相 等 ,点 M 1 的 坐 标 适 合 圆 的 方 程 , 所 以 点 M 1 在 这 个 圆 上 ; 把 点 M 2 (3,5) 的 坐 标 代 入 方 程 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 10,左 右 两 边 不 相 等 ,点 M 2 的 坐 标 不 适 合 圆 的 方 程,所以点 M2 不在这个圆上.

2 探 究 : 点 M ( x0 , y0 ) 在 圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b) ? r2的 内 部 的 条 件 是 什 么 ? 在

圆的外部呢?
2 点 M ( x0 , y0 ) 与 圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b) ? r2的 位 置 关 系 的 判 断 方 法 :

( 1 ) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 点 在 圆 外 ( 2 ) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 点 在 圆 上 ( 3 ) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 点 在 圆 内 练 习 3. 已 知 圆 O 的 标 准 方 程 为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 判 断 A(0,3); B(-3,2);C(2,1) 与 圆 O 的 位 置 关 系 。 (A 点 在 圆 内 , B 点 在 圆 上 , C 点 在 圆 外 ) 例 2 : ?ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8) , 求 它 的 外 接 圆的方程.
2 分 析 :外 接 圆 过 三 角 形 的 三 个 顶 点 ,从 圆 的 方 程 ( x ? a)2 ? ( y ? b) ? r2

可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定 a 、 b 、 r 三个参数. 解 : 设 所 求 圆 的 方 程 是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . ① 因 为 A( 5, 1) B 在圆上,所以它们的坐标都满足方程 , ( 7, ? 3) C, ? ( 2,都 8) ①.于是

解 此 方 程 组 , 得 a=2, b=-3, r=5 所 以 ?ABC 的 外 接 圆 的 方 程 是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 解 法 二 :分 析 :圆 心 为 弦 AB 的 中 垂 线 与 弦 AC 的 中 垂 线 的 交 点 。半 径 为 圆 心 到 A,B,C 三 点 中 任 一 点 的 距 离 设 外 接 圆 圆 心 为 O, 半 径 为 r 弦 AB 的 中 点 为 ( 6,1 ) , 所 在 直 线 的 斜 率 为 : -2 则 , 弦 AB 的 中 垂 线 方 程 为 : y ? 1 ? 弦 AB 的 中 点 为 (
1 ( x ? 6) 即 x ? 2 y ? 8 ? 0 2

7 7 ,? ) , 所 在 直 线 的 斜 率 为 : 3 2 2

则 , 弦 AB 的 中 垂 线 方 程 为 : y ?

7 1 7 ? ? ( x ? ) 即 2 x ? 6 y ? 14 ? 0 2 3 2

? x ? 2y ? 8 ? 0 联立 ? ?2 x ? 6 y ? 14 ? 0

? x?2 解得 ? ? y ? ?3

则 , 外 接 圆 圆 心 坐 标 为 ( 2 , -3 ) 半 径 r=|OA|=5 所 以 ?ABC 的 外 接 圆 圆 O 的 方 程 是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 练 习 4、 已 知 △ ABO 的 顶 点 坐 标 分 别 为 A(8,0);B(0,6);O(0,0), 求 △ ABO 外 接 圆 的 方 程 .

( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25
总 结 归 纳 :( 教 师 启 发 ,学 生 自 己 比 较 、归 纳 )比 较 例 2 的 两 种 解 法,可得出圆的标准方程的两种求法: ① 待 定 系 数 法 :根 据 题 设 条 件 ,列 出 关 于 a 、 b 、 r 的 方 程 组 ,解 方 程组得到 a 、 b 、 r 得值,写出圆的标准方程. ② 数 形 结 合 法 :确 定 圆 的 要 素 ,圆 心 坐 标 和 半 径 大 小 ,然 后 再 写 出 圆的标准方程. 四、课堂小结 (1) 、 牢 记 : 圆 的 标 准 方 程 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 。 (2) 、 明 确 : 三 个 条 件 a 、 b 、 r 确 定 一 个 圆 。 (3) 、 方 法 : ① 待 定 系 数 法 ②数形结合法 五、课后作业 P120,练习 1,2,3,4 P124 习题 1,2,3


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