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2.1.1 指数与指数幂的运算


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

引入:
有一只母兔子,第一年生了两只小兔子; 第二年,这两只小兔子又各自生了两只小兔 子;到了第三年,第二年生的小兔子又各自 生了两只小兔子;如此下去,到第n年新生 的小兔子共有多少只?
答:到了第n年新生的小兔子共

2

n

/>只.

指数在生活中的应用举例
增长率问题 细菌繁殖问题 考古中的问题

2.1.1 指数与指数幂的运算

一、回顾
整数指数幂

1.定义:
a
n

?a ?a ?? ?? ?a ? ? ?
n

(n ? N * ) ,

规定: a

0

? 1 (a ? 0) ,
* ? 1 ( a ? 0 , n ? N ) . n a

a

?n

2、运算性质:
(1) a ? a ? a
m n m? n

,a ? a ? a
m n

m? n



(2) (a ) ? a ;
m n mn

(3)

?ab?

n

?a b,
n n
n
n

b n b 1 ?n n a a a ? ( n)n . ( ) ? n ,( ) n a a a b b b ( n ) b b (以上m、n ? Z )



新课

1.

根式

若x2 = a , 则x叫做a的平方根. 记作 x ? ? a (a ? 0) .

若x3= a,则x叫做a的立方根. 记作 x ? 3 a .
定义:如果 xn = a(n>1,且n∈N* ),

那么 x 叫做 a 的 n 次方根 .

记作 x ? n a (n为奇数) , 或 ? n a (a ? 0, n为偶数) .

例如:
3

4 ? 16 ? ? 2 . a , ? 2 , a ? 27 ? 3, ? 32 ? 5

3

6

2

正数的奇次方根是正数,负数的奇次方根 是负数,用符号 n a 表示. 正数的偶次方根是两个互为相反数的数,用 符号 ? n a (a ? 0) 表示. 负数没有偶次方根.
n 记作 0 ? 0. 0的任何次方根都是0,

式子

n

a 叫根式,
n

n 叫根指数 ,a 叫被开方数.
n n 问: ( a ) ? a 成立吗?

a ? a 成立吗?
n

答: 根据 n 次方根的意义,

( a ) ? a 成立.
n n
n

a ? a 不一定成立.
n

n n 当n为奇数时, a ?a.

n n 当n为偶数时, a

? a (a ? 0), ? | a | ? ?? a (a ? 0). ?

归纳:

( 1 )若 x ? a ,
n
n ? (n为奇数) ? a ??,?? 则 x ? ? n ? ?a ? 0,n为偶数) ?? a ??,(

(2)?? ( a) ? a .
n n

(3) 当n为奇数时, a ? a .
n n

当n为偶数时,n a n

? a (a ? 0), ? | a |? ? ?? a (a ? 0).

例1 求下列各式的值:
(1) (? 8)
3 3

(2) (? 10)
2

(3)
解: (1)

4

?3 ? ? ?
3 3

4

(4)

?a ? b? ?a ? b?
2

(2) (3)
( 4)
4

?? 8? ? ? 8; 2 ?? 10 ? ? ?10 ? 10;

?3 ? ? ?
?a ? b ?

4

? 3 ? ? ? ? ? 3;
? a ? b ? a ? b (a ? b) .

2

2.
5 3

分数指数幂:
10 12
2 ( a ) ?a ?a ?

请大家看下列式子:

a

5

2 5

10 5
12 3

(a > 0),

a ?

3

(a 4 )3 ? a 4 ? a

(a > 0),

这就是说,当根式的被开方数的指数能 被根指数整除时,根式可以表示为分数指数 幂的形式.

那么,当根式的被开方数的指数不能被 根指数整除时,根式是否也可以表示为分数 指数幂的形式呢?

2.

分数指数幂:
2 3

能否把下列根式写为:
3

a
4

2

? a ( a > 0),
1 2

b? b

( b > 0), ( c > 0 ).
k n kn

c ?c
5

5 4

如果可以,那么整数指数幂的运算性质 (a ) ? a 对分数指数幂是否仍然适用?

我们规定正数的正分数指数幂的意义是:
n

a ? a
m

m n

(a ? 0,m, n? N , 且 n ? 1)
*

即根式都可以写成分数指数幂的形式. 规定:

a

?m n

1 ? m n a

(a ? 0,m,n ? N , 且 n ? 1)
*

0 的正分数指数幂等于 0,

0 的负分数指数幂没有意义.

整数指数
r s r ?s

有理数指数
r s r ?s

有理数指数幂的运算性质:

(1)a ? ? a ? a ,??a ? ? a ? a

( a ? 0,r,s ? Q ),
(2) (a ) ? a
r s r ?s

( a ? 0,r, s ?Q ) ,

r a a r r r r (3) (a ? b ) ? a ? b ???( ) ? r b b ( a ? 0,b ? 0,r ? Q ).

1 16 ? 3 例2 求值 8 ,100 ? ,( ? ) ,( ? ) ? . 4 81
? ?

2 3

1 2

3 4

解:

8

2 3
?1 2

? (2 ) ? 2
?

2 3 3

3? 2 3

? 2 ? 4;
2

100

1 ? 1 ? 1; 1 1 10 2 2 2 100 (10 )

6 ( ?2 )?( ?3) ?3 ? 2 ?3 1 ? 2 ? 64; ( ) ? (2 ) ? 2 4

16 ( ) 81

?3 4

?( 2) 3

4?( ? 3 ) 4

27 ?3 2 ? . ?( ) 8 3

指数幂的运算: 例3.用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a>0):

a ? a ?,a ? a ?,? a a ? .
2 3 3 2

3.
2

无理数指数幂:

思考: 5 应当如何理解?其大小又如何确定呢?

当 2的不足近似值从小于 2 的方向逼近 2时,

5 的近似值从小于 5 的方向逼近 5 ;
当 2的过剩近似值从大于 2 的方向逼近 2时,

2

2

2

5 的近似值从大于 5 的方向逼近 5 ;
一般地,无理指数幂aα(a>0,α是无理数)是 一个确定的实数。有理指数幂的运算性质同样适 用于无理数。

2

2

2

整数指数
r s r ?s
r ?s

有理数指数
r s r ?s

实数指数

指数幂的运算性质:

(1)a ? ? a ? a ?, a?? a ? a
(2)' (a ) ? a
r s
r

( a ? 0,r, s ?R

( a ? 0,r, s ? R),
r r

ar a (3) (a ? b ) ? a ? b ( ? ) ? r ( a ? 0,b ? 0,r ? R b b
r

例4 .计算下列各式(式中字母均为正数)
(1)(2a b )( ?6a b ) ? ( ?3a b ) (2)( m n )
1 4 ? 3 8 8 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

练习:计算下列各式:
(1)( 3 25 ? 125) ? 4 25 ; (2)
2 3 3 2 1 2

a2 a ? 3 a2
2 3 1 2

(a ? 0)
3 2 1 2

解: (1)原式 ? (5 ? 5 ) ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5
?5
2 1 ? 3 2

?5

3 1 ? 2 2

? 5 ? 5 ? 6 5 ? 5;

1 6

(2)原式 ?

a
1 2

2 2 3

?a

1 2 2? ? 2 3

?a ? a .
6 5

5 6

a ?a

复习几个公式:
a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )
3 3

2

2 2

a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )
3 3

2

(a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
3
3 2 2

3

(a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
3
3 2 2

3

1 例5.已知 x ? ? 3, 求下列式子的值: x

(1) x

1 2

?x

?

1 2

; ( 2) x
1 2 )2

1 2

?x
?1

?

1 2

; (3)

x x

3 2 1 2

?x ?x

?

3 2

1 ? 2

.

1 解: (1)( x 2

?x
?1

?

? x?x ?2?5
1 ?x2

由x ? x
1 (2)( x 2

? 3知x ? 0
? x?x
?1

?

1 ? x 2

? 5

1 ? 2 2 ?x )

?2 ?1

1 ?x2

?

1 ? x 2

? ?1

1 例5.已知 x ? ? 3, 求下列式子的值: x

(1) x

1 2

?x

?

1 2

; ( 2) x

1 2

?x

?

1 2

; (3)

x x

3 2 1 2

?x ?x

?

3 2

(3)原式 ?
1 (x 2

1 ( x 2 )3 1 x2

? (x ?

?

1 2 )3

1 ? 2

.

1 ? x 2

?

?

1 ? x 2 )( x ? 1 x2

x

?1

? 1)

?x

?

1 2

? x ? x ?1 ? 1 ? 4

思考:请计算以下式子 :
? 1 3 2 3

7 0 0.25 4 2 6 3 ( 1)1.5 ? (? ) ? 8 ? 2 ? ( 2 ? 3 ) ? ( ) 6 3
?1 3 1 3 4 1 4 1 3 1 2 6


2 1 3 2

解: (1) 原式 ? ( 3) ? (2 ) ? 2 ? (2 ? 3 ) ? [(2) ] 2 3 1 1 3 1 2 3 ? ( 2 ) 3 ? 24 ? 24 ? 2 ? 3 ? ( 2 ) 3 3 3

? 2 ? 4 ? 27 ? 110 .

作业
1、习题2.1A组1—4题; 2、《启迪有方》2.1.1。


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