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两角和与差的正弦、余弦和正切公式


两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)= (2)C(α+β):cos(α+β)= (3)S(α+β):sin(α+β)= (4)S(α-β):sin(α-β)= (5)T(α+β):tan(α+β)= (6)T(α-β):tan(α-β)= 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α= (2)

C2α:cos 2α= (3)T2α:tan 2α= 3.常用的公式变形 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β); 1+cos 2α 1-cos 2α (2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, π? sin α± cos α= 2sin? 4?. ?α± [小题能否全取] sin 2α 1.(2011· 福建高考)若 tan α=3,则 2 的值等于( cos α A.2 C.4 解析:选 D B.3 D.6 sin 2α 2sin αcos α = =2tan α=2×3=6. cos2α cos2α ) ) = . = ; ; .

2.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为( A.- C. 3 2 2 2 B. 2 2

D.1 2 . 2

解析:选 B 原式=sin 68° cos 23° -cos 68° sin 23° =sin(68° -23° )=sin 45° = 2 3.已知 sin α= ,则 cos(π-2α)等于( 3 )

A.- 1 C. 9

5 3

1 B.- 9 D. 5 3

解析:选 B

4 1 cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2× -1=- . 9 9

π? 4 4.(教材习题改编)若 cos α=- ,α 是第三象限角,则 sin? ?α+4?=________ 5 3 解析:由已知条件 sin α=- 1-cos2α=- , 5 π? 2 2 7 2 sin? ?α+4?= 2 sin α+ 2 cos α=- 10 . 7 2 答案:- 10 π? 2 5.若 tan? ?α+4?=5,则 tan α=________. π? tan α+1 2 解析:tan? ?α+4?=1-tan α=5, 即 5tan α+5=2-2tan α. 3 则 7tan α=-3,故 tan α=- . 7 3 答案:- 7 1.两角和与差的三角函数公式的理解: (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则 后面中间为“+”号;前面是两角差,则后面中间为“-”号. (2)余弦公式概括为“余余,正正符号异”. (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令 β=α 所得.特别地,对于余弦:cos 2α =cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为 “降幂公式”,在考题中常有体现. 2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对 角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子 变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是 观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等 变形.

三角函数公式的应用

典题导入 1 π? [例 1] (2011· 广东高考)已知函数 f(x)=2sin? ?3x-6?,x∈R. 5π? (1)求 f? ? 4 ?的值; π π 10 6 0, ?,f?3α+ ?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. (2)设 α,β∈? 2? 13 ? 2? ? 5 1 π? [自主解答] (1)∵f(x)=2sin? ?3x-6?, 5π? π ?5π π? ∴f? ? 4 ?=2sin?12-6?=2sin4= 2. π? ? π? 10 6 (2)∵α,β∈? ?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5, π? 6 10 ∴2sin α= ,2sin? ?β+2?=5. 13 5 3 即 sin α= ,cos β= . 13 5 12 4 ∴cos α= ,sin β= . 13 5 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β = 12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α、β 的三角函数表示 α± β 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统 一角和角与角转换的目的. 以题试法 π ? 3 1.(1)已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,则 5 =________. π α+ ? 2sin? ? 4? π 5 ? ,则 tan? ?4+2α?=( 5 ) cos 2α

(2)(2012· 济南模拟)已知 α 为锐角,cos α= A.-3 4 C.- 3 解析:(1) cos 2α π? 2sin? ?α+4? = 1 B.- 7 D.-7

cos2α-sin2α =cos α-sin α, 2 2 2? sin α+ cos α? 2 ?2 ?

π ? 3 4 ∵sin α= ,α∈? ?2,π?,∴cos α=-5. 5

7 ∴原式=- . 5 4 1- 3 2×2 π 2 5 4 ? (2)依题意得,sin α= ,故 tan α=2,tan 2α= =- ,所以 tan? ?4+2α?= 4= 5 3 1-4 1+ 3 1 - . 7 7 答案:(1)- 5 (2)B

三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入 x [例 2] (2013· 德州一模)已知函数 f(x)=2cos2 - 3sin x. 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π? 1 cos 2α (2)若 α 为第二象限角,且 f? ?α-3?=3,求1+cos 2α-sin 2α的值. π? x [自主解答] (1)∵f(x)=2cos2 - 3sin x=1+cos x- 3sin x=1+2cos? ?x+3?, 2 ∴周期 T=2π,f(x)的值域为[-1,3]. π? 1 1 1 (2)∵f? ?α-3?=3,∴1+2cos α=3,即 cos α=-3. 2 2 ∵α 为第二象限角,∴sin α= . 3 cos2α-sin2α cos 2α ∴ = 1+cos 2α-sin 2α 2cos2α-2sin αcos α 1 2 2 - + 3 3 cos α+sin α 1-2 2 = = = . 2cos α 2 2 - 3 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时, 不但要熟练、 准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α+β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. 以题试法 π? 4 3 ? π? 2.(1)(2012· 赣州模拟)已知 sin? ?α+6?+cos α= 5 ,则 sin?α+3?的值为( )

4 A. 5 C. 3 2

3 B. 5 D. 3 5

3π (2)若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 解析:(1)由条件得 3 3 4 3 sin α+ cos α= , 2 2 5

1 3 4 即 sin α+ cos α= . 2 2 5 π? 4 ∴sin? ?α+3?=5. tan α+tan β 3π (2)-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β ∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2. 答案:(1)A (2)2 角 的 变 换

典题导入 [例 3] (1)(2012· 温州模拟)若 sin α+cos α =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α

π 4 π α+ ?= ,则 sin?2α+ ?的值为________. (2)(2012· 江苏高考)设 α 为锐角,若 cos? 12? ? 6? 5 ? sin α+cos α tan α+1 [自主解答] (1)由条件知 = =3, sin α-cos α tan α-1 则 tan α=2. 故 tan(β-2α)=tan [(β-α)-α] = tan?β-α?-tan α -2-2 4 = = . 1+tan?β-α?tan α 1+?-2?×2 3

π 4 α+ ?= , (2)因为 α 为锐角,cos? ? 6? 5 π 3 π 24 α+ ?= ,sin 2?α+ ?= , 所以 sin? ? 6? 5 ? 6? 25 π? 7 cos 2? ?α+6?=25, π? ? ? π? π? 所以 sin? ?2α+12?=sin 2?α+6?-4

?

?



24 2 7 2 17 2 × - × = . 25 2 25 2 50 17 2 (2) 50 由题悟法

4 [答案] (1) 3

1. 当“已知角”有两个时, 一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的配角技巧: α α=2· ;α=(α+β)-β; 2 α=β-(β-α); 1 α= [(α+β)+(α-β)]; 2 1 β= [(α+β)-(α-β)]; 2 π π π ? π π -α ;α= -? -α?. +α= -? ? 4 2 ?4 4 ?4 ? 以题试法 π? 1 2 ? π? 3.设 tan(α+β)= ,tan? ?β-4?=4,则 tan?α+4?=( 5 13 A. 18 3 C. 22 解析:选 C 13 B. 22 1 D. 6 π π α+ ?=tan??α+β?-?β- ?? tan? ? 4? ? ? 4?? )



3 = . π 22 ? 1+tan?α+β?tan? ?β-4?

π? tan?α+β?-tan? ?β-4?

[典例] (2012· 广东高考)已知函数 f(x)=2cos

?ωx+π?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. 6? ?
(1)求 ω 的值; π? ? 5π? 6 (2)设 α,β∈? ?0,2?,f?5α+ 3 ?=-5,f

?5β-5π?=16,求 cos(α+β). 6 ? 17 ?
π? 2π 1 [尝试解题] (1)∵f(x)=2cos? ?ωx+6?,ω>0 的最小正周期 T=10π= ω ,∴ω=5. 1 π? (2)由(1)知 f(x)=2cos? ?5x+6?, π? ? 5π? 5π? 16 6 ? 而 α,β∈? ?0,2?,f?5α+ 3 ?=-5,f?5β- 6 ?=17, 5π π 1 6 5α+ ?+ ?=- , ∴2cos?5? 3 ? 6? ? ? 5 5π π 16 1 5β- ?+ ?= , 2cos?5? 6 ? 6? 17 ? ? π? 3 8 即 cos? ?α+2?=-5,cos β=17, 3 4 15 于是 sin α= ,cos α= ,sin β= , 5 5 17 4 8 3 15 13 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × =- . 5 17 5 17 85

——————[易错提醒]—————————————————————————— 1.在解答本题时有两点容易失误: ?1?忽略角α,β的范围,求解cos α,sin β的值时出错; ?2?在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致错误. 2.解决三角函数问题时,还有以下几点容易失误: ?1?对公式记忆不准确而使公式应用错误; ?2?三角公式不能灵活应用和变形应用; ?3?忽略角的范围或者角的范围判断错误. ————————————————————————————————————— — ?针对训练 1 1.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sin B= ,则 sin A 的值为________. 3 π 解析:由题意知,C-A= ,且 C+A=π-B, 2

π B 故 A= - , 4 2 π B? B? 2? B 则 sin A=sin? ?4- 2 ?= 2 ?cos 2 -sin 2 ?, 1 1 则 sin2A= (1-sin B)= , 2 3 又 sin A>0,则 sin A= 答案: 3 3 3 . 3

π ? 3 12 ? π ? 2.已知 sin(2α-β)= ,sin β=- ,且 α∈? ?2,π?,β∈?-2,0?,求 cos 2α 的值. 5 13 π 解:∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 π π 5π ∵- <β<0,∴0<-β< ,π<2α-β< , 2 2 2 3 而 sin(2α-β)= >0, 5 5π 4 ∴2π<2α-β< ,cos(2α-β)= . 2 5 π 12 5 又- <β<0 且 sin β =- ,∴cos β= , 2 13 13 ∴cos 2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β 12 56 4 5 3 - ?= . = × - ×? 5 13 5 ? 13? 65

1. (2012· 重庆高考)设 tan α, tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根, 则 tan (α+β)的值为( A.-3 C.1 B.-1 D.3

)

解析:选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α· tan β=2, tan α+tan β tan(α+β)= =-3. 1-tan αtan β π? 3 ? π? 2.(2012· 南昌二模)已知 cos? ?x-6?=- 3 ,则 cos x+cos?x-3?的值是( 2 3 A.- 3 2 3 B.± 3 )

C.-1 解析: 选 C

D.± 1 π? 1 3 3 3 cos x + cos ? ?x-3? = cos x + 2 cos x + 2 sin x = 2 cos x + 2 sin x = 3

? 3cos x+1sin x?= 3cos?x-π?=-1. ? 6? 2 ?2 ?
24 θ 3. (2012· 大同模拟)已知 θ 为第二象限角,sin(π-θ)= ,则 cos 的值为( 25 2 3 A. 5 3 C.± 5 4 B. 5 4 D.± 5 )

解析:选 C ∵θ 为第二象限角, θ ∴ 为第一、三象限角. 2 θ ∴cos 的值有两个, 2 24 24 由 sin(π-θ)= ,可知 sin θ= , 25 25 7 θ 18 ∴cos θ=- ,∴2cos2 = . 25 2 25 θ 3 ∴cos =± . 2 5 4.已知函数 f(x)=x3+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 4,则函数 g(x)= 3sin 2x +bcos 2x 的最大值和最小正周期为( A.1,π B.2,π C. 2,2π D. 3,2π

解析:选 B 由题意得 f′(x)=3x2+b, f′(1)=3+b=4,b=1. 所以 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin? ?2x+6?, 故函数的最大值为 2,最小正周期为 π. π 4 3 ? ? 7π? 5. (2013· 合肥模拟)已知 cos? ?6-α?+sin α= 5 ,则 sin?α+ 6 ?的值是( 2 3 A.- 5 4 C. 5 2 3 B. 5 4 D.- 5 )

π 1 ? 3 ? ? 解析:选 D 由条件知 cos? ?6-α?+sin α=? 2 cos α+2 sin α?+sin α

= 3?

π 4 3 3 1 ? α+ ?= . sin α+ cos α = 3sin? 6? ? 5 2 ?2 ?

π 4 α+ ?= . ∴sin? ? 6? 5 7π π α+ ?=sin?α+ +π? ∴sin? 6? ? ? 6 ? π 4 α+ ?=- . =-sin? ? 6? 5 6.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- C. 5 9 5 3 B.- D. 5 3 3 1 2 两边平方,可得 1+sin 2α= ,sin 2α=- ,所以(- 3 3 3 5 9 3 ,则 cos 2α=( 3 )

解析:选 A 将 sin α+cos α=

5 sin α+cos α)2=1-sin 2α= .因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以-sin α+ 3 cos α=- 15 5 ,所以 cos 2α=(-sin α+cos α)· (cos α+sin α)=- . 3 3

π 4π 1 7.(2012· 苏锡常镇调研)满足 sin sin x+cos cos x= 的锐角 x=________. 5 5 2 解析:由已知可得 4π 4π 1 cos cos x+sin sin x= , 5 5 2 4π ? 1 即 cos? ? 5 -x?=2, 4π π 7π 又 x 是锐角,所以 -x= ,即 x= . 5 3 15 7π 答案: 15 2tan?45° -α? sin αcos α 8.化简 · 2 =________. 2 1-tan ?45° -α? cos α-sin2α 1 sin 2α 2 解析:原式=tan(90° -2α)· cos 2α 1 sin 2α sin?90° -2α? 2 = · cos?90° -2α? cos 2α = cos 2α 1 sin 2α 1 · = . sin 2α 2cos 2α 2

1 答案: 2

9.(2013· 烟台模拟)已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β 1 ∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标 3 4 是 ,则 cos α=________. 5 解析:依题设及三角函数的定义得: 1 4 cos β=- ,sin(α+β)= . 3 5 π π 2 2 3 又∵0<β<π,∴ <β<π, <α+β<π,sin β= ,cos(α+β)=- . 2 2 3 5 ∴cos α=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β 1 4 2 2 3 - ?+ × =- ×? 5 ? 3? 5 3 = 3+8 2 . 15

3+8 2 答案: 15 π π 1 0, ?,tan α= ,求 tan 2α 和 sin?2α+ ?的值. 10.已知 α∈? 3? ? 2? ? 2 1 2× 2 4 1 2tan α 解:∵tan α= ,∴tan 2α= = = , 2 1 3 1-tan2α 1- 4 且 sin α 1 = ,即 cos α=2sin α, cos α 2

又 sin2α+cos2α=1, π? ∴5sin2α=1,而 α∈? ?0,2?, ∴sin α= 5 2 5 ,cos α= . 5 5 5 2 5 4 × = , 5 5 5

∴sin 2α=2sin αcos α=2×

4 1 3 cos 2α=cos2α-sin2α= - = , 5 5 5 π? π π 4 1 3 3 4+3 3 ∴sin? ?2α+3?=sin 2αcos3+cos 2αsin3=5×2+5× 2 = 10 . π? 4 π 11.已知:0<α< <β<π,cos? ?β-4?=5. 2 (1)求 sin 2β 的值;

π? (2)求 cos? ?α+4?的值. π? π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos? ?β-4?=cos4cos β+sin β= 2 cos β+ 2 sin β=3, ∴cos β+sin β= 2 2 7 ,∴1+sin 2β= ,∴sin 2β=- . 3 9 9

π π? 7 2? ? 法二:sin 2β=cos? ?2-2β?=2cos ?β-4?-1=-9. π (2)∵0<α< <β<π, 2 π π 3 π 3π ∴ <β<- < π, <α+β< , 4 4 4 2 2 π? ∴sin? ?β-4?>0,cos(α+β)<0. π? 1 4 ∵cos? ?β-4?=3,sin(α+β)=5, π? 2 2 ∴sin? ?β-4?= 3 , 3 cos(α+β)=- . 5 π π α+ ?=cos??α+β?-?β- ?? ∴cos? ? 4? ? ? 4?? π β- ? =cos(α+β)cos? ? 4? 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 x? ? x? 12.(2012· 衡阳模拟) 函数 f(x)=cos? ?-2?+sin?π-2?,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π π 2 10 0, ?,求 tan?α+ ?的值. (2)若 f(α)= ,α∈? ? 2? ? 4? 5 x? x x ? x? ?x π? 解:(1)f(x)=cos? ?-2?+sin?π-2?=sin2+cos2= 2sin?2+4?, 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 2 10 α α 2 10 (2)由 f(α)= ,得 sin +cos = , 5 2 2 5 α α?2 ?2 10?2 则? ?sin2+cos2? =? 5 ? , 8 3 即 1+sin α= ,解得 sin α= , 5 5

π? 2 又 α∈? ?0,2?,则 cos α= 1-sin α= 故 tan α= sin α 3 = , cos α 4

9 4 1- = , 25 5

π 3 tan α+tan +1 4 4 π α+ ?= 所以 tan? = =7. ? 4? π 3 1-tan αtan 1- 4 4


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