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【优化指导】2015年高中数学 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)课时跟踪检测 新人教A版必修4


【优化指导】2015 年高中数学 1.5 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 (二)课时跟踪检测 新人教 A 版必修 4

考查知识点及角度 求 y=Asin(ω x+φ )的解析式 函数 y=Asin(ω x+φ )性质的运用 综合问题

难易度及题号 基础 1、2、3、4 5 6、7、9 8、10、11 12 中档 稍难

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π 1.下列函数中,最小正周期为 π ,且图象关于直线 x= 对称的是( 3 π? ? A.y=sin?2x- ? 6? ? π? ? C.y=sin?2x+ ? 6? ?

)

? π? B.y=sin?x- ? 3? ? ?x π ? D.y=sin? + ? ?2 6 ?

π ?2π π ? 解析:由周期为 π 排除 B、D,对 A,当 x= 时,有 y=sin? - ?=1,故其图象 6? 3 ? 3 π 关于直线 x= 对称,故选 A. 3 答案:A 2. 函数 y=Asin(ω x+φ )+k 的图象如图, 则它的振幅 A 与最小正周期 T 分别是( )

5π A.A=3,T= 6 3 5π C.A= ,T= 2 6

5 B.A=3,T= π 3 3 5π D.A= ,T= 2 3

3 π ? π ? 5π 解析:由图象可知最大值为 3,最小值为 0,故振幅为 ,半个周期为 -?- ?= , 2 2 ? 3? 6 5 故周期为 π . 3 答案:D

π? 1 ? 3.简谐振动 y= sin?4x+ ?的频率和相位分别是________________. 6? 2 ? π? 1 ? 2π π π 1 2 解析: 简谐振动 y= sin?4x+ ?的周期是 T= = , 相位是 4x+ , 频率 f= = . 6 2 ? 4 2 6 T π ? 2 π 答案: ,4x+ π 6 4.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象如图所示,则 ω =________.

T 2 π π 4 2π 3 解析:由题意设函数周期为 T,则 = π - = ,故 T= π .∴ω = = . 4 3 3 3 3 T 2
3 答案: 2 π? ? ? π ? 5.设函数 y=2sin?2x+ ?的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈?- ,0?,则 x0 3? ? ? 2 ? =________. π? ? 解析:因为函数图象的对称中心是其与 x 轴的交点,所以 y=2sin?2x0+ ?=0,x0∈ 3? ?

?-π ,0?,解得 x =-π . ? 2 ? 0 6 ? ?
π 答案:- 6 π? ? 6.函数 y=sin?2x- ?的图象在(-π ,π )上有________条对称轴. 6? ? π π kπ π 解析:令 2x- =kπ + ,k∈Z,∴x= + ,k∈Z.又 x∈(-π ,π ),∴k=-2, 6 2 2 3 -1,0,1. 答案:4 π? π ?1 ?? 7.设函数 f(x)=sin? x+φ ??0<φ < ?,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 2? 4 ?2 ?? (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. π 解:(1)∵x= 是 y=f(x)的图象的一条对称轴, 4

?1 π ? ∴sin? × +φ ?=±1. ?2 4 ?



π π +φ = +kπ ,k∈Z. 8 2

π 3π ∵0<φ < ,∴φ = . 2 8 3π ? 1 3π ? (2)由(1)知 φ = ,因此 y=sin? x+ ?. 8 ? 8 ?2 π 1 3 π 由题意得- +2kπ ≤ x+ π ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2 8 2 7 π 即- π +4kπ ≤x≤ +4kπ ,k∈Z, 4 4 ∴函数 y=f(x)的单调增区间为:

?-7π +4kπ ,π +4kπ ?,k∈Z. ? 4 ? 4 ? ?

8.为了使函数 y=sin ω x(ω >0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值,则 ω 的最小 值是( ) B. 197 π 2

A.98π C. 199 π 2

D.100π

1 1 197 2π 解析: 由题意至少出现 50 次最大值即至少需用 49 个周期, 所以 49 ·T= · ≤1. 4 4 4 ω 197 所以 ω ≥ π . 2 答案:B π? ? 9.关于函数 f(x)=4sin?2x+ ?(x∈R)有下列命题,其中正确的是________.(填序 3? ? 号) π? ? ①y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos?2x- ?; 6? ? ②y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数;

? π ? ③y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称; ? 6 ?
π ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 π? π? ? ?π ? ? 解析:因为 4sin?2x+ ?=4cos? -2x?=4cos?2x- ?, 3? 6? ? ?6 ? ?

? π? ? π ? 所以①正确,易得②④不正确,而 f?- ?=0,故?- ,0?是对称中心,③正确. ? 6? ? 6 ?
答案:①③ π? ? 10.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ? 2? ? 的一段图象如图所示.

(1)求 f(x)的解析式. (2)把 f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数? π? 2π 4? 2 解:(1)A=3, = ?4π - ?=5π ,ω = . 4? ω 3? 5

?2 ? ?π ? 由 f(x)=3sin? x+φ ?过点? ,0?得 ?5 ? ?4 ? ?π ? sin? +φ ?=0, ?10 ?
π π 又|φ |< ,故 φ =- . 2 10

?2 π ? ∴f(x)=3sin? x- ?. ?5 10?
π? ?2 (2)由 f(x+m)=3sin? ?x+m?- ? 10? ?5

?2 2m π ? =3sin? x+ - ?为偶函数(m>0), 5 10? ?5
知 2m π π 3π 5 - = +kπ ,即 m= + kπ ,k∈Z. 5 10 2 2 2

∵m>0, 3π ∴mmin= . 2 故把 f(x)的图象向左至少平移 数. π? ? 11.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的最小正周期为 2,且当 2? ? 3π 个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函 2

x= 时,f(x)取得最大值 2.
(1)求函数 f(x)的解析式.

1 3

?21 23? (2)在闭区间? , ?上是否存在 f(x)图象的对称轴?如果存在,求出对称轴方程;如 ?4 4?
果不存在,说明理由. 2π 解:(1)由已知 =2,得 ω =π . ω 又 A=2,所以 f(x)=2sin(π x+φ ).

?1? ?π ? 因为 f? ?=2,所以 sin? +φ ?=1. 3 3 ? ? ? ?
π π 又|φ |< ,所以 φ = . 2 6 π? ? 故 f(x)=2sin?π x+ ?. 6? ? π π (2)令 π x+ =kπ + ,k∈Z. 6 2 1 则 x=k+ ,k∈Z. 3 1 即函数 f(x)的对称轴为 x=k+ ,k∈Z. 3 由 21 1 23 59 65 ≤k+ ≤ ,得 ≤k≤ . 4 3 4 12 12

因为 k∈Z,所以 k=5. 16 ?21 23? 故在区间? , ?上存在 f(x)图象的对称轴,其方程是 x= . 3 ?4 4?

12.函数 y=f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在 2 ? π? * [a,b]上的面积.已知函数 y=sin nx 在?0, ?上的面积为 (n∈N ).

?

n?

n

? 2π ? (1)求函数 y=sin 3x 在?0, ?上的面积. 3 ? ? ? π 4π ? (2)求函数 y=sin(3x-π )+1 在? , ?上的面积. 3 ? ?3

? 2π ? ? 1 ? 解:(1)y=sin 3x 在?0, ?上的图象如图所示,由函数 y=sin 3x 在?0, π ?上的面 3 ? ? ? 3 ?
2 4 ? 2 ? 积为 ,可得函数 y=sin 3x 在?0, π ?上的面积为 . 3 3 3 ? ?

2 2 (2)由图可知阴影部分面积即为所求面积,S=S 四边形 ABCD+ =π + . 3 3

本课时主要学习了求函数 y= Asin(ω x+ φ )的解析式及其性质的运用两种类型的题 目,在求解过程中注意掌握以下两个方面: 1. 由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A, ω, φ 的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2π (2)因为 T= , 所以往往通过求周期 T 来确定 ω , 可通过已知曲线与 x 轴的交点从而 ω 确定 T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距 2 离为 T.

T

? φ ? (3) 从寻找“五点法”中的第一零点 ?- ,0? ( 也叫初始点 ) 作为突破口.以 y = ? ω ?
Asin(ω x+φ )(A>0, ω >0)为例, 位于单调递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作为
“五点”中的第一个点. 2.在研究 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的性质时,注意采用整体代换的思想.例如, π 3π 它在 ω x+φ = +2kπ (k∈Z)时取得最大值,在 ω x+φ = +2kπ (k∈Z)时取得最小 2 2 值.


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