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10.3.2用线面垂直的判定定理


一.问题引入 复习:直线与平面的位置关系有 哪几种?

线在面内

线 面 位置关系

线面平行 线面相交
垂直 斜交



实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

大桥的桥柱与水面垂直

问题情境

>
如何定义一条直线与一个平面垂直?

引入新课
A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

AB所在直线 ⊥ 地面内任意一条直线
我们 就说直线AB与地面垂直 A

B B1 C1 C

直线与平面垂直 定义
如果直线l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面? 的垂线 垂足

l
直线l 的垂面

?

P

l

P

α

性质:直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于平面α中的任意一条直线

线线垂直

线面垂直

直线和平面垂直的画法
l

P

α

注:画直线与水平平面垂直时,要把直线画 成和表 示平面的平行四边形一条边。

思考:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直( ? )
l
C

?

B

2. a ? ? , b ? ? ? a ? b

( ?)

提出问题:
学校操场上竖了一 根新旗杆,现要检验它 是否与地面垂直,你有 什么好办法?

(1)根据定义判断 (2)有没有什么方便可行的方法来判定?

探究
?

同学们出你的笔把它当作直线、桌面当作 平面,当你的笔与桌面中的几条直线垂直 时你的笔就与桌面垂直了?

探究:
(1)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线 垂直,能不能保证该直线垂直于此平面? 即:
l

l ? b,b ? ? × ?l ??
?

b

不能

探究 : (2)和一个平面内的两条直线垂直呢?
①两条直线平行的情况 即:
b a c a b//c

×
l

l

b l

c

?

c

不能

探究:
(2)和一个平面内的两条相交直线垂直呢?

即:

b ? ? , c ? ? , b ? c ? P? ??l ?? l ? b, l ? c ?

猜想:
是不是一条直线垂直于平面内的 两条相交直线,此直线就垂直于该平 面呢?

除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢?
A
C

A

D

?
B
D

B

C

过 ?ABC 的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接 触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面? 垂直.

直线与平面垂直
A A
CC

A

A
D

?
B B
D D

B

C C

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 线与桌面所在平面 ? 垂直.

问:直线与平面垂直应具有什么条件?

直线与平面垂直的判定定理
如果直线l和平面? 内的两条相交直线 m,n都垂直,那么直线 l垂直平面 ? l m ? ? , ? 即: ? n ? ?, ? ?? l ?? m?n ? P ? m P l ? m, l ? n? n ? 线线垂直 线面垂直

?

问:要判断一条直线与一个 平面是否垂直,取决于什么?
取决于在这个平面 内能否找到 两条相交直线和已知直线垂直. (线面垂直<-->线线垂直)

巩固运用.
练习1

2.如图, 在三棱锥V ? ABC中,VA ? VCV , AB ? BC

求证VB ? AC
练习2.如图,PA垂直于圆O所在面,AB
D

A

C

是圆O的直径,C是圆周上一点,那么图
中有几个直角三角形? 答案:4个
A

B

P

1.如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满
足MA=MC,求证:

AC ? 平面BDM
D

M

2.如图,在空间四边形ABCD中, DA⊥面ABC, AC⊥BC, 若AE D ⊥ DB,AF ⊥ DC E 求证:EF⊥DB
F A C
A

C

O
B

B


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