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2013届高考数学考点讲解:考点05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)(新课标解析版)


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考点 05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性) 【高考再现】 热点一 函数的单调性 1.(2012 年高考(天津文) )下列函数中,既是偶函数,又在 区间 (1, 2) 内是增函数的为( A. y ? cos 2 x B. y

? log
2


x ?e 2 ?x

| x|

C. y ? e

D. y ? x

3

?1

2.(2012 年高考(陕西文) )下列函数中,既是奇函数又 是增函数的为 A. y ? x ? 1 【答案】D 【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性,理解和掌握 基本函数的性质是关键.A 是增函数, 不是奇函数; 和 C 都 B 不是定义域内的增函数,排除,只有 D 正确,因此选 D. 3.(2012 年高考(安徽文) )若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区 间是 [3, ??) ,则 a ? _____ B. y ? ? x
2

C. y ? 1
x

D. y ? x | x |

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【方法总结】 1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性 有两种方法: (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判 断)求解. (2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象函数单调 性的证明,一般采用定义法进行. 2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复 合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调 性定义确定单调区间.(3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给 出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的 单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调 区间. 3.函数单调性的应用:f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具 有单调性,则 f(x1)<f(x2) ? f(x1)-f(x2)<0,若函数是增函数, 则 f(x1)<f(x2)
?

x1<x2,函数不等式(或方程)的求解,总是想

方设法去掉抽象函数的符号, 化为一般不等式(或方程)求解, 但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行. 热点二 函数的奇偶性
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4.(2012 年高考(广东文) )(函数)下列函数为偶函数的是 ( ) A. y ? sin x B. y ? x
3

C. y ? e

x

D. y ? ln

x ?1
2

5.(2012 年高考(重庆文) )函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数, 则实数 a ? ________ 【答案】4 【解析】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶 函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切 a 都有
f (a) ? f (?a)

成立.由函数
?a?4

f ( x)

为偶函数得

f (a) ? f (?a)



( a ? a )( a ? 4) ? ( ? a ? a )(? a ? 4)

.
f (x )

6.(2012 年高考(上海文) )已知 y ?
g ( x) ? f ( x) ? 2

是奇函数. 若

且 g (1) ? 1 .则 g (?1) ? _______ .

7.(2012 年高考(课标文) )设函数 f ( x) = (x+1) 为 M ,最小值为 m ,则 M ? m= ____ 【答案】 2

2 2

? sin x

x ?1

的最大值

【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归
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思想,是难题.
f ( x) ? ( x ? 1) ? sin x
2

x ?1
2

? 1?

2 x ? sin x x ?1
2

,



g ( x) ?

2 x ? sin x x ?1
2

,? g ( ? x) ? ? g ( x),? g ( x)

为 奇 函 数 , 由 奇 函 数 图 像 的 对 称 性 知
g ( x ) max ? g ( x ) min ? 0,? M ? m ? [ g ( x ) ? 1]max ? [ g ( x ) ? 1]min ? 2 ? g ( x) max ? g ( x) min ? 2.

【方法总结】

热点三 函数的周期性 8.(2012 年高考(浙江文) )设函数 f (x) 是定义在 R 上的周 期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时, 【答案】
3 2
f (x ) =x +1

,则 f ( 3 ) =_______.
2

【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.
3 3 1 1 1 3 f ( ) ? f ( ? 2) ? f ( ? ) ? f ( ) ? ? 1 ? 2 2 2 2 2 2

.

9.(2012 年高考(江苏) )设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的 函数,在区间 [?1, 上, 1]
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? ? ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? f ( x ) ? ? bx ? 2 , ≤ x ≤ 1, 0 ? ? x ?1

其中 a , ? R . 若 b

?1? ?3? f ? ?? f ? ? ?2? ?2?

, 则 a ? 3b 的值为

____.

【方法总结】 求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法,形 如 y=Asin(ωx+φ),用公式 T= 2π 计算.递推法:若 f(x+ |ω|

a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所 以周期 T=2a.换元法:若 f(x+a)=f(x-a),令 x-a=t,x =t+a,则 f(t)=f(t+2a),所以周期 T=2a. 热点四 函数性质的综合应用 10.(2012 年高考(重庆理) )已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函 数,且以 2 为周期,则“ f ( x) 为[0,1]上的增函数”是“ f ( x) 为 [3,4]上的减函数”的( ) B.充分而不必

A.既不充分也不必要的条件 要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件

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11.(2012 年高考(山东理) )定义在 R 上的函数 f ( x) 满 足 f ( x ? 6) ? 时 ,
f ( x)

.当 ?3 ? x ? ?1
2

f ( x ) ? ?( x ? 2)

, 当

?1 ? x ? 3

时 ,

f ( x) ? x

.



f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? f (2012) ?

A. 335

B.338

C.1678

D.2012

【方法总结】 在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画 出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把 抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的 解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小 数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数 的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,
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然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对 称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 【考点剖析】

二.命题方向 1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求 变量的取值是历年高考考查的热点. 2.函数的奇偶性是高考考查的热点. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问 题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是 重点,也是难点. 3.题型以选择题和填空题为主,函数性质其他知识点交汇命 题. 三.规律总结 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充 分条件.

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三种方法 判断函数的奇偶性, 一般有三种方法: (1)定义法; (2)图象法; (3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a +x),则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)= f(x)(其中 a<b),则:y=f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数. (3)若 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 1 1 或 f(x+a)=- , 那么 f?x? f?x?

函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2a; (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其 中一个周期为 T=2|a-b|. 【基础练习】 1. (课本习题改编)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的 是 A.y=|x| 1 C.y=x 【答案】A 1 【解析】y=3-x 在 R 上递减,y=x在(0,+∞)上递减,y =-x2+4 在(0,+∞)上递减. 2.(经典习题)函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是
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(

) B.y=3-x D.y=-x2+4

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(

)
? 3? A.?-∞,2? ? ? ? 3? C.?-1,2? ? ? ?3 ? B.?2,+∞? ? ? ?3 ? D.?2,4? ? ?

3. (课本习题改编)若函数 f(x)= 则 a=( A. D.1 【答案】A 【解析】 ∵f(x)= 1)=-f(1). ∴ 1 2 ) B.

x 为奇函数, ?2x+1??x-a?

2 3

C.

3 4

x 是奇函数, 利用赋值法, (- ∴f ?2x+1??x-a?

-1 1 =- ,∴a+1=3(1-a),解 ?-2+1??-1-a? ?2+1??1-a?

1 得 a= . 2 4. (经典习题)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇 函数,则下列结论恒成立的是( A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 ).

B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数
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【答案】A 【解析】由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶= 偶;B 项:偶-偶=偶,B 错;C 项与 D 项:分别为偶+奇 =偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 5.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示该 函数在区间(-2,1]上的图象,则 f(2 011)+f(2 012)=( A.3 B.2 )

6. (经典习题)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4) =f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)等于________. 【答案】-2 【解析】由 f(x+4)=f(x),得 f(7)=f(3)=f(-1),又 f(x)为奇 函数,∴f(-1)=-f(1),f(1)=2×12=2.∴f(7)=-2. 【名校模拟】 一.基础扎实 1. (北京市西城区 2012 届高三下学期二模试卷文)给定函数: ①y?x ; y?x ②
3 2

?1

; y ? sin x ; y ? log x , ③ ④ 其中奇函数是 (
2



(A)① ② (B)③ ④(C)① ③(D)② ④ 【答案】C 【解析】利用函数图象关于原点对称可知① ③图像满足条
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件. 2. (2012 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理) 已知. A. -3 B. -2 ,若 C. -1 D. 0 ,则 f(-a)的值为

3.(2012 年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三)理)已知 函数. ,则该函数是

(A)偶函数,且单调递增(B)偶函数,且单调递减 (C)奇函数,且单调递增(D)奇函数,且单调递减 【答案】C 【解析】 注意到当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,
f ??x? ? f f ??x? ? f

? x? ? ?2

?x

? 1? ? ?1 ? 2
x

?x

? ? 0 ;当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,

? x ? ? ?1 ? 2

? ? ?2

x

? 1? ? 0

; f ? 0 ? ? 0 .因此,对任意 x ? R ,均有

f ??x? ? f ? x? ? 0

,即函数 f ? x ? 是奇函数.当 x ? 0 时,函数 f ? x ? 是增

函数,因此 f ? x ? 是增函数,选 C. 4.(2012 洛阳示范高中联考高三理)下列函数中,在 (有零点且单调递增的是( A. y = D.
log 1 x
2

1, 1)



)
x

B. y =

2 - 1

C. y =

x -

2

1 2

y= - x

3

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5. (浙江省杭州学军中学 2012 届高三第二次月考理) x ? R 、 若
n ? N?
M ?5
5

, 定 义 :

M x ? x ( x ? 1)( x ? 2)
n

?( x ? n ? 1)

, 例 如 :
19

=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数 )

f ( x ) ? xM x ? 9

的奇偶

性为(

A.是偶函数而不是奇函数 是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 又不是偶函数

B. 是奇函数而不

D.既不是奇函数

6.. ( 江 西 省 2012 届 十 所 重 点 中 学 第 二 次 联 考 文 ) 已 知
f ( x ) ? 3ax ? bx ? 5a ? b
2

是偶函数,且其定义域为 [6a ? 1, a] ,则 a ? b ?




1

A. D. 7

7

B . ?1

C.1

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【答案】A 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称,所以
6a ? 1 ? a ? 0, 所以a ? 1 7


2

又 f ( x) 为偶函数,所以 3a(? x)
1

? bx ? 5a ? b ? 3ax ? bx ? 5a ? b
2

,得 b ? 0 ,

所以 a ? b ? 7 ,选 A. 6 7.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)函数 f (x) 在区间 [?2,3] 是增函数,则 y ? A. [3,8] B.
[ ?7,?2] f ( x ? 5)

的递增区间是 ( D. [?2,3]



C. [0,5]

8.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)已知函 数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 则下列函数中是奇函数的 是 ( )

①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x·f(x);④y=f(x)+x. ? A.①③ ①④ B.②③ D.②④ C.

9.(湖北省黄冈中学 2012 届高三五月模拟考试理)下列函 数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是 A. y ? cos x B. y ? ? x ? 1
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C.

y ? ln

2? x 2? x

D. y ? e

x

?e

?x

答案:D 解析: f ? ? x ? ? e 由 又
f ?? x? ? e ?
x

?x

? e ? f ? x?
x

, 所以函数 f ? x ? ? e

x

?e

?x

为偶函数;

1 e
x

?

e

2x

?1
x

e

,当 x ? ? ?1, 0? 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以函数

为减函数, 故选 D。 10 . (2012 黄 冈 市 模 拟 及 答 题 适 应 性 试 理 ) 已 知 函 数
?1 ? 2 ? x ( x ? 0) f ( x) ? ? x , ? 2 ? 1( x ? 0)

则该函数是 B 偶函数,且单调递减

A 偶函数,且单调递增 C 奇函数,且单调递增

D 奇函数,且单调递减

11. (东城区普通高中示范校高三综合练习(二) (文)) 已知 a ? 0, b ? 0, 函数 f ( x) ? x ? (ab ? a ? 4b) x ? ab 是偶函数, 则 的图象与 轴交点纵坐标的最小值为 f ( x) y . 【答案】 16
2

【解析】根据函数 f ( x) 是偶函数可得 ab ? a ? 4b ? 0 ,函数 f ( x) 的 图象与
y

轴交点的纵坐标为 ,解得 ab ? 16 。

ab

。由

ab ? a ? 4b ? 0

,得

ab ? a ? 2b ? 4 ab

12.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)已知
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?(3 ? a ) x ? 4a, x ? 1, f ( x) ? ? ?log a x, x ? 1

是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围 。



13.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)已知函 数
? x 2 ( x ? 1)( x ? 0) f ( x) ? ? 2 ?? x ( x ? 1)( x ? 0)

,判断它的奇偶性。

【解析】本试题主要考查了函数的奇偶性的判定。 【答案】f(x)的定义域为 R,f(0)=0 设 x>0 则-x<0,又因为当 x<0 时 f(x)=-x (x+1)
2

故 f(-x)=-x (-x+1)=x (x-1)=f(x)
2 2

设 x<0,则-x>0 又因为当 x>0 时 f(x)=-x (x-1)
2

故 f(-x)=-x (-x-1)=-x (x+1)=f(x)
2 2

综上得,对任意 x ? R,有 f(-x)=f(x) 故 f(x)为偶函数 14.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)设函 数y?
f (x )

是定义在 R 上的减函数,并且满足 f ( xy) ?
?

f ( x) ? f ( y )



?1? f ? ? ?1 ?3?


f (2 ? x) ? 2

(1)求 f (1) 的值, (2)如果 f ( x) ?

,求 x 的取值范

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围。 (12 分)

二.能力拔高 15. (湖北省八校 2012 届高三第一次联考理)定义在 R 上的函 数 f ( x) 满足:对于任意的
x, y ? R, 都有f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 2011.

且当 x ? 0时, 有f ( x) ? 2011 , M、 设

N分 别为 f ( x) 在[-2012,2012]的最大值与最小值,则 M+N 的值 为 ( )

A.4022 B.4024 C.2011 D.2012

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因此 f ? x ? ? g ? x ? ? 2011 ,则函数 f ? x ? 的最大值为 m ? 2011 ,最小 值为 ?m ? 2011 , 所以 M ? N ? 4022 ,故选 A。 16.(江西省2012 届十所重点中学第二次联考文 ) 设函数
f ( x ) ? x ? 3x ( x ? R )
3

,若

0?? ?

?
2

时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) >0恒成立,则实数m的取值范围是 ) B. (-∞,0) C. (-∞,0) D. (-

( A. (0,1) ∞,1)

17. (2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试理)数 f ( x) 对 任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (3) , y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,且 f (4) ? 4 ,则 f (2012) ? A.0 B.-4 C.-8 D.-16
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18. (湖北文科数学冲刺试卷(二))

答案:B 解析:由题意得,设 x ? ? 0, 2? ,则 ? x ? ? ?2, 0 ? , 又函数为奇数,所以 f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ?2 ,
?x

即 g ? x ? ? log

5

(x ?

5 ? x ) ? ?2
2

?x

1 x ? g ? x ? ? ?( ) ? log 5 ( x ? 2

5? x )
2



利用函数的结论此函数在定义域上位单调递增函数, 所以函数 g ? x ?
max

? g ? 2? ?

3 4

,故答案选 B.

19. ( 中 原 六 校 联 谊 2012 年 高 三 第 一 次 联 考 理 ) 已 知
f ( x )( x ? R, 且x ? k ? ?

?
2

(k ? Z ))

是周期为 ? 的函数,当 x∈( ? ? , ? )
2 2

时, f ( x) ? 2 x ? cos x. 设 a ? A.c<b<a

f ( ?1), b ? f ( ?2), c ? f ( ?3)

则 D.c<a<b

B.b<c<a

C.a<c<b

20.(山西省 2012 年高考考前适应性训练理)已知 f ( x) ?
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| 2 ? 1 | ?2
x

x

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的单调减区间为( A . (??, ? 1) D. (?1, ? ?)

) B . (?1, 0) C . (??, 0)

21. (长春市实验中学 2012 届高三模拟考试(文))已知定 义在 R 上的函数 y ? 满足不等式 f ( s 值范围是 A. [?2,10] 【答案】B 【解析】本题考查函数的性质、简单的线性规划问题,考查 数形结合的思想。 由所给函数性质有 f ( s ? 2s) ? f (t ? 2t ) ,于是 s ? 2s ? t ? 2t ,再结 合 1 ? s ? 4 ,由线性规划方法,可求得 3t ? s ? [?2,16] ,选 B 22.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增 函数,则( ).
2 2
2 2

f (x )

是增函数,且为奇函数,若实数 s,t
2

2

? 2 s ) ? ? f ( 2t ? t )

,则当 1≤s≤4 时,3t+s 的取

B. [?2,16]

C.[4,10]

D.[4,16]

A. f (?25) ? C.

f (11) ? f (80)

B. D.

f (80) ? f (11) ? f ( ?25) f ( ?25) ? f (80) ? f (11)

f (11) ? f (80) ? f ( ?25)

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23. (浙江省杭州学军中学 2012 届高三第二次月考理)

24.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)已知
f ( x)

是定义在 R 上的函数, f (? ? x) ? ? f (? ? x) , f ( x ? ?) ? ?

? f ( x)



(1)函数 f ( x) 是不是周期函数,若是,求出周期。 (2)判断 f ( x) 的奇偶性 【解析】本试题主要考查了函数的周期性以及函数的奇偶性 的运用。 【答案】因为函数函数满足 f ( x ? 4) ?
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f [2 ? ( x ? 2)] ? ?

1 f ( x ? 2)

? f ( x)

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所以周期为 4, (2) f (? ? x) ? ? f (? ? x) ,令 u=2-x,则 x=2-u 故 f(u)=-f(4-u),即
f ( x) ? ? f (? ? x)

以-x 代 x,得到 f(-x)=-f(x+4) 结合(1)知, f (? x) ? ? f ( x) 所以函数 f(x)是奇函数 三.提升自我 25.(浙江省 2012 届理科数学高考领先卷—名校精粹重组试卷理)定义 在 (—1, 上的函数 f(x)满足: ( x) ? f ( y ) ? 1) f 时,有
f ( x) ? 0
x? y f( ) 1 ? xy

; x, y ? (?1,0) 当

;若 ,

1 1 1 1 P ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( 2 ) ?? ? f ( ) 2 5 11 r ? r ?1 2012 ? 2012 ? 1 1 Q? f( ) 2

,R=f(0).则 P,Q ,R 的大小关系为 B. P ? R ? Q C. R ? P ? Q

A. R ? Q ? P D.不能确定

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26.(山东省济南市 2012 届高三 3 月(二模)月考理)偶函 数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x ∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)= 4]上解的个数是 A. 1 D. 4 B. 2 C. 3
? 1 ? ? ? ? 10 ?
x

,在 x∈[0,

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【原创预测】 1.已知函数 f ( x) ? x
2

? bx ? 1

是 R 上的偶函数,则实数 b ? _____;

不等式 f ( x ? 1) ? | x | 的解集为_____.

2.定义在 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? kx ? b ( k , b 为 常数) ,使得 f ( x) ? g ( x) 对 一切实数 x 都成立 , 则称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数.现有 如下函数: ①
f ( x) ? x
3



f ( x) ? 2

?x



? lg x, f ( x) ? ? ? 0,

x ? 0, x?0



f ( x) ? x ? sin x

则存在承托函数的 f ( x) 的序号为
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.(填入满

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足题意的所有序号) 【答案】②④ 【解析】 对于①,结合函数 f ? x ? 的图象分析可知,不存在 函数 g ? x ? 使得 f ? x ? ? g ? x ? 对一切实数 x 都成立, f ? x ? 不存在承 托函数;

3.已知函数

(m 为常数),对任意的 恒成立.有下列说法:

①m=3; ②若 则 b=1; ③已知定义在 R 上的函数 F(x)对任意 x 均有 立,且当 常数) ,若存在 时, ;又函数 使得 成 (c 为 成立,则 c (b 为常数)的图象关于直线 x=1 对称,

的取值范围是(一 1,13).其中说法正确的个数是 (A)3 个 (B)2 个 (C)1 个 (D)O 个

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