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2016年虹口高三二模数学卷


上海市虹口区 2016 届高三二模数学试卷(理科)
2016.04 一. 填空题 1. 设集合 M ? {x | x 2 ? x} , N ? {x | log2 x ? 0} ,则 M ? N ? 2. 已知虚数 1 ? 2i 是方程 x ? ax ? b ? 0 (a, b ? R) 的一个根,则 a ? b ?
2

3. 在报名的

5 名男生和 4 名女生中,选取 5 人参加志愿者服务,要求男、女生都有,则不同的选取方式的 种数为 (结果用数值表示)

4. 已知复数 z 在复平面上对应的点在曲线 y ? 5. 已知函数 f ( x ) 的对应关系如下表:

2 上运动,则 | z | 的最小值为 x

x
f ( x)

?2

?1 ?2

0
1

1

2

3

5

m

若函数 f ( x ) 不存在反函数,则实数 m 的取值集合为 6. 在正项等比数列 {an } 中, a1a3 ? 1 , a2 ? a3 ? 7. 已知 f ( x) ? 2sin ? x (? ? 0) 在 [0,

4 ,则 lim( a1 ? a2 ? ??? ? an ) ? n ?? 3

?
3

] 单调递增,则实数 ? 的最大值为

2 4 3 8. 若行列式 cos(? ? x) 2 0 中的元素 4 的代数余子式的值等于 ,则实数 x 的取值集合为 2 ?1 1 6
9. 若二项式 (2 x ?

1

1 n ) 展开式中的第 5 项为常数项,则展开式中各项的二项式系数之和为 x
?

10. 已知 A 、 B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90 , C 为该球面上的动点,若三棱锥 O ? ABC 体积的 最大值为

32 ,则球 O 的表面积为 3

11. 如图, A 、 B 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个顶点,过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线,与其交 a 2 b2

1/5

于点 C ,若 AB ∥ OC ( O 为坐标原点) ,则直线 AB 的斜率为 12. 若经过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的直线 l 与圆 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 相切,则直线 l 方程为 13. 假设某 10 张奖券中有一等奖 1 张,奖品价值 100 元;有二等奖 3 张,每份奖品价值 50 元;其余 6 张 没有奖;现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张,获得奖品的总价值 ? 不少于其数学期望 E? 的概率为 14. 对任意 x ? (??,0) ? (0, ??) 和 y ?[?1,1] , 不等式 x ?
2

16 8 ? 2 xy ? 1 ? y 2 ? a ? 0 恒成立, 则实数 a 2 x x

的取值范围为

二. 选择题 15.“ a ? 3 ”是“直线 (a 2 ? 2a) x ? y ? 0 和直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件
2



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y 2 16. 已知抛物线 C1 : y ? 4x 的焦点 F 恰好是椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点, 且两条曲线 C1 与 a b

C2 交点的连线过点 F ,则椭圆 C2 的长轴长等于(
A.

) D. 4

2 ?1

B. 2

C. 2 2 ? 2

17. 在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是内角 A 、 B 、 C 所对的边,若△ ABC 的面积 S?ABC ?

a 2 ? b2 ? c2 , 4

??? ? ??? ? ? AB AC ??? ? ? ??? ? ) ? BC ? 0 ,则△ ABC 的形状是( 且 ( ??? | AB | | AC |
A. 有一个角为 30 的等腰三角形 C. 直角三角形
?



B. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

x * 18. 已知点列 An (an , bn ) (n ? N ) 均在函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 图像上,点列 Bn (n,0) 满足

| An Bn | ? | An Bn?1 | ,若 {bn } 中任意连续三项能构成三角形的三边,则 a 的范围为(
A. (0,



5 ?1 5 ?1 )?( , ??) 2 2 3 ?1 3 ?1 )?( , ??) 2 2

B. (

5 ?1 5 ?1 ,1) ? (1, ) 2 2 3 ?1 3 ?1 ,1) ? (1, ) 2 2

C. (0,

D. (

三. 解答题 19. 在锐角△ ABC 中, sin A ? sin B ? sin(
2

?
4

? B) sin(

?
4

? B) ;

2/5

(1)求角 A 的值; (2)若 AB ? AC ? 12 ,求△ ABC 的面积;

??? ? ??? ?

20. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角梯形,

?ABC ? ?BAD ? 90? , AB ? AD ? AP ? 2 , BC ? 1 ;
(1)求点 A 到平面 PCD 的距离; (2)若点 Q 为线段 BP 的中点,求直线 CQ 与平面 ADQ 所成角的大小;

21. 已知函数 f ( x) ? log 1 (
3

1 ? ax ) 满足 f (?2) ? 1 ,其中 a 为实常数; x ?1

(1)求 a 的值,并判定函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)若不等式 f ( x) ? ( ) ? t 在 x ? [2,3] 恒成立,求实数 t 的取值范围;
x

1 2

x2 y 2 22. 已知直线 y ? 2 x 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线,点 A(1, 0) 、 M (m, n) (n ? 0) 都在双曲线 C a b
上,直线 AM 与 y 轴相交于点 P ,设坐标原点为 O ; (1)求双曲线 C 的方程,并求出点 P 的坐标(用 m 、 n 表示) ; (2)设点 M 关于 y 轴的对称点为 N ,直线 AN 与 y 轴相交于点 Q ,问:在 x 轴上

3/5

是否存在定点 T ,使得 TP ? TQ ?若存在,求出点 T 的坐标,若不存在,请说明理由; (3)若过点 D (0, 2) 的直线 l 与双曲线 C 交于 R 、 S 两点,且 | OR ? OS | ? | RS | , 试求直线 l 的方程;

??? ? ??? ?

??? ?

23. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 (Sn ?1)2 ? an Sn (n ? N * ) ; (1)求 S1 、 S2 、 S3 的值,并求出 Sn 及数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? (?1)n?1 (n ?1)2 ? an an?1 (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (3)设 cn ? (n ? 1)an (n ? N * ) ,在数列 {cn } 中取出 m 项, m ? N , m ? 3 为常数,按照原来的顺序排
*

成一列,构成等比数列 {dn } ,若对任意的数列 {dn } ,均有 d1 ? d2 ? d3 ? ??? ?dm ? M ,试求 M 的最小值;

4/5

参考答案
一. 填空题 1. [0,1] 7. 2. 3 8. {x | x ? ? 3. 125 4. 2 5. {?2,1,3,5} 9. 64 14. a ? 8 ? 4 2 10. 64? 6. 4.5 11.

3 2

?
3

? 2 k? , k ? Z }
13.

2 2

12. y ? ?

2 5 ( x ? 1) 5

2 3

二. 选择题 15. A 三. 解答题 19.(1) A ? 16. C 17. D 18. B

?
6

; (2) 2 3 ;

20.(1)

4 6 ; (2) arcsin ; 3 3 5 ; 4

21.(1) a ? ?1 ,奇函数; (2) t ? ? 22.(1) x ?
2

n y2 ); ? 1 , P (0, (2) T (?2, 0) ; (3) y ? ? 2x ? 2 ; 1? m 4 1 2 3 n 1 , S 2 ? , S3 ? , S n ? , an ? 2 ; 2 3 4 n ?1 n ?n

23.(1) S1 ? (2) Tn ?

1 (?1)n ; (3)2; ? 4 2(n ? 1)(n ? 2)

5/5


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