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2.3 函数的应用

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张喜林制

2.3

函数的应用(I)

教材知识检索
考点知识清单
1.一次函数和二次函数模型
(1)-次函数模型: (2)二次函数模型:

2.解决实际问题的程序
在解决实际问题中,提炼问题——□——整理、分析数据——□——解决问题——代入检验,是一 个完整

的数学建模、解模的过程,

要点核心解读
1.解函数应用问题的方法和步骤
(1)应用函数知识解应用题的基本思路 ①正确地将实际问题转化为函数模型,这是解应用题的关键,转化来源于对已知条件的综合分析、归 纳与抽象,并与熟知的函数模型相比较,以确定函数模型的种类. 。 、 ②用相关的函数知识,进行合理设计,确定最佳解题方案,进行数学上的计算求解. ③把计算获得的结果放回到实际问题中去解释实际问题,即对实际问题进行总结作答. (2)解函数应用问题的一般步骤第一步:阅读理解、认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反 映的实际背景,领悟从 背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握住新信息, 在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,确定自变量与函数值的意义.审题时要抓住 题目中的关键量,要勇于尝试、探索,敏于发现、归纳,善于联想、化归,实现实际问题向数学问题的转 化, 第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地,设自变量为 x,函数为 y,并用 x 表示各相关量,然后根据问题中的已知条件,运用已掌握 的数学知识、物理知识及 其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型. 第三步:利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果. 第四步:转译成具体问题,作出解答.

2.常见的函数模型
(1)正比例函数 y ? kx(k ? ? 0); (2)反比例函数 y ?

k (k ? ? 0); x

(3)-次函数 y ? ax ? b(a ? ? 0);
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(4)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? ? 0) ? 建立函数模型常采用待定系数法.

典例分类剖析
考点 1 一次函数模型应用题

[例 1] -个圆柱形容器的底面直径为 dcm,高度为 hcm,现以每秒 Scm 的速度向容器内注入某种溶液, 求容器内溶液高度 y( cm)与注入时间 t(s)的函数关系式及其定义域. [解析] 本题首先应知道圆柱体的体积公式:圆柱体的体积 =底面积×高,另一种形式是:

3

高?

体积 ? 底面积
d 2
2 2 3

题目中底面积为 ? ( ) cm , Scm 表示每秒注入溶液的量,它是体积,与之对应的容器内溶液每秒应 升高

4S cm , 那么 t ( s ) 的情况如何呢? ?d 2 4s cm , 因为容器内溶液每秒升高 ?d 2 4S ? t. 所以 y ? ?d 2
又注满容器所需的时间为 h ? (

4S ?hd 2 ) ? ( s), 4S ?d 2
]?

所以,函数的定义域是 [0,

?hd 2
4S

母题迁徙 1.某商人购货,进价已按原价 a 扣去 25%.他希望对货物定一新价,以便按新价让利 20%
销售后仍可获得售价 25%的纯利,则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式 是

考点 2 二次函数模型应用题

[例 2]某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图 2-3 -1 所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓,问:如 何设计才能使公寓占地面积最大?求出最大面积. (单位:m)

[解析] 如图 2 -3 -2 所示,设计长方形公寓分三种情况: (1)当一端点在 BC 上时,只有在 B 点时长方形 BCDB m. 1 的面积最大.? S1 ? S矩形BCDB1 ? 5600
2

(2)当一端点在 EA 边上时,只有在 A 点时长方形 AA1 DE 的面积最大.? S 2 ? S矩形AA DE ? 6000 m. 1
2

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(3)当一端点在 AB 边上时,设该点为 M,则可构造长方形 MNDP,并补出长方形 OCDE. 设 MQ ? x(0 ? x ? 20),则MP ? PQ ? MQ ? 80 ? x. 又 OA ? 20, OB ? 30, 则

OA MQ ? , 0 B QB

?

2 x 3 ? ,? QB ? x, 3 QB 2

3 x ? 70, 2 3 ? S 3 ? S 矩形MNDP ? MN ? MP ? (70 ? x) ? (80 ? x) 2 3 50 2 18050 ? ? (x ? ) ? 2 3 3 50 18050 ? 时, s3 ? 当x ? 3 3 50 25 m, BM ? m. 比较 S1 , S2 , S3 , 知 S 3 最大,此时 MQ ? 3 3 25 18050 2 m 处时,公寓占地面积最大,最大面积为 故当长方形的一端点落在 AB 边上离 B 点 m . 3 3 ? MN ? QC ? QB ? BC ?
[点拨] (l)解决实际问题时,要读懂题意,建立函数模型,另外,在本题的解答中,要注意分类讨 论思想的运用. (2)二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际问题中 的最优化问题,值得注意的是,对于实际问题要特别关注其定义域的、范围.

母题迁徙 2.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元,每桶水进价为 5 元,销
售单价与日销售量的关系如下表:
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12

日销售量/桶 480

440 400 360 320 280 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利润是多少?

考点 3 分段函数模型应用题

[例 3]某企业生产一种产品时, 固定成本为 5000 元, 而每生产 100 台产品时直接消耗成本要增加 2500 元,市场对此产品的年需求量为 500 台,销售收入的函数为 R ( x ) ? 5 x ?

1 2 x (0 ? x ? 5) (单位:万元) , 2

其中 x 是产品售出的数量(单位:百台) . (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大?(3)年产量多少时,企业才不亏本? [解析] (1)利润 y 是指生产数量为 x 的产品售出后的总收入 R ( x) 与其总成本 C ( x) 之差,由题意, 当 x ? 5 时,产品能全部售出;当 x ? 5 时,只能销售 500 台,所以

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1 ? 5 x ? x 2 ? (0.5 ? 0.25x)(0 ? x ? 5), ? ? 2 y?? ?(5 ? 5 ? 1 ? 5 2 ) ? (0.5 ? 0.25x)(x ? 5) ? 2 ?

1 2 ? ?4.75x ? x ? 0.5(0 ? x ? 5), ?? 2 ? ?12 ? 0.25x( x ? 5).
(2)当 0 ? x ? 5 时, y ? ? ∴ 当x ??

1 2 x ? 4.75 x ? 0.5, 2

4.75 ? 4.75 时, 1 2 ? (? ) 2

ymax ? 10.78125 ;
当 x ? 5 时, y ? 12 ? 0.25? 5 ? 10.75. 答:年产量为 475 台时,利润最大. (3)要使企业不亏本,即要求

?0 ? x ? 5, ? x ? 5, ? 或? ? 1 2 ? x ? 4.75x ? 0.5 ? 0 ?12 ? 0.25x ? 0, ? ? 2
解得 5 ? x ? 4.75 ? 21.5625 ? 0.1或5 ? x ? 48. 答:企业年产量在 10 台到 4800 台之间时,企业不亏本. [点拨] 本题第(2)问属分段函数求最值问题,先分段求最大值,然后比较哪一个更大.

母题迁徙 3.在对口扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消
费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙,并约定从 该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3600 元后,逐步偿还转让费(不 计息) .在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P (元)的关系如图 2-3 -3 所示;③每月需各种开支 2000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费后的余额最大?并求其最大余额. (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?

考点 4 近似为一次函数模型的应用题

[例 4] 电声器材厂在生产扬声器的过程中,有一道重要的工序:使用 AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹
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板,长期以来,由于 AB 胶的用量没有一个确定的标准,经常出现用胶过多,胶水外溢,或用胶过少,产 生脱胶的问题,影响了产品质量,经过实验,已有一些恰当用胶量的具体数据:
序号 磁 钢 面 积 / cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2

用胶量/g

11.0 19.4 26.2 46.6 56.6 67.2 125.2 189.0 247.1 443.4

0.164 0.396 0.404 0.664 0.812 0.972 1.688 2.860 4.076 7.332

请提供一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系. [解析] 由表中分散的各组数据来寻找磁钢面积与用胶量的规律,通常的方法楚描绘出这些数据在直 角坐标系中的对应点, 观察这些点的整体特征, 看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象, 选定函数形式后, 用数据待定出表达式. 我们取磁钢粘合面积 x 为横坐标、用胶量 y 为纵坐标,建立直角坐标系,根据上袁数据在直角坐标系 中描点,得出如图 2-3 -4 所示的图象,

从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近,画出这条直线,使图上的点比较均匀地分 布在直线两侧.用函数 y ? ax ? b(a ? ? 0) 表示用胶量与磁钢面积的关系. 取点 (56.6,0.812), (189.0,2.860), 将它们的坐标代入 y ? ax ? b, 得方程组 ?

?0.812 ? 56.6a ? b, ?2.860 ? 189.0a ? b.

, b ? ?0.06350 . 解得 a ? 0.01547 x ? 0.06350 . ∴ 这条直线是 y ? 0.01547
[点拨] 在解决实际问题时,提出问题——收集数据——整理、分析数据——建立函数模型——解决 问题——代入检验,这是一个完整的过程.作出散点图,观察散点图的形状,是选择函数模型的基础.确 定函数模型后,经常需要检验,如果误差较大,就要修正得到的函数模型,

母题迁移 4.南方某地市场信息中心为了分析本地’区蔬菜的供求情况,通过调查得到了家种野菜 “芦蒿”的市场需求量和供应量数据(见下表) . 表一:芦蒿的市场需求量信息
需求量∥吨 40 38 37.1 36 32.8 30 5 / 11

价格∥(千元/吨) 2

2.4

2.6

2.8

3.4

4

表二:芦蒿的市场供应量信息
价格y/(千元/吨) 2 2.5 3.2 4 4.6 5 供应量茁/吨 29 32 36.3 40.9 44.6 47

(1)试写出描述芦蒿市场需求量 y 关于价格茏的近似函数关系式; (2)试根据这些信息,探求市场对芦蒿的供求平衡量(需求量与供应量相等,就称供求平衡,近似到 1 吨) .

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优化分层测训
学业水平测试
1.以半径为 R 的半圆上任一点 P 为顶点,以直径 AB 为底边的△PAB 的面积 S 与高 PD ? x 的函数关系是 ( ).
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A.S ? Rx A.10 %

B.S ? 2 Rx( x ? 0)
B.9% C .11 %

C.s ? Rx(0 ? x ? R)
).

D.S ? ?x 2 (0 ? x ? R)

2.某商品降价 10%后,欲恢复原价,则应提价(

D.11 .11 %
).

3.如图 2 -3 -6 所示,阴影部分的面积 S 是 h 的函数 ? 0 ? h ? H ), 则该函数的图象是(

4.用长为 20m 的铁丝网围成—个长方形场地,最大面积为 .若一边靠墙,能围成的最大面积是 . 5.北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北京日报》的价格是每份 0.20 元,卖出的价格是每份 0.30 元, 卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社.在 1 个月(按 30 天计算)里,有 20 天每天可 以 卖出 400 份,其余 10 天每天可卖出 250 份,但每天从报社买进的份数必须相同,那么这个摊主每天 从报社买进多少份报纸,才能使每月所获的利润最大?最大利润是多少?

高考能力测试
(测试时间:45 分钟测试满分:100 分) 一、选择题(5 分×8 =40 分) 1.某种商品,现在每件定价 p 元,每月卖 n 件,根据市场调整显示,定价每上涨 x 成,卖出的数量将会 减少 y 成,如果涨价后.的销售总额是现在的 1.2 倍,则用 x 表示 y 的函数关系式为( ).

A? y ?

10 x ? 20 x ? 10

B? y ?

10 x ? 20 x ? 10

C?y ?

10 x ? 20 x ? 10

D? y ?

10 x ? 20 x ? 10

2.根据统计资料,我国能源生产自 1986 年以来发展很快,下面是我国能源生产总量(折合为亿吨标准煤) 的几个统计数据:1986 年 8.6 亿吨,5 年后的 1991 年 10.4 亿吨,10 年后的 1996 年 12.9 亿吨,有关 专家预测,到 2001 年我国的能源生产总量将达到 16.1 亿吨,则专家是选择下列哪一种类型的函数作 为模型进行预测的?( ) A.-次函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数 3.一根蜡烛长 20cm,点燃后每小时燃烧 5cm,燃烧后剩下的高度 h( cm)与燃烧时间 t(小时)的函数关 系用图象表示为( ).

4. (2007 年陕西高考题)某生物生长过程中,在三个连续时段内的增长量都相等,在各时段内平均增长速 度分别为 v1 , v2 , v3 , 则该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( ).

A.

v1 ? v2 ? v2 3

1 1 1 ? ? v1 v2 v3 B. 3

C ? 3 v1v2 v3

D.

3 1 1 1 ? ? v1 v 2 v3

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5. (2011 届武昌区 11 月调考题)将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时,能卖出 400 个,根据经 验, 该商品若每个涨. (降) 价 1 元, 其销售量就减少 (增加) 20 个, 为获得最大利润, 售价应定为( ). A.88 元 B.92 元 C.94 元 D.95 元 6.如图 2 -3 -9,已知△ABC 中,AB=10m,AB 边上的高 CD=6m,四边形 EFGH 为矩形,那么矩形 EFGH 的面 积的最大值为( ).

A.10m 2

B.15m 2

C.20m 2

D.30m 2

7. (2009 年四川高考题)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : V ? V , a ? V , 记 a 的象为 f (a) .若映射 f : V ? V 满足:对所有 a、b ? V 及任意实数 ? , ? 都有 f (?a ? ?b) ? ?f (a) ? ? (b), 则,称为平面 M 上的线性变换,现有下列命题: ①若 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ? V , 则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b); ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ? V , 设 f (a) ? a ? e, 则 f 是平面 M 上的线性变换; ③对 a ? V , 若 f (a) ? ?a, 则,是平面 M 上的线性变换; ④若 f 是平面 M 上的线性变换, a ? V , 则对任意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a). 其中真命题是( ).

A.①②③

B. ②③④ ④

C. ①③④
3

D.①②④
3

8.某地一中型水库,在无洪水时上游来水量为 am / h, 它与发电用水量相同,水库保持正常蓄水量 Qm . 因为 8 月的大雨, 上游形成 48 小时的洪水流入水库, 第 20 小时洪水达到高峰 bm / h, 以后逐渐消退至
3 正常来水量 am / h. 为保证下游防洪,水库拦水量未超过水库最大蓄水量 Vm , 则下列流入水库的水量
3

3

g(t)与水库蓄水量八 t) (t 为小时)的图象中,比较符合上述情况的是(

).

二、填空题(5 分×4 =20 分) 9. 已知 A、 B 两地相距 150km, 某人开车以 60km/h 的速度从 A 地到达 B 地, 在 B 地停留 th 后, 再以 50km/h 的速度返回 A 地,汽车离开 A 地的距离 x(km)随时间 t(h)变化的关系式是 10.汽车的油箱是长方体形状的容器,长、宽、高分别为 acm、bcm、ccm.汽车开始行驶时油箱内装满油,
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若汽车的耗油量是 ncm3 / km, 则汽车行驶的路程 y( km)与油箱内剩余油量的液面高度 x( cm)之间的 函数关系式是 11.一根弹簧原长为 15cm,已知所挂物体的质量在 20kg 内弹簧的长度与所挂的质量成一次函数关系,现测 得当挂重 4kg 时,弹簧的长度为 17cm,则当弹簧的长度为 22cm 时,所挂物体为 kg. 12. ( 2009 年浙江高考题)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网 销售电价表如下:
高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 高峰电价 (单位:元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668

低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 I单位:千瓦时) 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分

. 低谷电价 (单位:元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费方 式该家庭本月应付的电费为 元(用数字作答) . 三、解答题(10 分×4 =40 分) 13.(2006 年福建高考题)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶时每小时的耗油量 y (升)关于行驶速 度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为: y ?

1 3 x3 ? x ? 8 ? 0 ? x ? 120) ? 已知甲、 128000 80

乙两地相距 100 千米,当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?

14.我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的,某市用水收费 的办法是: 水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量 a(m ), 只付基本费 8 元和每户每月定额损耗费 c(元) ;若用水量超过
3

a(m 3 ), 除了付以上的基本费和损耗费外,超过部分每 m 3 付 6 元的超额费,已知每户每月的定额损耗
费不超过 5 元。 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示:
月份 1 2 3 用水量/II13 9 15 22 水费/元 9 19 33 10 / 11 ;

根据上表的数据,求 a,b,c.

15.某蓄水池原有 400 吨水, 当日零时同时打开进水闸与出水闸, 出水闸流出的水量 w(吨)与时间 t (小时) 的函数关系式是: w ? 120 6t (0 ? t ? 24) ? (1)若使次日零时蓄水池的水量仍有 400 吨,问每小时进水闸进水多少吨?(每小时进水量相等) (2)在(1)的情况下,问当日几点时,蓄水池中的水量最少,最少为多少吨?

16.(2010 年湖北高考题)为了在夏季降温和冬天供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年 的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系: C ( x) ?

k (0 ? x ? 10 ), 3x ? 5

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之 和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小?并求最小值.

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