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江苏省南京三中2013-2014学年高二4月月考(数学理)


一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.下图伪代码中,若输入 x 的值为-4,则输出 y 的值为 .

2.某校高二(1)班共有 48 人,学号依次为 01,02,03,?,48,现用系统抽样的办法抽一个容量为 4 的样本,已知学号为 06,30, 42 的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为 .

3.已

知 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如下图所示,则时速在[60,70]的汽车大约 有 辆.

4.某射手射击一次击中 10 环,9 环,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2,则他射击一次不足 8 环的概率 为 .

5.从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球,下面属于互斥而不对立的两个事件 是 . (填序号) ②至少有一个黒球与都是黒球 ④恰有 2 个黒球与恰有 2 个红球

①至少有一个黒球与都是红球 ③至少有一个黒球与恰有 1 个红球

6.掷两枚硬币,若记出现“两个正面” 、 “两个反面” 、 “一正一反”的概率分别为 P 1, P 2,P 3, 则下列判断中,正确的有 ①P 1 ? P 2 ? P 3 ②P 1 ?P 2 ? P 3 . (填序号) ③P 1 ?P 2 ?P 3 ?1 ④P 3 ? 2P 1 ? 2P 2,

7.在一次演讲比赛中,七位评委为某选手打出的分数的茎叶图(如图所示) ,去掉一个最高分和一个最低

分后,所剩数据的方差为



8.已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10 ,标准差是 2 ,则 xy ?



9.运行如图所示的程序框图,则输出 的 结 果 S=



10.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是

9 ,则 a 的取值范围是 a ? 5



11.设 f (k ) ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? (k ? N ? ) ,用数学归纳法证明过程中从 f ( k )到 f ( k ? 1 ),需 k ?1 k ? 2 k ? 3 2k


要增加的代数式为

12.观察下列不等式: 1 ?

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ? 2 , 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15


1?

1 1 1 5 ? ? ? ? ? ,? , 由此猜想第 n 个不等式为 2 3 31 2

13. 若圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 , 则有过圆 C 上一点 ( x0 , y0 ) 作圆 C 的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 . 类 比这一结论,若椭圆 C’ 的方程为 为 .

x2 y2 ? ? 1 ,则有过椭圆 C’ 上的一点( 2,1 )作椭圆的切线方程 8 2

14.把一个 n 位数从左到右的每个数字依次记为 a1 , a2 , a3 ,?, ak ,? , an ,如果 k ? ak (k ? 1, 2,3,? , n ) 都 是完全平方数,则称这个数为“方数” .现将 1,2,3 按照任意顺序排成一个没有重复数字的三位数,这 个数是“方数”的概率为 (请将答案写在答卷纸上) 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本,得频率分布表如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合 (1)写出表中①②位置的数据; (2)估计成绩不低于 240 分的学生约占多少; (3)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第二轮考 核,分别求第三、四、五各组参加考核人数. 分组 频数 8 ① 15 10 5 50 频率 0.16 0.24 ② 0.20 0.10 1.00 .

? 230, 235? ? 235, 240 ?
? 240, 245?

? 245, 250 ?
[250, 255]



16. 将一枚质地均匀且四个面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记

第一次朝下面的数字为 x ,第二次朝下面的数字为 y .用 ? x, y ? 表示一个基本事件. (1)请写出所有的基本事件; (2)求满足条件“ x 为整数”的事件的概率; y (3)求满足条件“ x ? y ? 2 ”的事件的概率.

17. 在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? ( x, y ) . (1)若 x ? R , y ? R ,求 OM ? 1 得概率;

?? 1 ? x ? 2 表示的平面区域为 W,从区域 W 中随机取点 M ?0 ? y ? 2

(2)若 x ? Z , y ? Z ,求点 M 位于第二象限的概率.

18.某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件.通 过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的 百分率为 x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为 x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月 平均利润是 y(元) . (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,试确定该纪念品的销售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

19. (1)若 a , b 是正常数, a ? b, (2)利用(1)的结论求函数 f ( x) ?

x, y ? (0,?? ) .证明:

a 2 b 2 ( a ? b) 2 ? ? ,并指出等号成立条件; x y x? y

2 9 1 ? , x ? (0, ) 最小值,指出取最小值时 x 的值. x 1 ? 2x 2

20.设 a n ? (1 ? )(1 ? )(1 ?

1 4

1 9

1 1 ) ? ? ? (1 ? 2 ) (n ? N , 且 n ? 2) 16 n

(1)求 a2 , a3 , a4 ,猜想 an 的化简式; (2)用数学归纳法证明(1)的结果; (3)设正数数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn ? 2( a n ? ) ,
2

1 2

求证: n ? 1 时, b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ?

n


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