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高三一轮复习13正弦定理余弦定理老师版

时间:2014-01-03


高三总复习一轮 2014 年高考
正弦定理和余弦定理
考点集结 一、正弦定理和余弦定理
1、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 余弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?cos A, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2

ac cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C.

变 形 形式

①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; ②sinA=

a b c ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R

③a:b:c=sinA: sinB: sinC; ④

a?b?c a ? sin A ? sin B ? sin C sin A

b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ; 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? ; 2ca a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . 2ab

解 决 的 问 题

① 已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; ① 已知三边,求各角; ② 已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他 ② 已知两角和它们的夹角, 求 两角。 第三边和其他两个角。

注: 在Δ ABC 中, sinA>sinB 是 A>B 的充要条件。 (∵sinA>sinB ? A>B)

a b ? ? a>b ? 2R 2R

二、应用举例
1、实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下文的叫俯角 (如 图①)

(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为α (如图②) 注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言 的,而方位角是相对于正北方向而言的。 (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东 ? 即由指北方向顺时针旋转 ? 到达目标方向;
? ?

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②北偏本 ? 即由指北方向逆时针旋转 ? 到达目标方向;
? ?

③南偏本等其他方向角类似。 (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ 为坡角) 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④, i 为坡比) 2、Δ ABC 的面积公式

1 a?ha (ha 表示a边上的高) ; 2 1 1 1 abc (2) S ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ? ( R为外接圆半径) ; 2 2 2 4R 1 (3) S ? r (a ? b ? c)(r为内切圆半径) 。 2
(1) S ?

考点一:正弦定理、余弦定理的简单应用 〖例 1〗 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的 边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B , (11
则 sin A cos A ? cos B ? (
2

) C. -1 D. 1

A.

1 2

B.

1 2

答案:D

在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin Bsin C ,则 A 的取值范围是 ? ? ? ? (A) (0, ] (B) [ , ? ) (C) (0, ] (D) [ , ? ) 6 6 3 3 答案:C b2 ? c 2 ? a 2 1 解析:由 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C 得 a2 ? b2 ? c2 ? bc ,即 ? , 2bc 2 1 ? ∴ cos A ? ,∵ 0 ? A ? ? ,故 0 ? A ? ,选 C. 2 3

考点二:利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围 〖例 2〗 (10 上海文)若△ ABC 的三个内角满足 sin A :sin B :sin C ? 5:11:13 则△ (1)
ABC
A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形. C.一定是钝角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 解析:由 sin A : sin B : sin C ? 5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得 cos c ?

5 2 ? 112 ? 13 2 ? 0 ,所以角 C 为钝角 2 ? 5 ? 11
AC 的值等于______, 的取值范围为________. AC cosA AC 1 AC 即 = .∴ =2. 2sinAcosA sinA cosA

(2) 在锐角△ABC 中, BC=1, B=2A, 则 AC BC 解析:由正弦定理得 = . sin2A sinA

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∵△ABC 是锐角三角形, π π π π π ∴0<A< ,0<2A< ,0<π-3A< ,解得 <A< . 2 2 2 6 4 由 AC=2cosA 得 AC 的取值范围为( 2, 3). 答案:2 ( 2, 3)

π π b sin2C 1、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, <C< 且 = 3 2 a-b sinA-sin2C (1)判断△ABC 的性状; (2)若| BA + BC |=2,求 BA ·BC 的取值范围. b sin2C 解:(1)由 = 及正弦定理得 sinB=sin2C, a-b sinA-sin2C ∴B=2C,且 B+2C=π, π π 2 若 B=2C, <C< ,∴ π<B<π,B+C>π(舍); 3 2 3 ∴B+2C=π,则 A=C,∴△ABC 为等腰三角形. (2)∵| BA + BC |=2,∴a2+c2+2ac· cosB=4, 2-a2 ∴cosB= 2 (∵a=c), a π π 而 cosB=-cos2C, <C< , 3 2 1 ∴ <cosB<1, 2 4 ∴1<a2< , 3

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ??? ??? ? ? ? 2 又 BA ·BC =accosB=2-a2,∴ BA ·BC ∈( ,1). 3
B a+c 2、在△ABC 中,cos2 = ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为 2 2c ( ) A.正三角形 C.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形

cosB+1 a+c B a+c a 解析:∵cos2 = ,∴ = ,∴cosB= , 2 2c 2 2c c ∴ a2+c2-b2 a = , 2ac c ∴a2+c2-b2=2a2,即 a2+b2=c2, 答案:B

∴△ABC 为直角三角形.

考点三:利用正余弦定理求三角形的面积

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〖例 3〗 (2009 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足
cos
? A 2 5 ??? ???? ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1 ,求 a 的值. 解 析 : ( Ⅰ ) cos A ? 2 cos
2

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5

w.w

又 A ? (0, ? ) ,

sin A ? 1 ? cos2 A ?

4 3 ,而 AB. AC ? AB . AC . cosA ? bc ? 3 ,所以 bc ? 5 ,所以 5 5

1 1 4 ?ABC 的面积为: bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ?

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

1、 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 在 角 且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. 解 (1) 因为 cos

? A 2 5 ??? ???? ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

A 2 5 3 4 2 A ? ? ? 1 ? ,sin A ? , , cos A ? 2cos 2 5 2 5 5 ??? ??? ? ? 又由 AB ? AC ? 3 1 B 得 bc cos A ? 3, ?bc ? 5 ,? S?ABC ? bc sin A ? 2 2 (2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 , ?b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得

A

D

C

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5
2、在 ? ABC 中,sin(C-A)=1, sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积。 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本 小题满分 12 分 解: (I)由 sin(C ? A) ? 1, ?? ? C ? A ? ? , 知 C ? A ?

1 。 3

?
2



又 A ? B ? C ? ? , 所以 2 A ? B ? 故 cos 2 A ? sin B,1 ? 2sin A ?
2

?
2

, 即 2A ?

?
2

? B, 0 ? A ?

?
4

.

1 3 ,sin A ? . 3 3

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(II)由(I)得: cos A ? 又由正弦定理,得: 所以 S?ABC

6 . 3

BC AC sin A ? , BC ? ? AC ? 3 2, sin A sin B sin B 1 1 ? AC ? BC ? sin C ? AC ? BC ? cos A ? 3 2. 2 2

考点四:利用正余弦定理求角 〖例 4〗 (2011 届稽阳联考)如右图,在△ ABC 中, D 为 BC 边上一点,
?BAD ? ? ,   ?CAD ? ? , cos? ?
(1)求 ?BAC 的大小; (2)当 D为BC中点 时,求

2 5 3 10 , cos ? ? . 5 10

A

AC 的值. AD
2

解: (1) 由已知, sin ? ? 1 ? cos

??

5 …………………1 分 5

B

D

C

sin ? ? 1 ? cos2 ? ?

10 …………………2 分 10

cos?BAC ? cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? …………3 分 ?

?

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? …………………5 分 5 10 5 10 2

∵ ?BAC ? (0, ? ) ∴ ?BAC ? (2) ?ABD中,

?
4

.………………………… 7 分

BD AD (1)…………………9 分 ? sin ? sin B

BC AC (2)………………11 分 ?ABC中, ? sin(? ? ? ) sin B

1 BC 2 14 分 (2) AC BC sin ? 2 sin ? 2 5 2 10 ? ? ? ? ? ? ? 2? (1) AD sin(? ? ? ) BD sin(? ? ? ) 5 5 ? BD ?
(2010 山东文)在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若a?

2 , b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为

.

【解析】由 sin B ? cos B ?

2 得 1 ? 2sin B cos B ? 2 ,即 sin 2B ? 1,因为 0<B<? ,所

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以 B=45 ,又因为 a ? 2 , b ? 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦定理得:
?

2 2 , = sin A sin 45?

解得 sin A ?

1 ? ? ,又 a <b ,所以 A<B=45 ,所以 A=30 。 2

考点五:正余弦定理实际应用问题 〖例 5〗 (本小题满分 12 分)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+
3)海里的两

个观测点,现位于 A 点北偏东 45° 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 ,B 的 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海 里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解 由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° . DB AB 在△DAB 中,由正弦定理,得 = , sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5(3+ 3)· 45° sin ∴DB= = sin 105° sin∠ADB = 5(3+ 3)· 45° sin 5 3( 3+1) = =10 3(海里). sin 45° 60° cos +cos 45° 60° sin 3+1 2

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° ,BC=20 3(海里), 在△DBC 中,由余弦定理,得 CD2=BD2+BC2-2BD· cos ∠DBC BC· 1 =300+1 200-2×10 3×20 3× =900, 2 ∴CD=30(海里), 30 ∴需要的时间 t= =1(小时).故救援船到达 D 点需要 1 小时. 30 一船向正北航行, 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在 一条直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60° 另一灯塔在船的南偏西 75° , , 则这艘船的速度是每小时 ( ) A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里 解析:如图所示,设 A、B 为相距 10 海里的灯塔,半小时后这艘船到达 S 点, 则∠ASB=75° -60° =15° ,∠SBO=30° ,∴∠SAB=15° , 1 即 AB=BS=10,∴SO= SB=5, 2 1 设船的速度为 v,则 v=5,∴v=10. 2 答案: C

【当堂应用】

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1.(2010 年高考宁夏卷文科 16)在 ? ABC 中,D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ?

2,

?ADB ? 135? .若 AC ? 2 AB ,则 BD=_____【答案】 2 ? 5
2. ( 2010 年 高 考 全 国 Ⅰ 卷 文 科 14 ) 已 知 ? 为 第 二 象 限 的 角 , sin a ?

. tan 2? ? 24 ? 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正 7 切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为 ? 为第二象限的角,又 sin ? ? 所 tan(2? ) ?

3 ,则 5

2 tan ? 24 ?? 2 1 ? tan ? 7

3 4 sin ? 3 , 所以 cos ? ? ? , tan ? ? ?? , 5 5 cos ? 4

3. (2010 年高考全国卷Ⅱ文科 13) 已知α 是第二象限的角,tanα =1/2, cosα =__________ 则

2 5 5 【解析】 ?

tan ? ? ?
: ∵

2 5 1 cos ? ? ? 5 2 ,∴

20 4.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 atanB= ,bsinA=4. 3 (1)求 cosB 和 a; (2)若△ABC 的面积 S=10,求 cos4C 的值. 20 3 解:(1)由 bsinA=4,得 asinB=4, 又 at anB= ,∴cosB= . 3 5 20 4 4 又由 atanB= 知 tanB>0,则 sinB= , tanB= ,故 a=5. 3 5 3 1 (2)由 S= acsinB,得 c=5,∴A=C. 2 3 2 7 2 2 2 由 cos4C=2cos 2C-1=2cos (A+C )-1=2cos B-1=2×( ) -1=- . 5 25 5、 ?ABC 的内角 A 、 、 的对边长分别为 a 、 、 , 设 b c cos( A ? C ) ? cos B ? B C 求 B 。 09 全国卷 7 页 分 析 : 由 c o A? C ? ) s (

3 2 , ? ac , b 2

3 B ? , 易 想 到 先 将 B ? ? ? ( A ? C) 代 入 c o s 2

c o A? C ? ) s (
展开得 sin A sin C ?

3 3 然后利用两角和与差的余弦公式 B ? 得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? c o s 2。 2
3 2 2 ; 又由 b ? ac , 利用正弦定理进行边角互化, sin B ? sin A sin C , 得 4

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进而得 sin B ?

3 ? 2? 2? .故 B ? 或 。 大部分考生做到这里忽略了检验, 事实上, B ? 当 2 3 3 3
1 2 3 ? 2 ? 1 ,矛盾, 2

时,由 cos B ? ? cos(A ? C ) ? ? ,进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 应舍去。 也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ?
2

2? 。不过这种方法学生不易想到。 3

6、 如图, 一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内, 已知飞机的高度为海拔10千米, 速度为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过2分钟后又看到山顶的俯角为 75°,求山顶的海拔高度。

解:在△ABP中,∠BAP=30°,∠APB=75°-30°=45°

AB ? 180 ?

2 ?6 60

根据正弦定理,

AB BP 6 BP , , BP ? 3 2 ? ? ? sin ?APB sin ?BAP sin 45 sin 30 ? 3?3 3 BP ? sin 75 ? ? 3 2 ? sin(45 ? ? 30 ? ) ? 2
3 ? 3 3 17 ? 3 3 (千米) ? 2 2

所以,山顶 P 的海拔高度为 h ? 10 ?


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