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第二章 复习小结


第二章 复习小结

知识网络图:

函数研究的基本方法流程图:

阅读教辅32页~33页

(一) 函数单调性的复合运算规律 重要结论: 在f(x),g(x)的公共定义域内: ①若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)+g(x)是增函数; (简记为增函数+增函数=增函数) ②若f(x)是

减函数, g(x)是减函数,则f(x)+g(x)是减函数; (简记为减函数+减函数=减函数) ③若f(x)是增函数, g(x)是减函数,则f(x)-g(x)是增函数; (简记为增函数-减函数=增函数) ④若f(x)是减函数, g(x)是增函数,则f(x)-g(x)是减函数. (简记为减函数-增函数=减函数)

1 ⑤若f(x)是增函数,则 f ( x ) 是减函数( f ( x ) ? 0) ;

⑥若f(x)是增函数,则 f ( x) 是增函数( f ( x ) ? 0) ;

⑦若f(x)是增函数,则 -f(x)是减函数;
⑧若f(x)是增函数,g(x)是增函数,
g( x ) ? 0) . 则 f(x )· g(x)是增函数 ( f ( x ) ? 0, 证明: ⑤ 令u= f(x) , 则 y ? 1 u ∵ u=f(x)是增函数, 且 u >0, y ? 1 在 u∈(0 , +∞) 是减函数 , u
? y? 1 是减函数 . f ( x)

(二)复合函数的单调性判断法则 对于复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上单调 增(减)函数,且 y=f(u)在区间 (g(a),g(b)) (或(g(b),g(a)) 上是单调函数,则 y=f[g(x)] 在区间 (a,b)上的单调性 如下: u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]



















(三)函数奇偶性的复合运算规律
( 1)一般性结论( k ? 0 ) :

f ( x)
奇 偶 奇

g( x )
奇 偶 偶

kf ( x )
奇 偶 奇

k f ( x)
奇 偶 奇

f ( x ) ? g( x )
奇 偶 非奇非偶

f ( x ) ? g( x )
偶 偶 奇

f [ g( x )]
奇 偶 偶

(2)一般性结论:对于任意函数f(x)而言,若f(x)与f(-x)的定义域 的交集不是空集,则F(x)= f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)= f(x)-f(-x)是奇函数. (3)一般地,任意一个函数f(x)可以表示成一个奇函数与偶函数之 和:

f ( x ) ? f (? x ) f ( x ) ? f (? x ) f ( x) ? ? 2 2

1. 指数与对数运算
例1. 化简求值:
9 2

() 1 a

3

a ?3 ?
1 2 2

3

a ?7 ? 3 a13 ;
1 ? log 0.25 ? 9log 5 5 ? log 3 1 . 4
3 1 2 3 ? 7 3

(2) (log 3 3 ) ? 3
解:(1)

? log 3 2

原式 ? (a ? a ) ? (a

9 2

?

?a )

13 1 3 2

? (a ) ? (a )

1 3 3

1 2 2

? a ?a ? 1 .

(2) (log 3 3 ) ? 3

1 2 2

? log 3 2

1 ? log 0.25 ? 9log 5 5 ? log 3 1 . 4
?1

解:原式 ? ( 1 log3 3)2 ? 3log3 2 ? 1 ? 9 log5 5 ? 0 2 ? ( 1 ) 2 ? 2 ?1 ? 1 ? 9 2 2 ? 1 ? 1 ?1? 9 4 2 2

1 2

? 21 . 4

2. 指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质应用 2 例2. 若-1<loga <1,求 a 的取值范围. 3 1 22 2 解: ? 1 ? loga ? 1 ? log ? log ?? log log log log a a a a a ?? a a a a a 33 3 ① 当a>1时,y=logax为增函数,
3 1 2 ? ? ?a 得 a? . 2 a 3 y=logax为减函数, ② 当0<a<1时,

2 3 综上 a 的取值范围为:0 ? a ? 或 a ? . 3 2

1 2 3 ? ? ?a 得 0?a? . a 3 2

例3.(教辅练习册25页第9题)
已知幂函数 f ( x) ? x (k ? N ) 满足 f (2) ? f (3) ( 1)求 k 的值并求出相应的 f ( x ) 的解析式; ( 2)对于( 1)中得到的函数 f ( x ) ,试判断 是否存在正数 q ,使函数 g ( x) ? 1 ? qf ( x) ? (2q ? 1) x
? k 2 ?k ?2

17 在区间 [?1, 2] 上的值域为 [?4, ] ?若存在,求出 q ; 8
若不存在,说明理由

解: (1)∵ f(2)<f(3),

∴幂函数f(x)在第一象限是增函数

?? k 2 ? k ? 2 ? 0 ? ?1 ? k ? 2
又 k ? N , ∴ k=0 或 k=1.
2 当 k=0 或 k=1时, ?k ? k ? 2 ? 2

? f ( x) ? x2 .

由(1)知, (2)假设存在q>0满足题设,
.

g( x) ? ?qx 2 ? (2q ? 1) x ? 1, x ? [?1, 2]

g(2) ? ?1 , ∴两个最值点只能在端点 (?1, g( ?1))
2q ? 1 4q ? 1 , ) 处取到. 和顶点 ( 2q 4q
2

y

1 ? [?1, 2] 且g(x)对称轴 x ? 1 ? 2q

-1

O 1

2

x

4q ? 1 17 ? gmax ( x ) ? ? , 4q 8
2

gmin ( x ) ? g(?1) ? 2 ? 3q ? ?4 , ? q ? 2.
故存在q=2满足题意.

x ?x a ? a , (a ? 0 , 且a ? 1 ) . 例4 已知 f ( x ) ? x ?x a ?a (1)求函数 f(x) 的定义域和值域;

(2)判断函数 f(x) 的奇偶性 .

(3)讨论函数 f(x) 的单调性 .
解: R. (1)函数 f(x) 的定义域为: 2x x ?x a ?1 , a ? a ? 令 y ? f ( x) ? x a ? a?x a2x ? 1 1? y 则 a2x ? ? 0 ? ?1 ? y ? 1 1? y 故函数 f(x) 的值域为:(-1,1) .

x ?x a ? a , (a ? 0 , 且a ? 1 ) . 例4 已知 f ( x ) ? x ?x a ?a (1)求函数 f(x) 的定义域和值域;

(2)判断函数 f(x) 的奇偶性 .
(3)讨论函数 f(x) 的单调性 .
2x a (1)解法2: f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 1 ? 2 x2 a ?1 a ?1

? a ? 0, 且a ? 1 ,

2 ? 1 即 ? 1 ? y ? 1. a2x ? 1 故函数 f(x) 的值域为:(-1,1) . ? ?1 ? 1?

a ? a , (a ? 0 , 且a ? 1 ) . 例4 已知 f ( x ) ? x ?x a ?a (1)求函数 f(x) 的定义域和值域;
x

?x

(2)判断函数 f(x) 的奇偶性 . (3)讨论函数 f(x) 的单调性 .

解: (2)∵ 函数 f(x) 的定义域为R ,

a ? a ? ? a ? a ? ? f ( x) , 且 f (? x ) ? ? x x x ?x
x x

?x

?x

a

?a

a ?a

∴ 函数 f(x) 是奇函数.

x ?x a ? a , (a ? 0 , 且a ? 1 ) . 例4 已知 f ( x ) ? x ?x a ?a (3)讨论函数 f(x) 的单调性 .

解: (3)设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , 2 ) ) ? ( 1 ? 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ? 2 x2 a 1 ?1 a 2 x2 ? 1 2(a 2 x1 ? a 2 x2 ) ? 2 x1 (a ? 1)(a 2 x2 ? 1)
又 a
2 x1

当 0 ? a ? 1 时, 由 x1 ? x2 得 a 2 x1 ? a 2 x2 即 a 2 x1 ? a 2 x2 ? 0,
?1? 0 , a
2 x2

? 1 ? 0 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 故 0<a<1时,f(x) 在R上为减函数.
同理 当 a>1时,f(x) 在R上为增函数.

课后作业
1.教辅第56页~ 60页 2.教辅练习册第26页 复习小结 3.预习教材第86页~88页 3.1.1


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