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高一数学 对数的概念ppt


对数的概念
广东仲元中学2004.10

引入: 1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取4次,还有多长? (2)取多少次,还有0.125尺? 2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元, 如果每年平均增长8%,那么经过多少年国 民生产总值是2002年的2倍? 抽象出:1
?1? (1 ). ? ? ? ? ?2?
x


4

?1? ( 2 ). ? ? ? 0 . 125 ? x ? ? ?2?

x

2 .?1 ? 8 % ? ? 2 ? x ? ?

这是已知底数和幂的值,求指数! 你能看得出来吗?怎样求呢?

3 .在式子 2 =16 中,

4

有三个数2(底),4(指数)和16(幂) (1)由2,4得到数16的运算是 乘方运算。
记为:2 =16
4

(2)由16,4得到数2的运算是 开方运算。
记为:4 16 ? 2

(3)由2,16得到数4的运算是 对数运算!
记为: log 2 16 ? 4

定义: 一般地,如果 的b次幂等于N, 就是 a 以a为底 N的对数,记作
b

a ?a ? 0 , a ? 1?

? N ,那么数 b叫做
log
a

N ?b

a叫做对数的底数,N叫做真数。

例如:
4
10
2

? 16
? 100

? ? ? ?

log 4 16 ? 2
log
10

2

100 ? 2
2 ? 1 2

1

42 ? 2
10
?2

log

4

? 0 . 01

log

10

0 . 01 ? ? 2

探究: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ log a 1 ? 0 , log a a ? 1 对任意
1

a ? 0



a ?1

都有

a ? 1 ? log
0

a

1? 0

a ? a ? log a a ? 1

⑶对数恒等式
如果把 a b ? N 则有 中的 b写成
log
a

N

a

log

a

N

? N

⑷常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log 10 N 简记作lgN。
log 例如:
10

5

简记作lg5;log

10

3 .5

简记作lg3.5.

⑸自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 log 例如:log
e

e

N 简记作lnN。

3

简记作ln3 ;

log e 10

简记作ln10

(6)底数a的取值范围: ( 0 ,1) ? (1, ?? ) 真数N的取值范围 :
( 0 , ?? )

讲解范例 例1 将下列指数式写成对数式: (1) 5 4 ? 625 ? log 5 625 ? 4 (2) 2 (3)
?6

?

1 64

?

log

1
2

? ?6

64

3 ? 27 ?
a
m

log

3

27 ? a
1 3

?1? (4) ? ? ?3?

? 5 . 13 ? log

5 . 13 ? m

讲解范例 例2 将下列对数式写成指数式: (1) log 1 27 ? ? 3 ?
3

(2) log

1

?1? ? ? ?3?

?3

? 27

5

? ?3 ?

125

5

?3

?

1 125

(3) ln 10 ? 2 . 303 ? (4)
lg 0 . 01 ? ? 2 ?

e

2 . 303

? 10 ? 0 . 01

10

?2

讲解范例 例3计算:(1) log 9 27 解法一:设 x
log
9

? log

9

27 ,
9


? log

9
9

x

? 27 ,
3

3

2x

?3 ,
3

? x ?

3 2

解法二:

27 ? log

3

3

92 ?

3 2

(2) log 解法一:设

4

3

81
4

x ? log
4

3

81

则?

4

3

?

x

x

? 81 , 3 4 ? 3 4 ,

? x ? 16

解法二:

log

3

81 ? log

(4 3 ) 4 3

16

? 16

讲解范例 例3计算: (3)log ? 2 ? 3 ? ?2 ? 3 ? 则 ?2 ? 解法二: 解法一: 设 x ? log ? 2 ? 3 ? ?2 ? 3 ?
3

?

x

? 2?

3 ? 2?

?

3

?

?1

,

? x ? ?1
3

log ? 2 ?

3

? 2?

?

3 ? log ? 2 ?

?

? 2?

?

3

?

?1

? ?1

(4) log

3

5

4

625
3

解法一:设 x ? log 则

?

3

5

4

?

5
4 3

4

625
?5 ,
4

x

? 625 ,
3 4

x

5

? x ?3
( 5 ) ? 3
3 4 3

解法二: log

625 ? log

5

3

5

4

练习 1.把下列指数式写成对数式 (1) (2) (3)
2 ?8?
3

log
log
log

2

8?3
32 ? 5
1 ? ?1 1
27

2 ? 32 ?
5

2

2

?1

?
? 1 3

1 2

?

2

2 ? ? 1 3

(4)

27

?

1 3

?

log

3

练习 2 将下列对数式写成指数式: (1)
log
3

9 ? 2?

3 ?9
2

(2) log 5 125 ? 3 ? (3)
log 1
2

5 ? 125
3

? ?2 ?
? ?4 ?

(4) log

4 1

2 3

?2

?

1 4 1

3

81

?4

?

81

练习 3.求下列各式的值 (1) log (2) log (3) (4)
5

25
25

? 2

25 ? 1

lg 10

?1

lg 0 . 01 ? ? 2

(5)
(6)

lg 1000

?3

lg 0 . 001 ? ? 3

练习 4.求下列各式的值 (1) log (2)
0 .5

1 ? 0
81 625

log

9

? 2 ? 2

(3) log (4)

25

log

3

243

?5 ?3

(5)
(6)

lg 4 64

log

2

2 ? 2

小结 :

定义:一般地,如果

a ?a ? 0 , a ? 1?

的b次幂等于N, 就是

a

b

? N ,那么数 b叫做
log
a

以a为底 N的对数,记作

N ?b

a叫做对数的底数,N叫做真数。

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