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高中数学人教版选修2-1教学设计:3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示


§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
学习目标
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律;

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P92-96 找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本定理: ?? ??? 对平面上的任意一个向量 P , a,b 是平面上两个 向量,总 ?

?? ?? 是存在 实数对 ? x, y ? ,使得向量 P 可以用 a,b 来表示,表达式为 ?? ? ? . 若 a ? b ,则称向量 P 正交分解.

??? ,其中 a,b 叫做

复习 2:平面向量的坐标表示: 平面直角坐标系中,分别取 x 轴和 y 轴上的 向量 ? ?? ? ? ? ,则称有序对 ? x, y ? i, j 作为基底,对平面上任意向量 a ,有且只有一对实数 x,y,使得 a ? xi ? y j , ? ? 为向量 a 的 ,即 a = .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的正交分解 ? 问题:对空间的任意向量 a ,能否用空间的几个向量唯一表示?如果能,那需要几个向量?这几个向量有何 位置关系?
新知:
? ?? ? ?? ? ?? ? ⑴ 空 间向量的正交分解 :空 间的任意向量 a ,均可分解为不共面的三个向量 ?1 a1 、 ?2 a2 、 ?3 a3 ,使 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ,这种分解就是空间向量的正交分解. a ? ?1 a1 ? ?2 a2 ? ? 3 a 3. 如果 a1 , a2 , a3 两两

? ? ? (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c , ?? ? ? ? ? ? 对空间任一向量 p ,存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 p ? xa ? yb ? zc . 把 量.

? ? ? 的一个基底, a, b, c 都叫做基向

反思:空间任意一个向量的基底有

个.

⑶单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度都为 ,则这个基底叫做单位正交基底, 通常用{i,j,k}表示. ⑷空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向 ? ? ? ? 的单位向量,则存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 a ? xi ? y j ? zk ,则称有序实数组 {x, y, z} 为向量 a 的坐标, ? ? 记着 p ? .

???? ⑸设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB =
⑹向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

.

⑶λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 . 试试: ? ? ? ? ? 1. 设 a ? 2i ? j ? 3k ,则向量 a 的坐标为 . ???? 2. 若 A (1,0, 2) ,B (3,1, ?1) ,则 AB = . 3. 已知 a= (2, ?3,5) ,b= (?3,1, ?4) ,求 a+b,a-b,8a,a·b

※ 典型例题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 例 1 已知向量 a, b, c 是空间的一个基底, 从向量 a, b, c 中选哪一个向量, 一定可以与向量 p ? a ? b, q ? a ? b 构成空间的另一个基底?

??? ? ??? ? ???? 变式:已知 O,A,B,C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么点 O,A,B,C 是否共面?

小结:判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是:这三个向量一定不共面.

??? ? ??? ? ???? ??? ? 例 2 如图,M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的中点,P,Q 是 MN 的三等分点,用 OA, OB, OC 表示 OP ???? 和 OQ .

变式:已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,点 G 是侧面 BB 'C 'C 的中心,且 ??? ? ? OA ? a , ? ? ? ? ? ???? ? ???? OC ? b, OO' ? c ,试用向量 a, b, c 表示下列向量: ???? ? ???? ???? ???? ⑴ OB' , BA' , CA' ; ⑵ OG .

※ 动手试试 ? ? ? 练 1. 已知 a ? ? 2, ?3,1?, b ? ?2,0,3 ?, c ? ?0,0,2 ? ,求: ? ? ? ? ? ? ⑴a? b?c ; ⑵ a ? 6b ? 8c .

?

?

? ??? ? ???? ???? 练 2. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2,以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AA' 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建 ? ???? ???? 立空间直角坐标系,则点 D1 , AC, AC ' 的坐标分别是 , , .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理; 2. 空间向量坐标表示及其运算 ※ 知识拓展 建立空间直角坐标系前,一定要验证三条轴的垂直关系,若图中没有建系的环境,则根据已知条件,通过 作辅助线来创造建系的图形.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? ???? 1. 若 a,b,c 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成基底的是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a, a ? b, a ? b B. b, a ? b, a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. c, a ? b, a ? b D. a ? 2b, a ? b, a ? b

? ?

??? ? ? ? ? 2. 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,且 AB ? ?i ? j ? k ,则点 B 的 坐标是 ??? ? ??? ? ???? ???? 3. 在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心(三条中线的交点) ,选取 OA, OB, OC 为基底,试用基底表示 OG = ? ??? ? ???? ???? 4. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2,以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AA' 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空 间直角坐标系,E 为 BB1 中点,则 E 的坐标是 . ? ? ? ? ? 2 2 5. 已知关于 x 的方程 x ? ? t ? 2? x ? t ? 3t ? 5 ? 0 有两个实根, c ? a ? tb ,且 a ? ? ?1,1,3? , b ? ?1,0, ?2? , ? 当 t= 时, c 的模取得最大值.

课后作业

??? ? ??? ? 1. 已知 A ? ? 3,5, ?7 ?, B ? ? ?2,4,3 ? ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的长度.

? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? 2. 已知 a, b, c 是空间的一个正交基底,向量 a ? b, a ? b, c 是另一组基底,若 p 在 a, b, c 的坐标是 ?1, 2,3? ,求 p ? ? ? ?? 在 a ? b, a ? b, c 的坐标.


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