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第4部分 第4讲

时间:2014-07-26


第四部分

第四讲

时间:40 分钟,满分:55 分 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将唯一正确答案的代号填在 题后的括号中. 1.(2010· 山东卷)已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函 1 数关系为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3 A. 13 万件 C.9 万件 B.11 万件 D.7 万件 )

解析 选 C.y′=-x2+81,令 y′=0,得 x=9(-9 舍去). 当 0<x<9 时,y′>0,当 x>9 时,y′<0, 所以当 x=9 时,y 取最大值. 2.用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个 大小相同的小正方形,然后把四边翻转 90° 角, 再焊接而成(如图),当容器容积最大时,该 容器的高为( )

A.8cm C.10cm

B.9cm D.12cm

解析 选 C.设容器的高为 xcm,容器的容积为 Vcm3, 则 V(x)=(90-2x)(48-2x)x=4x3-276x2+4320x(0<x<24). 因为 V′(x)=12x2-552x+4320,由 2x2-552x+4320=0 得 x=10 或 x=36(舍). 因为当 0<x<10 时,V′(x)>0,当 10<x<24 时,V′(x)<0, 所以当 x=10 时,V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值, 所以容器高 x=10 时,容器容积 V(x)最大,故选 C. 3.某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间定价为每天 180 元时,房间会全部住 满;房间单价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆每间每天需 花费 20 元的各种维护费用.要想宾馆利润最大,每间房的定价应为每天( A. 170 元 C.350 元 B.300 元 D.400 元 )

解析 选 C.设房间定价增加 x 个 10 元,则 y=(180+10x-20)(50-x),

y′=-20x+340,令 y′=0,得 x=17, 故房间定价为 180+17×10=350 元. 4.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 已知总收益 R 与产量 x 的关系是 1 ? ?400x-2x2, 0≤x≤400, R=R(x)=? ? ?80000, x>400, 则总利润最大时,每年生产的产品是( A. 100 C.200 ) B.150 D.300

解析 选 D.因为当产量为 x 时,成本为 20000+100x, 1 ? ?-2x2+300x-20000,0≤x≤400, 所以利润 W(x)=? ? ?60000-100x, x>400,
? ?-x+300,0≤x≤400, 于是 W′=? , ?-100, x>400, ?

令 W′=0,得 x=300. 二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,请将答案填写在题中的横线上. 5.做一个容积为 256 dm3 的方底无盖水箱,它的高为______dm 时最省料. 解析 填 4. 设高为 x,底面边长为 a,则 a2x=256,全面积 256 L(x)=a2+4ax= +4 x 256 1 L′(x)=- 2 +32x- , x 2 令 L′(x)=0,得 x=4.故所求高为 4. 6.路灯距地面为 6m,一个身高为 1.6m 的人以 1.2m/s 的速度从路灯的正底下,沿某直 线离 开路灯,那 么人影长 度 S(m) 与人 从路灯的正底 下离开路灯 的时 间 t(s) 的 关系为 __________,人影长度的变化速度 v 为__________(m/s). 24 24 S 1.6 24 解析 填 S= t;v=S′= .由三角形相似得 = ,化简得 S= t,v=S′= 55 55 55 S+1.2t 6 24 . 55 三、解答题:本大题共 2 小题,第 7、8 题分别为 12 分、13 分,共 25 分,解答应写出 文字说明和推演步骤. 7.某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月 256 256 · x= +64 x, x x

平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果 表明,如果产品的销售价提高的百分率为 x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为 x2. 记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元). (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 解析 (1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x),
2

月平均销售量为 a(1-x )件, 则月平均利润 y=a(1-x )· [20(1+x)-15](元),
2

y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1). (2)由 y′=5a(4-2x-12x )=0,
2

1 2 得 x1= ,x2=- (舍), 2 3 1 当 0<x< 时,y′>0,y 单调递增; 2 1 当 <x<1 时,y′<0,y 单调递减. 2 1 2 3 所以函数 y=5a(1+4x-x -4x )(0<x<1)在 x= 取得最大值. 2 1? 故改进工艺后,产品的销售价为 20? ?1+2?=30 元时,旅游部门销售该纪念品的月平均 利润最大. 8. (2013· 重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面 半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成 本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解析 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh 元, 底面的总成本为 160πr2 元,

所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元, 1 又据题意 200πrh+160πr2=12000π,所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 因为 r>0,又由 h>0,可得 r<5 3,于是函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π π (2)因为 V(r)= (300r-4r3),所以 V′(r)= (300r-12r2).令 V′(R)=0, 5 5 得 r1=5,r2=-5(因 r2=-5 不在定义域内,舍去).

当 r∈(0,5)时,V′(r)>0, 即 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0, 即 V(r) 在(5,5 3)上为减函数, 由此可知,V(r)在 r=5 处取最大值,此时 h=8,即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积 最大.


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