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2015届湖南省岳阳县一中高三上学期第三次月考数学(理)试题

时间:2015-03-18


2015 届湖南省岳阳县一中高三上学期第三次月考 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 【题文】1. 设复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 2 ? xi ( x ? R ) ,若 z1 ? z2 ? R ,则 x ? ( A. ?1 B. ?2 C. 1 D. 2 )

r />
【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.L4 【答案】 【解析】B 解析: z1 ? z2 ? ?1 ? i ? ? 2 ? xi ? ? ? 2 ? x ? ? ? 2 ? x ? i

因为 z1 ? z2 ? R 所以 x ? 2 ? 0,? x ? ?2 ,故选 B. , 【思路点拨】先利用两个复数代数形式的乘法法则求出 z1 ? z2 ,由于它为实数,可得

x ? 2 ? 0 ,由此求得 x 的值.
【题文】2. 下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( A. y ? x 3 B. y ? ln(? x) C. y ? xe ? x )
[]

D. y ? x ?

2 x

【知识点】利用导数研究函数的极值;函数奇偶性的性质.B12 B4 【答案】 【解析】D 解析:由题可知,B、C 选项不是奇函数,A 选项 y ? x 3 单调递增(无

极值) ,而 D 选项既为奇函数又存在极值.故选 D. 【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件,即可得出结论. 【题文】3. 在 ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? ,则 cos B 等于( )

2 2 2 2 6 6 B. C. ? D. 3 3 3 3 【知识点】正弦定理.C8
A. ? 【答案】 【解析】D 为锐角,所以 cos B = 解析:由正弦定理有

15 10 3 ? ? sin B ? , a ? b,? A ? B , B sin 60? sin B 3

6 .故选 D. 3

【思路点拨】由正弦定理可求得 sin B ?

3 ,再由 a ? b ,可得 B 为锐角,运算求得结果. 3

【题文】4. 已知 {a n } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S9 =12 ,则下列各式一定为定值的 是( ) B. a10 C. a3 ? a5 ? a7 D. a2 ? a7

A. a3 ? a8

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【知识点】等差数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 【答案】 【解析】 C C. 【思路点拨】利用等差数列的前 n 项和 S9 =12 ,得到 a1 ? a9 为定值,再利用等差数列的性 质即可. 【题文】5. 已知 f ( x) ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? ? 0, 解析: S9 =12 ? a1 ? a9 ?

8 4 定值, a3 ? a5 ? a7 ? 3a5 ? 3 ? ? 4 ,故选 3 3

? ?

??

? , f ( x) ? 0 ,则( ) 2?

A. p 是假命题; ?p : ?x ? ? 0,

? ?? ? , f ( x) ? 0 ? 2?
? ?

B. p 是假命题; ?p : ?x0 ? ? 0,

??

? , f ( x0 ) ? 0 2?

C. p 是真命题; ?p : ?x ? ? 0,

? ?

??

? , f ( x) ? 0 2?

D. p 是真命题; ?p : ?x0 ? ? 0,

? ?

??

? , f ( x0 ) ? 0 2?

【知识点】命题的真假的判断;命题的否定.A2 【答案】 【解析】 D 解析: f ?( x) ? 3cos x ? ? ? 0 恒成立,则 f ( x) ? 3sin x ? ? x 在 ? 0,

? ?

??
? 2?

上单调递减, f (0) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 恒成立,所以 p 是真命题, ?p : ?x0 ? ? 0, 故选 D.

? ?

??

? , f ( x0 ) ? 0 , 2?

【思路点拨】先对原函数求导,再利用单调性判断可知 p 是真命题,然后再写出其否定命题 即可。 【题文】6. 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若

S6 ? 3, S3



S9 =( S6



[]

7 8 C. 3 3 【知识点】等比数列的性质.D3
A. 2 B. 【答案】 【解析】B 解析:

D.3

S6 S ? q 3 S3 S S ? q 3 S3 ? q 6 S3 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? 3? 3 ? 3 ? q3 ? 2 , 9 ? 3 ? ? ? , S3 S3 S6 S3 ? q 3 S3 1 ? q3 3 3
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故选 B. 【思路点拨】根据等比数列的性质得到 Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n 成等比列出关系式,又

S6 S ? 3, 表示出 S3,代入到列出的关系式中即可求出 9 的值. S3 S6
【题文】7. 函数 y ? sin x ? cos x 是
4 4

(

)

A.最小正周期为

? 2 ? ? ,值域为 ? ,1? 的函数 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ,值域为 ? ,1? 的函数 4 ? 2 ?

B.最小正周期为

C.最小正周期为 D.最小正周期为

?
2

,值域为 ? ,1? 的函数 ,值域为 ? ,1? 的函数

?1 ? ?2 ?

?
4

?1 ? ?2 ?

【知识点】三角函数的周期;三角函数的值域.C3 【答案】 【解析】C 解析:
2

y ? sin 4 x ? cos 4 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2sin 2 x cos 2 x ? T?

3 cos 4 x ,最小正周期为 ? 4 4

2? ? 1 3 cos 4 x ?1 ? ? ,因为 ?1 ? cos 4 x ? 1 ,所以 ? ? ? 1 ,即值域为 ? ,1? ,故选 C. 4 2 2 4 4 ?2 ?

【思路点拨】先把原函数化简整理,再利用周期公式求解即可,然后求出值域。 【题文】8. 如图,面积为 8 的平行四边形 OABC , 对角线 AC ? CO , AC 与 BO 交于点 E , 某指数函数 y ? a x ? a ? 0, 且a ? 1? ,经过点 E , B ,则 a = A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 ( )

【知识点】指数函数的图像与性质.B6 【答案】 【解析】A 解析:设点 E t , a t ,则点 B 坐标为 2t , 2a t ,又 2a t ? a 2t

?

?

?

?

∴ a t ? 2 ,平行四边形 OABC 的面积= OC ? AC ? a t ? 2t ? 4t ,又平行四边形 OABC 的面积 为 8 ,∴ t ? 2, ∴ a 2 ? 2, a ? 2 ,故选 A.
[]

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【思路点拨】首先设点设点 E t , a t ,则点 B 坐标为 2t , 2a t ,又 2a t ? a 2t ∴ a t ? 2 ;然后 根据平行四边形的面积是 8,求出 t 的值,代入求出 a 的值即可. 【题文】9. 已知 x ? 1, y ? 1 ,且 A. 1 B.

?

?

?

?

1 1 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 的最小值是 4 4
C. e D. 2

1 e

【知识点】等比数列的性质.D3 【答案】 【解析】C 解析:因为

1 1 1 ln x, , ln y 成等比数列,则 ln x ln y ? , 4 4 4

由 x ? 1, y ? 1 , 则 ln x ? 0, ln y ? 0, 所 以 ln ? xy ? ? ln x ? ln y ? 2 ln x ln y ? 1, 当 且 仅 当

1 ,即x ? y ? e 时取等号,所以 xy ? e , xy 的最小值是 e ,故选 C. 2 1 1 1 【思路点拨】依题意 ln x, , ln y 成等比数列,可得 ln x ln y ? , ,再利用对数的运算法 4 4 4 ln x ? ln y ?
则结合基本不等式,即可求出 xy 的最小值. ex ? m 【题文】10. 已知函数 f ( x) ? x ,若对于任意 a, b, c ? R ,都有 f (a) ? f (b) ? f (c) 成立, e ?1 则实数 m 的取值范围是( ) 1 1 A. [ , 2] B. [0,1] C. [1, 2] D. [ ,1] 2 2 【知识点】函数的单调性.B3 【答案】 【解析】A 因为 f ( x) ? 解析:由题意可得 f (a ) ? f (b) ? f (c) 对 ?a, b, c ? R 恒成立

ex ? m m ?1 ?1? x x e ?1 e ?1

所以当 m ? 1 时函数 f ( x) 在 R 上是减函数,函数的值域为 ?1, m ? 故 f (a ) ? f (b) ? 2, f (c) ? m,? m ? 2 (1) 当 m ? 1 时函数 f ( x) 在 R 上是增函数,函数的值域为 ? m,1? 故 f (a ) ? f (b) ? 2m, f (c) ? 1,? 2m ? 1, m ? 由(1)(2)知

1 2

(2)

1 ? m ? 2 ,故选 A. 2

【思路点拨】先把原函数分离常数,结合 f (a ) ? f (b) ? f (c) 对 ?a, b, c ? R 恒成立,然后对 m 分类讨论即可。 【题文】二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 【题文】 11. 已知集合 A ? ? x | x ? a? , B ? ? x |1 ? x ? 2? , 且A 是 . 【知识点】补集、并集的运算.A1

? ?R B ? ? R ,则实数 a 的取值范围

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【答案】 【解析】 a ? 2 案为 a ? 2 。

解析: ?R B ? ? x ? 1或x ? 2? ,且 A

? ?R B ? ? R ,可得 a ? 2 ,故答

【思路点拨】先根据已知条件求出 B 的补集,再根据 A 【题文】12. 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? 【知识点】数列的递推式.D1 【答案】 【解析】
1 3

? ?R B ? ? R 可求结果。
.

2an , ? n ? N + ? ,则 a5 ? an ? 2

2 1 2 1 1 解析: a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? ,故答案为 。 3 3 2 5 3

【思路点拨】由数列的递推式依次计算即可。 【题文】13. 已知 tan ? ? ?

? ?

?? 1

? ? , ? ? ? 0, ? ? ,则 sin ? = 4? 3

.

【知识点】两角和的正切公式.C5 【答案】 【解析】

5 5
5 5

解 析 : tan ? ? ?

? ?

?? 1

tan ? ? 1 1 1 ? ? tan ? ? ? , 又 ?? ? 4 ? 3 1 ? tan ? 3 2

? ? ? 0, ? ? ,则 sin ? =

?? 1 ? ? ? , ? ? ? 0, ? ? 解出 tan ? ,最后可得结果。 4? 3 ? r r r r r r r r r r r r r 【题文】14. 平面向量 a, b, e 满足 e ? 1 , a ? e ? 1, b ? e ? 2, a ? b ? 2 ,则向量 a ? b 与 e 的
【思路点拨】先由 tan ? ? ? 夹角为 【知识点】平面向量的数量积的运算;向量的夹角;向量的模.F2 F3 【答案】 【解析】

r r r r r r r r r r r r 1 a ? b ? e ? cos ? a ? b, e ?? ?1 ,又 a ? b ? 2 , e ? 1 ,所以 cos ? a ? b, e ?? ? ? ? 0, ? ? , 2 r r r 2? 2? 所以向量 a ? b 与 e 的夹角为 ,故答案为 。 3 3 r r r 1 【思路点拨】先根据已知条件结合向量的夹角公式计算出 cos ? a ? b, e ?? ? ,再求夹角 2
即可。 【题文】 15. 设函数 f ? x ? ? x x ? a 的图象与函数 g ? x ? ? x ? 1 的图象有三个不同的交点,

2? 3

解析: a ? e ? 1, b ? e ? 2 ? a ? b e ? ?1 , ?

r r

r r

?

r

r r

?

则 a 的范围是 . 【知识点】函数的图象.B8
第 5 页 共 13 页

【答案】 【解析】 ?1,?? ?

解析:当 a ? 0 时.图象如下图一, 当 a ? 0 时.图象如下图二,

据图知 f ( x), g ( x) 的图象有三个不同交点,则满足 a ? 1 【思路点拨】讨论 a 的取值范围,作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论. 【题文】三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答题写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 【题文】16. (本小题满分 12 分) 在正项等比数列 ?an ? 中, 公比 q ? ? 0,1? ,且满足 a3 ? 2 , a1a3 ? 2a2 a4 ? a3 a5 ? 25 . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? log 2 a n ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,当 的值. 【知识点】数列的求和;等比数列的通项公式.D3 D4 【答案】 【解析】 (1) an = 24- n ;(2) n ? 6或7 解析:? a1 a3 ? 2a 2 a 4 ? a3 a5 ? 25 ,

S S1 S 2 ? ? ? ? ? ? n 取最大值时,求 n 1 2 n

? a 2 ? 2a 2 a 4 ? a 4 ? ?a 2 ? a 4 ? ? 25 ,
2 2 2

? ?a n ? 是正项等比数列,

? a2 ? a4 ? 5 ,
? a3 ? 2 ,
? 2 1 ? 2q ? 5,? 0 ? q ? 1,? q ? . q 2
n ?1

?1? ? a n ? a3 ? ? ? ?2?

? 2 4? n .

(2) bn ? log 2 a n ? 4 ? n, S n ?

n (7 ? n ) S n 7 ? n , ? , 2 n 2

S n S n ?1 1 ? ?? n n ?1 2

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1 ?S ? ? 数列 ? n ? 是公差为 ? 首项为3的等差数列 ,且为递减数列 n 2 ? ?
当 n ? 7,

Sn S S S ? 0,? n ? 6或7, 当 1 ? 2 ? ? ? ? ? n 取最大值时, n ? 6或7 1 2 n n

【思路点拨】 (1)利用等比数列的性质和通项公式即可得出; (2)利用等差数列的前 n 项和 公式、二次函数的单调性即可得出. 【题文】17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c . 已知 a ? 3 ,cos A ? (1)求 b 的值; (2)求 ?ABC 的面积. 【知识点】解三角形;三角函数中的恒等变换应用.C7 C8 【答案】 【解析】 (1) b = 3 2 ; (2)

6 ? ,B ? A ? . 3 2

3 2 2
2 2

? 6? 3 解析: (1)因 0 ? A ? ? ,故 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 3 . … ………2 分 ? ?
因 B ? A?

?
2

,故 sin B ? sin ? A ?

? ?

??

6 . ? ? cos A ? 2? 3
3?

… ……………………4 分

由正弦定理

a sin B a b ,得 b ? ? ? sin A sin A sin B

6 3 ? 3 2 . ……………………6 分 3 3
…………………8 分

(2) cos B ? cos ? A ?

? ?

??

3 . ? ? ? sin A ? ? 2? 3

sin C ? sin ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 ? 3? 6 6 1 ?? ? ? ? ? . ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3
1 1 1 3 2 . ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? 2 2 3 2

… ……………10 分

则 ?ABC 的面积为

… …………………12 分

【思路点拨】 (1)△ABC 中,利用同角三角函数的基本关系求出 sinA,再由正弦定理求出 b. (2)利用公式求得 cosB,sinC 的值,再利用三角形面积公式即可。
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【题文】18. (本小题满分 12 分) ?y ? 0 ?y ? x ? 设约束条件 ? 所确定的平面区域为 D . ?y ? 2 ? x ? ?t ? x ? t ? 1(0 ? t ? 1) (1)记平面区域 D 的面积为 S=f(t),试求 f(t)的表达式. ( 2 ) 设 向 量 a ? ?1, ?1? , b ? ? 2, ?1? , Q ? x, y ? 在 平 面 区 域 D ( 含 边 界 ) 上 , 当面积 S 取到最大值时, 用 x, y OQ ? ma ? nb, (m, n ? R ) , 表示 m ? 3n ,并求 m ? 3n 的最大值. 【知识点】简单的线性规划.E5 1 7 【答案】 【解析】 (1)f(t)=-t2+t+ ;(2) 2 2 解析: (1)由约束条件所确定的平面区域是五边形 ABCEP,如图所示,其面积 S=f(t)=S
△OPD

-S△AOB-S△ECD,

[]

1 而 S△OPD= ×1×2=1. 2 1 1 S△OAB= t2,S△ECD= (1-t)2, 2 2 1 1 1 所以 S=f(t)=1- t2- (1-t)2=-t2+t+ . 2 2 2

? x ? m ? 2n (2)由 OQ ? ma ? nb 得 ? x, y ? ? m ?1, ?1? ? n ? 2, ?1? , 所以 ? ? 2 x ? y ? m ? 3n ? y ? ?m ? n
1 1 ?3 1? S=f(t)=-t2+t+ , 0 ? t ? 1 则当 t ? 时面积 S 取到最大值. 点 E 坐标为 ? , ? 2 2 ?2 2?

7 ?3 1? 由线性规划知识,直线 z ? 2 x ? y 经过可行域中点 E ? , ? 时 2 x ? y 取到最大值 ,所以 2 ?2 2?

7 2 【思路点拨】(1)先由线性约束条件画出平面区域,进而求出面积即可; (2)由已知条件可
m ? 3n 的最大值也为

?3 1? 用 x,y 表示出 m ? 3n ,由线性规划知识,直线 z ? 2 x ? y 经过可行域中点 E ? , ? 时 2 x ? y ?2 2?

7 7 ,所以 m ? 3n 的最大值也为 。 2 2 【题文】19. (本小题满分 13 分)
取到最大值 已知 f ( x) ?

x?

1 1 1 1 ? x ? ? 1及g ( x) ? x ? ? x ? ?1 x x x x

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(1)求 f ( x) 的最小值和 g ( x) 的最大值; (2)若 a ?

x 2 ? x ? 1, b ? t x , c ? x ? 1 ,问是否存在满足下列条件的正数 t,使得

对于任意的正数 x, a, b, c 都可以成为某个三角形三边的长?若存在,则求出 t 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 【知识点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法;函数的值域.B1 B3 【答案】 【解析】 (1) 2 ? 3 , 2 ? 3 (2)存在 t ? (2 ? 3, 2 ? 3) 满足题设条件. 解析: (1) f ( x) g ( x) ? ( x ?

1 2 1 ) ? ( x ? ? 1) ? 1 …………………………(2 分) x x

由于 x ?

1 1 ? 2, 当x ? 1时等号成立. 又x ? ? 2 , x x

∴ x?

1 ? 1 ? 3 ,当 x=1 时等号成立. ……………………………………………(4 分) x
1 1 ? x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3. 即 x=1 时,f(x)的最小值 2 ? 3 . x x

故 x?

…………………………………………………………………………………………(6 分) 又 f ( x) ? g ( x) ? 1, ? g ( x) ?

1 ? 2? 3 . f ( x)

故 x ? 1 时,g(x)的最大值 2 ? 3 ..…………………………………………………(8 分) (2)∵ a ?

x2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? c ,
2 ? ? x ? x ?1 ? t x ? x ?1 ? 2 ? ? x ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? t x

∴若能构成三角形,只需

? 1 1 ? x ? ?1 ?t ? x ? x x ? ?? 对 x ? R? 恒成立.…………………………………(10 分) ?t ? x ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? x x ?

?t ? [ g ( x)]max ?? ?t ? [ f ( x)]min
由(1)知

f ( x) min ? f (1) ? 2 ? 3

? t ? 2 ? 3 ……………………………(11 分)

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g ( x) max ? 2 ? 3

? t ? 2 ? 3 …………………………………………………(12 分)

综上,存在 t ? (2 ? 3, 2 ? 3) 满足题设条件. ……………………………………(13 分) 【思路点拨】 (1) 先考虑 x +

1 x

再说明函数 y = x + 2,

1 1 与 y = x + +1 在 (-∞, x x

1]上均为减函数,在[1,+∞)上均为增函数,从而求出函数的最小值.(2)利用构成三角 形的条件,转化为恒成立问题利用(1)的结论可确定. 【题文】20. (本小题满分 13 分) 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n 都有 6 S n ? 1 ? 2an .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? (?1) n ?1

4 ? n ? 1? ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn log 1 an ? log 1 an ?1
2 2

【知识点】数列的求和;对数的运算性质;数列与不等式的综合.B7 D4 D5

【答案】 【解析】 (1) an ? ?

?1? ? ?2?

2 n ?1

1 ?1 ? ,n为奇数 ? ? 3 2n ? 3 ; (2) Tn ? ? ? 1 ? 1 , n为偶数 ? ? 3 2n ? 3
1 . 8
…………2 分

解析:(1)由 6 S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 由 6 S n ? 1 ? 2an ……①,
[]

当 n ? 2 时,有 6 S n ?1 ? 1 ? 2an ?1 ……②, ①-②得:

…………3 分 …………4 分

an 1 ? , an ?1 4

1 1 ? 数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 8 4

…………5 分

1 ?1? ? an ? a1q n ?1 ? ? ? ? 8 ?4?

n ?1

?1? ?? ? ?2?

2 n ?1


2 n ?1

…………6 分

(2)由(1)知 log 1 an ? log 1 ?
2

?1? ? 2 ?2?

? 2n ? 1 .…………7 分

bn ? (?1) n ?1

4 ? n ? 1? 4 ? n ? 1? ? (?1) n ?1 log 1 an ? log 1 an ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 3)
2 2

所以 bn ? (?1) n ?1 ?

1 ? ? 1 ? ? …………9 分 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

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当 n 为偶数时, Tn ? ?

?1 1? ?1 1? ? ??? ? ?? ?3 5? ?5 7?

1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?? ? ? ??? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

1 1 …………11 分 ? ? 3 2n ? 3
当 n 为奇数时, Tn ? ?

?1 1? ?1 1? ? ??? ? ?? ?3 5? ?5 7?

1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?? ? ? ??? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

1 1 ? ? 3 2n ? 3

1 ?1 ? ,n为奇数 ? ? 3 2n ? 3 所以 Tn ? ? …………13 分 ? 1 ? 1 , n为偶数 ? 3 2n ? 3 ?
【思路点拨】 ( 1 ) 由 6 S1 ? 1 ? 2a1 , 得 6a1 ? 1 ? 2a1 , 解 得 a1 ?

1 ,当 n ? 2 时,有 8 1 1 6 S n ?1 ? 1 ? 2an ?1 ,两式相减可得数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列,进而得 8 4

到通项公式; (2)根据条件得到 bn 的通项,然后对 n 分类讨论即可得到 Tn . 【题文】21. (本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x) ? x ? ln( x ? a ) ,其中 a 为常数.
2

(1)讨论函数 g ( x) 的单调性; (2) 若 g ? x ? 存 在 两 个 极 值 点 x1 , x2 , 求 证 : 无 论 实 数 a 取 什 么 值 都 有

g ? x1 ? ? g ? x2 ? ?x ?x ? ? g? 1 2 ?, 2 ? 2 ?

【知识点】利用导数求函数的单调区间。B12 【答案】 【解析】(1) 当 a ? 当 a?

2 时 g ( x) 在区间 ? ?a, ?? ? 上单调递增

? ?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 ? 2 时 g ( x) 在 ? , ? 上 单 调 递 减 , 在 ? ? 2 2 ? ?

? ? ?a ? a 2 ? 2 ? ? ?a ? a 2 ? 2 , ?? ? 上单调递增, (2)见解析。 ? ? a, ? ,? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
解析: (1)函数的定义域为 ? ? a, ?? ?

g ?( x) ? 2 x ?

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 2 ,记 h( x) ? 2 x ? 2ax ? 1 ,判别式 ? ? 4a 2 ? 8 ? x?a x?a

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①当 ? ? 4a 2 ? 8 ? 0, 即 ? 2 ? a ?

2 时, h( x) ? 0 恒成立, g ? ? x ? ? 0

所以 g ( x) 在区间 ? ? a, ?? ? 上单调递增 ②当 a ? ? 2或a ? 记 x1 ?

2 时,方程 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实数根 x1 , x2

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , x2 ? 显然 x1 ? x2 2 2
2

(i) 若 a ? ? 2 , h( x) ? 2 x ? 2ax ? 1 图象的对称轴 x ? ?

a ? 0 ,h(?a ) ? h(0) ? 1 ? 0 2

两根 x1 , x2 在区间 ? 0, ? a ? 可知当 x ? ? a 时函数 h( x) 单调递增, h( x) ? h( ?a ) ? 0 ,所以

g? ? x? ? 0
所以 g ( x) 在区间 ? ? a, ?? ? 上单调递增 (ii) 若 a?

2 ,则 h( x) ? 2 x 2 ? 2ax ? 1 图象的对称轴 x ? ?

a ? 0 ,h(?a ) ? h(0) ? 1 ? 0 , 2

所以 ? a ? x1 ? x2 , 当 x1 ? x ? x2 时, h( x) ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ? x1 , x2 ? 上单调递减 当 ? a ? x ? x1或x ? x2 时, h( x) ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ? ? a, x1 ? ,? x2 , ?? ? 上单 调递增 综上,当 a ? 当 a?

2 时 g ( x) 在区间 ? ?a, ?? ? 上单调递增

? ?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 ? 2 时 g ( x) 在 ? , ? 上 单 调 递 减 , 在 ? ? 2 2 ? ?

? ? ?a ? a 2 ? 2 ? ? ?a ? a 2 ? 2 , ?? ? 上单调递增; ? ? a, ? ,? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
(2)由(1)知当 a ?

2 时, g ( x) 没有极值点,当 a ? 2 时, g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,
1 ; 2

且 x1 ? x2 ? ? a, x1 x2 ?

g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? x12 ? ln ? x1 ? a ? ? x22 ? ln ? x2 ? a ? ? a 2 ? 1 ? ln 2 ,

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?

2 g ? x1 ? ? g ? x2 ? a 2 ? 1 ? ln 2 a ? x ? x2 ? ? a? a ? ,又 g ? 1 ? g ? ? ? ln , ? ? ? 2 2 2 ? 2? 4 ? 2 ?

2 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 1 ln 2 ?x ?x ? a ? g ? 1 2 ? ? ? ln a ? ? 2 2 2 ? 2 ? 4

记 h ?a? ?

a2 1 ln 2 a 1 a2 ? 2 ? ln a ? ? ? 0, , a ? 2 ,则 h? ? a ? ? ? ? 4 2 2 2 a 2a

所以 h ? a ? 在 a ?

2 时单调递增, h

? ln ? 2? ? 2 4

1 ln 2 2? ? ?0, 2 2

所以 h ? a ? ? 0 ,所以

g ? x1 ? ? g ? x2 ? ?x ?x ? ? g? 1 2 ?。 2 ? 2 ?

【思路点拨】 (1)先求出定义域,再结合判别式对方程的进行讨论,进而判断出单调区间; (2)对函数求导后得到根再结合单调性证明即可。

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湖南省岳阳县一中2015届高三第三次月考数学文试卷

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