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第17届希望杯全国数学邀请赛(高二)第一试


第 17 届“希望杯"全国数学邀请赛(高二)
第一试
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.否定结论“至少有两个解”的正确说法是( ). (A)至少有三个解 (B)至多有一个解 (C)至多有两个解 2.点 P(ln( 2 ? 2
x ?x

(D)只有一个解 ).

? tan
<

br />?
6

), cos 2)( x ? R) 位于坐标平面的(

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3.已知 y=f(x)是定义在 R 上的函数.条件甲:y=f(x)没有反函数;条件乙:y=f(x)不 是单调函数.则条件甲是条件乙的( ). (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 4.已知 sin ? ? cos ? ?
( A) ? arccos (C ) ? arcsin 21 ? 1 9 17 ? 1 6

1 ? ? ,? ? (? , ). 则θ 的值等于( 3 2 2
( B) ? arccos ( D) ? arcsin 21 ? 1 9 17 ? 1 6

).

5.Suppose that a∈R,line(1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0,always passes througha fixed 2 point P,and point Q is on the curve x -xy+1=0,Then the range of slope of a line passing through P and Q is( ). (A)[一 2,+∞) (B)[一 3,+∞) (C)(1,+∞) (D)(3,+∞) 注:fixed point——固定点 range——范围 slope——斜率 to pass through——通过 6.函数 y ? 5 ? 4 x ? x ? 1og 1 (cos2 x ? sin x ? 1) 的定义域是( ).
2 2

1 ( A)( 0, ) 2
(C )( 0, ) 6

( B)[ ?5,?

7? ? ) ? (0, ). 6 6

?

( D)( ?

7? ? ,?? ) ? (0, ) 6 6

7.关于方程

x2 y2 k? , k ? Z ) ,以下结论中,不正确 ? cos ? ? tan ? (α 是常数且 ? ? ? sin? 2
(B)可以表示椭圆 (D)可以表示直线

的是( ). (A)可以表示双曲线 (C)可以表示圆

8.已知 F1、F2 为椭圆的焦点,P 为椭圆上一点,∠FlPF2=90 ,且 PF2 <PF 1 ,设椭圆
0

的离心率为
(A)1:5

6 ,则∠PFlF2:∠PF2F1=( 3
(B)1:3

). (C)1:2 (D)1:1 ).

9.关于 x 的方程 | e|ln x| ? 2 |? t (0 ? t ? 1) ,其中 t 是常数.则方程根的个数是(

(A)2 (B)3 (C)4 (D)不能确定的 2 2 2 10.若双曲线 x -y =a (a>O)关于直线 y=x-2 对称的曲线与直线 2x+3y-6=0 相切,则 a 的值为( ).
( A) 4 5 5 ( B) 8 5 5

(C )

12 5 5

( D)

16 5 5

二、A 组填空题(每小题 4 分,共 40 分) 11.直线 3x+2y=1 上的点 P 到点 A(2, 1)、 B(1, -2)的距离相等. 则点 P 的坐标是
0

.

12.已知向量 a、b 满足 a =2, b =1.且夹角为 60 .则使向量 a +λ b 与λ a -2 b 的夹角 为钝角的实数 ? 的取值范围是 .

13.已知不等式 ax ? 3 ≤b 的解集是 [ ? , ] .则 a+b= 14.不等式 (2 ? 3) x ? (2 ? 3) x ? 8 的解集是

1 7 2 2

.

.
.

15.方程 (arccos x) 2 ? (2 ? t ) arccos x ? 4 =0 有实数解.则 t 的取值范围是
0

16.△ABC 的三个内角为∠A、∠B、∠C,且 2∠C-∠B=180 ,又△ABC 的周长与最长边的 比值为 m.那么,m 的最大值为 . 17.双曲线 x(y+1)=1 的准线方程是 . 18.不等式 x ? 2 2xy ? a( x ? y) 一切正数 x、 y 恒成立.则实数 a 的最小值为

.

19.如图,一只小船以 l0m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高 20m 的桥上, 一辆汽车由西向东以 20m/s 的速度前进,现在小船在水面点 P 以南的 40 m 处, 汽车在桥上点 Q 以西 30m 处(其中 PQ⊥水面). 则小船与汽车间的最短距 m(不考虑汽车与小船本身 的大小).

20.已知正方体 ABCD-A1BlClD1 的棱长为 l,在正方体表面上与点 A 距离为

2 3 3
.

的点的集合形成一曲线(此曲线不一定在同一平面上).则此曲线的长度为

三、B 组填空题(每小题两个空,每空 4 分,共 40 分) 21.Let Sn be the sum of the first n terms of an arithmetic sequence.Assume that

S3=9,S20>0,and S2l<0.Then the range of the common difference d is the maximum term of thesequence Sl,S2,S3,??is . ‘ 注:term—项 arithmetic sequence——等差数列 common difference——公差 maximumternn——最大(值)项. 22 若 x、y∈R,且满足 x ? 2 ?



y ? 5 =6,则 x+2y 的最小值是

,最大值



.
23.经过点 E (?

p ,0) 的直线 l,交抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于 A、B 两点,直线 l 的 2
(用 个

倾斜角为α . 则α 的取值范围是 ; F 为抛物线的焦点, △ABF 的面积为 p、α 表示). 24.球面上有 10 个圆, 这 l0 个圆可将球面至少分成 个区域, 至多可分成 区域. 25.点 P(x,y)的坐标满足关系式

且 x、y 均为整数.则 x+y 的最小值为

,此时,点 P 的坐标是

.


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