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洛阳市2013—2014学年高三年级期末考试数学试卷(理)


洛阳市 2013—2014 学年高三年级期末考试数学试卷(理)
一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.设复数 z= A. - i 5 C. i 3 2.函数 f ( x) ? 2+i ( i 为虚数单位)的共轭复数是 2i-1 B. i 5 D.- i 3

/>ln( x ? 3) 1 ? 2x

的定义域是

A. (-3,0) B. (-3,0 ] C. (-∞,-3)∪(0,+∞) D. (-∞,-3)∪(-3,0) 3.执行右图所示的程序框图,输出 S 的值为 A. C.

3 4
11 4

4 B. 5 D. 14 5

4.利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a ,则事件“ 8 A. 9 B. 1 9 C. 2 3

?

3

0

x 2 dx ?

1 ”发生的概率为 81
D. 1 3

5.已知数列 {an } 是等差数列,且 a3 ? a6 ? 5 ,数列 {bn } 是等比数列,且 b5 ? A.1 B.5 C.10 6.某四面体的三视图如图所示,该四面体的六条棱的最大长度是 A.4 2 C.2 6 B.2 7 D.2 5

a2 ? 5a5 ,则 b2 ? b8 ?
D.15

x2 y 2 7.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F(c, 0), 若直线 a b
x y 2 2 2 + =1 与圆 x ? y ? a 相切,则双曲线的离心率为 c b A.

3? 5 2

B. 3 ? 5

C.

1? 5 2

D. 1 ? 5

8.设 n 为正整数, ( x ? A.16

1 x x

) 2 n 展开式中存在常数项,则 n 的一个可能取值为
C.4
1

B.10

D.2

9.已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (? ? x) ,且当 x ? (? A. f (1) ? f (2) ? f (3) C. f (3) ? f (2) ? f (1)
→ → → → → →

? ?

, ) 时, f ( x) ? e x ? sin x ,则 2 2

B. f (2) ? f (3) ? f (1) D. f (3) ? f (1) ? f (2)
→ 3

10.已知向量 a , b , c 满足| a |=| b |= 3 , a · b = A.4
2

2

,| c - a - b |=1, 则| c |的最大值为 D.2

→ → →



B.1+ 3
2

C.3+ 3

11.若正数 x, y, z 满足 x ? 4 y ? z ? 3xy ,则当 3 B. 2
2

1 1 1 xy 取最大值时, ? ? 的最大值为 x 2y z z
C.1 D. 1 2

A.2

12.已知函数 f ( x ) ? x ? 4 ? 3 x ? m 恰有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 A. (-6,6)∪( 25 ,+∞) 4 B. ( 25 ,+∞) 4 C. (-∞,25 )∪(-6,6) 4 D. (25 ,+∞) 4

二、填空题:本题共 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13.函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? 60 ) 的最大值为_____________.
?

?y≤2 ? 14. 已知 a >0, x, y 满足约束条件?x+y≥1 , 若 z ? 3x ? y 的最大值为 11, 则实数 a 的值___________. ? ?x-ay≤1
15.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的上,下顶点分别为 A1,A2 ,左顶点为 B1 ,左焦点为 F1,若直线 A1F1 交直线 A2B2 4 3

于点 D, 则 cos∠B1DF1=____________. 16.已知三棱锥 D-ABC 中,AB=BC=1,AD=2,BD= 5 ,AC= 2 ,BC⊥AD, 则三棱锥的外接球的体积为 =_____________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,cos2C+2 2cosC+2=0. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 b= 2 a ,?ABC 的面积为 2 sinAsinB, 求 sinA 及 c 的值. 2

2

18. (本小题满分 12 分) 在某中学举办的校园文化周活动中,从周一到周五的五天中,每天安排一项内容不同的活动供学生选 择参加,要求每位学生必须参加三项活动. 其中甲同学必须参加周一的活动,不参加周五的活动,其余的 三天的活动随机选择两项参加. 乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加. (1)求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率; (2)设 X 表示甲,乙,丙三名同学选择周三的活动的人数之和,求 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 3 ,AD=1,M 是线段 AD 的中点. (1)试过 M 点作出与平面 A1B1CD 平行的直线 l ,说明理由,并证明: l ⊥平面 AA1D1D; (2)若(1)中的直线 l 交直线 AC 于点 N,且二面角 A-A1N-M 的余弦值为 15 ,求 AA1 的长. 5

D M N A B D1

C

C1

A1
20. (本小题满分 12 分)

B1

x2 y 2 1 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F( 3 ,0),且椭圆 C 经过点 P( 3 , ) . 2 a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交直线 x=m(m> a )于 M 点,若 k PA , k PM , k PB 成等差数 列,求实数 m 的值.
y P B 0 A F m x M

3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? e x .
x 2 2

(1)若曲线在点 (2, f (2)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 x ? (0,1) 时,总有 f ( x)>xe ? e x ? 1 , 求实数 a 的取值范围.
x 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答. 如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 在圆内接四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 E, 过点 A 作圆的切线交 CB 的延长线于点 F.若 AB=AD,AF=18, BC=15,求 AE 的长.
F A

B

E

D

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 以平面直角坐标系的原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线 C 的参数方程为 ?x=2cos? ? ? (?是参数),直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 3 . ?y= 3sin? 6 (1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程; (2)设点 P 为曲线 C 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 - x . (1)求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)若存在 x∈R,使得 f ( x) ≤m 成立, 求实数 m 的取值范围.

4

5

6

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9


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