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2014高考数学一轮复习课件2.9函数模型及其应用


第九节

函数模型及其应用

1.三种函数模型之间增长速度的比较
函 数 性质 在(0,+ ∞) 上的增减 性 增长速度

y=ax(a>1)

y=logax(a>1) y=xn(n>0)

单调递增 ________________

_____

_______

单调递增

单调递增 ___________

越来越快 越来越慢 相对平稳 logax<xn<ax 大小比较 存在一个x0,当x>x0时,有______________

2.常见的几种函数模型

(1)指数函数模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,a≠0)型.
(2)对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型. (3)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型. (4)分段函数模型.

1 .函数 y = x2 与 y = 2x 在 (0 ,+ ∞ ) 上函数值是如何变化

的?
【提示】 当x∈(0,2)时,2x>x2,当x∈(2,4)时,x2

>2x,当x∈(4,+∞)时,2x>x2. 2.直线上升、指数增长、对数增长各有什么特点? 【提示】 直线上升,匀速增长;指数增长,先慢后

快,其增长量成倍增加,可用 “ 指数爆炸 ” 形容;对数增 长;先快后慢,其增长速度缓慢.

1.(人教A版教材习题改编)一根蜡烛长20 cm,点燃后 每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的 函数关系用图象表示为图中的( )

【解析】

由题意知h=20-5t,故选B.

【答案】

B

2.拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=0.5×[m]

+1(单位:元),其中 m>0,[m]表示不大于 m的最大整数(如
[3.62] = 3, [4] = 4) ,当 m∈[0.5, 3.2] 时,函数 f(m) 的值域是 ( ) A.{1,2,3,4} C.{1,1.5,2.5,3} B.{1,1.5,2,2.5} D.{1.5,2,2.5}

【解析】

当 m∈[0.5 , 3.2] 时, [m] 所有可能值为 0 ,

1,2,3共四个,故f(m)的值域为{1,1.5,2,2.5}. 【答案】 B

3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某 1 2 企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)= x + 2 2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该 企业一个月应生产该商品数量为( ) A.36万件 B.18万件 C.22万件 D.9万件

1 【解析】 利润L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142, 2 当x=18时,L(x)有最大值.
【答案】 B

4 . (2013· 揭阳调研 ) 里氏震级 M 的计算公式为: M = lg

A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0
是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中.测震仪记录 的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次 地震的震级为________级,9级地震的最大振幅是5级地震最 大振幅的________倍.

【解析】 由题意,假设在一次地震中,测震仪记录 的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001, 则 M= lg A- lg A0= lg 1 000- lg 0.001= 3-(-3)= 6. 设 9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y, 9= lg x+ 3, 5=lg y+ 3,解得x= 106,y= 102. x 106 所以 = 2= 10 000. y 10

【答案】

6

10 000

(2013· 韶关模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政 府的一项政策,提高了西部的经济和社会发展水 平.西部山区的某种特产由于运输原因,长期只能在 当地销售,当地政府对该项特产的销售投资收益为: 1 每年投入 x万元,可获得利润P=- (x-40)2+100万 160 元.

当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发 展此特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每 年都投入60万元的销售投资,在未来10年的前5年中,每年 都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,5年修成,通 车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产 既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益 159 119 2 为:每年投入x万元,可获利润Q=- (60-x) + (60 160 2 -x)万元.问从10年的总利润看,该规划方案是否具有实 施价值?

【审题视点】

计算实施规划前后10年总利润,通过比

较可知该规划方案是否具有实施价值.
1 【尝试解答】 在实施规划前,由题设P=- (x- 160 40)2+100(万元)知,每年只需投入40万,即可获得最大利润 100万元. 则 10年的总利润为 W1=100× 10= 1 000(万元 ). 实施规划后的前5年中,修建公路的费用为30× 5= 150(万元), 1 又由题设P=- (x-40)2+ 100知,每年投入30万元 160 795 时,利润P= (万元 ). 8

795 2 775 前 5年的利润和为 × 5- 150= (万元 ). 8 8 设在公路通车的后 5年中,每年用 x万元投资于本地的 销售,而用剩下的 (60- x)万元投资于外地的销售,则其总 利润为 1 159 2 119 2 W2= [- (x- 40) + 100]× 5+(- x + x)× 5 160 160 2 =- 5(x- 30)2+ 4 950. 当 x= 30时,(W2)max= 4 950(万元). 2 775 从而 10年的总利润为 + 4 950(万元 ). 8 2 775 ∵ + 4 950> 1 000, 8 故该规划方案有极大实施价值.

1. 本题在求规划实施前最大利润时,易忽视二次函数
的特性,直接把x=60代入求解,造成错误答案. 2.(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性 解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错.(2) 解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.

某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产 品的利润与投资成正比,其关系如图 2 - 9 - 1(1) ; B 产品的

利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2-9-
1(2)(注:利润和投资单位:万元).

(1) 分别将 A、 B两种产品的利润表示为投资的函数关系

式;
(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A, B两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使 该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?

【解】 (1)设 A、B两种产品分别投资x万元 (x≥0),所 获利润分别为 f(x)、g(x)万元. 由题意可设f(x)= k1x, g(x)= k2 x, ∴根据图象解得 f(x)= 0.25x(x≥ 0), g(x)= 2 x(x≥0). (2)① 由(1)得 f(9)=2.25, g(9)= 2 9= 6, ∴总利润 y= 8.25(万元 ). ②设 B产品投入x万元, A产品投入(18- x)万元,该企 业可获总利润为 y万元, 1 则 y= (18- x)+ 2 x, 0≤ x≤ 18. 4 令 x= t, t∈ [0, 3 2],

1 1 34 2 2 则y= (-t +8t+18)=- (t-4) + . 4 4 4 34 ∴当t=4时,ymax= =8.5,此时x=16,18-x=2. 4 ∴当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该 企业获得最大利润8.5万元.

已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分 钟)的变化规律是:θ=m·2t+21-t(t≥0,并且m>0).

(1) 如果 m = 2 ,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏
度; (2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围. 【思路点拨】 (1)解关于2t的一元二次方程求解.

(2)转化为恒成立问题求解.

【尝试解答】 1 ), 2t

(1)若m=2,则θ=2· 2t+21 t=2(2t+


1 5 当θ=5时,2 + t= , 2 2 1 5 t 令2 =x(x≥1),则x+ = ,即2x2-5x+2=0, x 2 1 解得x=2或x= (舍去),此时t=1. 2 所以经过1分钟,物体的温度为5摄氏度.
t

(2)物体的温度总不低于 2摄氏度,即 θ≥ 2恒成立, 2 1 1 t 亦m· 2 + t≥2恒成立,亦即 m≥ 2( t- 2t)恒成立. 2 2 2 1 令 t= x,则0< x≤ 1, 2 ∴m≥ 2(x-x2), 1 2 1 由于 x-x ≤ ,∴m≥ 4 2 因此, 当物体的温度总不低于 2摄氏度时, m的取值 1 范围是 [ ,+∞). 2

1. 解答本题的关键是把所求解问题转化为一元二次方
程或二次函数问题求解. 2.(1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在 实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可 以利用指数函数模型来表示.(2)应用指数函数模型时,先设

定模型将有关已知数据代入计算验证,确定参数.

(2013· 广州模拟)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐 一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的 一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至 1 少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原 4 2 来的 2 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

【解】

(1)设每年降低的百分比为x(0< x< 1). 1 1 10 10 则 a(1- x) = a,即(1- x) = . 2 2 1 1 解得 x= 1-( )10. 2 2 (2)设经过 m年剩余面积为原来的 , 2 2 m 则 a(1- x) = a, 2 1 m 11 m 1 ∴ ( )10= ( )2, = ,解得 m= 5. 2 2 10 2 故到今年为止,已砍伐了 5年. (3)设从今年开始,以后砍了 n年,

2 则 n年后剩余面积为 a(1-x)n. 2 2 2 n 1 n 令 a(1-x) ≥ a,即(1- x) ≥ , 2 4 4 1 n 13 n 3 ( )10≥( )2, ≤ ,解得n≤ 15. 2 2 10 2 故今后最多还能砍伐15年 .

(2013· 梅州模拟 ) 提高过江大桥的车辆通行能力可改 善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当

桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速
度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/ 小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的 一次函数.

(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;

(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上
某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最 大,并求出最大值.(精确到1辆/小时) 【思路点拨】 (1) 当 20≤x≤200 时,运用待定系数法求

v(x)的解析式,进而确定当0≤x≤200时,分段函数v(x).(2)根

据(1)求出f(x),根据函数的单调性与基本不等式求最值.

【尝试解答】 60;

(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=

当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b. 1 ? ? ?a=-3, ?200a+b=0, 再由已知得? 解得? ? ?20a+b=60. ?b=200. 3 ? 故函数v(x)的表达式为 60, 0≤x≤20, ? ? v(x)=?1 ×(200-x), 20<x≤200. ? 3 ?

(2)依题意并由 (1)可得f(x)= ?60x, 0≤x≤ 20, ? ?x ( 200- x), 20< x≤ 200. ? ?3 当 0≤ x≤ 20时,f(x)为增函数. 故当 x= 20时,其最大值为60× 20= 1 200. 当 20< x≤ 200时, 1 1 x+(200- x) 2 10 000 f(x)= x(200- x)≤ [ ]= . 3 3 2 3 当且仅当 x= 200- x,即 x= 100时,等号成立. 所以,当 x= 100时,f(x)在区间 (20, 200]上取得最大值 10 000 . 3

综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10 000 ≈3 333. 3 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为3 333辆/小时.

1 . 理解题意,由待定系数法,准确求出 v(x) ,是求解
本题的关键.要注意分段函数各段变量的取值范围,特别是 端点值. 2 . 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式 给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程

之间的关系,应构建分段函数模型求解.

为了预防甲型H1N1 流感,某学校对教室用药 熏消毒法进行消毒.已知 药物释放过程中,室内每 立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t(小时)成正 1 t-a 比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=( ) (a 16 为常数),如图2-9-2所示.根据图中提供的信息,回答 下列问题:

(1) 从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量 y( 毫

克)与时间t(小时)之间的函数关系式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克 以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要 经过多少个小时后,学生才能回到教室?

【解】 (1)从图中可以看出线段的端点分别为(0, 0),(0.1,1). 所以在0≤t≤0.1时,表达式y=10t. 1 t-a 点(0.1,1)也在y=( ) 上,故a=0.1. 16 1 t-0.1 t≥0.1时,y=( ) . 16 1 ? ?10t,0≤t≤10, ∴函数的解析式为y=? ? ( 1 ) t- 1 , t> 1 . 10 10 ? 16

(2)依题意,学生进入教室,则有y<0.25, 1 t-0.1 1 1 2t-0.2 1 ∴( ) < 即( ) < , 16 4 4 4 1x 又y=( ) 是减函数, 4 ∴2t-0.2>1,∴t>0.6. 因此至少要经过0.6个小时后,学生才能回到教室.

特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数 的定义域.

解决实际应用题的一般步骤 (1) 审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中 的数量关系,把握其中的数学本质; (2) 建 模 : 由 题 设中 的数量关系 ,建立相应的数学 模

型,将实际问题转化为数学问题;
(3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题;

(4) 还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出
结论.

从近两年高考试题看,对函数的实际应用问题的考查, 更多地以社会实际生活为背景,设问新颖,灵活;题型以解

答题为主,难度中等偏上,常与基本不等式、导数等知识交
汇,考查学生分析问题、解决问题的能力.

规范解答之二

函数建模在实际问题中的应用)

(14分)(2012· 江苏高考)如图2-9-3,建

立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地 平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发 1 射后的轨迹在方程y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上, 20 其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐 标.

(1)求炮的最大射程.

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度
为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中 它?请说明理由.
1 【规范解答】 (1)令y=0,得kx- (1+k2)x2=0,由 20 实际意义和题设条件知 x>0,k>0,·········3分 20k 20 20 故x= = ≤ =10,当且仅当 k=1时取等 1 2 1+k2 k+ k 号. 所以炮的最大射程为 10千米. ·········6分

(2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2 1 = ka- (1+ k2)a2 成立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 20 ∴关于 k 的方程 a2k2- 20ak+ a2+ 64=0 有正根 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0? a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标.· · · · ·14 分

【解题程序】

第一步:根据题意建立方程,确定x、k

的范围;
第二步:建立炮的射程的函数模型,并求最大值; 第三步:把所求问题转化为方程有解问题; 第四步:把方程有解问题转化为一元二次方程有正根问 题; 第五步:列不等式求解,用数学结果回答实际问题.

易错提示:(1)未读懂题意,不能建立x与k的函数关系. (2)不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有 正根问题. (3)不能正确列不等式求解. 防范措施: (1) 求解函数实际问题,审题是关键,要弄

清相关“名词”准确寻求各量之间的关系.
(2) 在求解过程中应分清变量之间的辨证关系,结合所 求,合理转化.

(3)根据一元二次方程列不等式(组)时,首先判断两根之

和与两根之积的正负,根据它们的正负确定如何列不等式
(组 ).

1 . (2013· 茂 名 质 检 ) 某 市 原 来 居 民 用 电 价 为 0.52 元 /kw· h,换装分时电表后,峰时段(早上8点到晚上9点)的电价 0.55 元 /kw· h,谷时段(晚上9点到次日早上8点)的电价为 0.35/kw· h,对于一个平均每月用电量为200 kw· h的家庭,换 装分时电表后,每月节省的电费不少于原来电费的10%,则

这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为(
A.110 kw· h B.114 kw· h

)

C.118 kw· h

D.120 kw·h

【解析】 得x≤118. 【答案】

设在峰时段的平均用电量为x kw· h,由题意

知 0.52×200 - [0.55x + 0.35(200 - x)]≥0.52×200×10% , 解

C

2.(2013·江门模拟)小孟进了一批水果,如果他以每斤

1.2元的价格出售,那他就会赔4元;如果他以每斤1.5元的价
格出售,一共可赚 8元,现在小孟想将这批水果尽快出手, 以不赔不赚的价格卖出,那么每千克水果应定价为( A.2.6元 C.2.8元 B.2.2元 D.1.3元 )

【解析】

设水果的成本价为 x 元/斤,共有 a 斤,由 x=1.3,

?( x- 1.2) a= 4, ? 题意知? 解得 ? ?( 1.5- x) a= 8,

则每千克水果应定价 2.6 元.

【答案】

A

课后作业(十三)


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