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《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第九章 第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布


第九章 第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、选择题 1.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤-2)=( A.0.16 C.0.68 B.0.32 D.0.84 )

2.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的 概率为 c,a、b、c∈(0,1),且无

其他得分情况,已知他投 篮一次得分的数学期望为 1, 则 ab 的最大值为 1 A. 48 1 C. 12 1 B. 24 1 D. 6 ( )

3.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒 需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 C.300 B.200 D.400 ) )

4.若随机变量 X~N(1,4),P(X≤0)=m,则 P(0<X<2)=( A.1-2m 1-2m C. 2 1-m B. 2 D.1-m

5.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知某运动员罚球命中 的概率为 0.7,则他罚球 2 次(每次罚球结果互不影响)得分的均值是( A.0.7 C.1.4 B.1 D.2 )

6.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称 轴在 y 轴的左侧,其中 a,b,c∈{-3,-2, -1,0,1,2,3},在这些抛物线中,若随机变量 ξ=|a-b|的取值,则 ξ 的数学期望 E(ξ)= ( 8 A. 9 2 C. 5 二、填空题 7.某县农民的月均收入 ξ 服从正态分布,即 ξ~N(1 000,402),则此县农民月均收入在 1 000 元到 1 080 元间人数的百分比为________. 8.随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P(ξ<1)=0.841 3,则 P(-1<ξ<0)=________ . 3 B. 5 1 D. 3 )

9.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕 2 业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否让 3 1 其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= ,则随机变量 12 X 的数学期望 E(X)=________. 三、解答题 10.中华人民共和国《道路交通安全法》中 将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个 档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q(简称血 酒含量, 单位是毫克/100 毫升), 20≤Q≤80 时, 当 为酒后驾车; Q>80 时, 当 为醉酒驾车. 济 南市公安局交通管 理部门于 2011 年 2 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦查 行动, 共依法查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者, 如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得 结果画出的频率分布直方图(其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之内).

(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数; (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研 究,再从抽取的 8 人中任取 3 人,求 3 人中含有醉酒驾车人数 X 的分布列和数学期望.

2 11.甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关.甲能攻克的概率为 ,乙能攻克 3 3 4 的概率为 ,丙能攻克的概率为 . 4 5 (1)求这一技术难题被攻克的概率; (2)现假定这一技术难题已被攻克,上级决定奖励 a 万元.奖励规则如下:若只有 1 人 a 攻克,则此人获得全部奖金 a 万元;若只有 2 人攻克,则奖金奖给此二人,每人各得 万元; 2 a 若三人均攻克,则奖金奖给此三人,每人各得 万元.设甲得到的奖金数为 X,求 X 的分布 3

列和数学期望.

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12.某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的 房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望.

详解答案
一、选择题 1.解析:∵ξ~N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.84, ∴P(ξ≤-2)=P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=0.16. 答案:A 2. 解析: 依题意得 3a+2b+0×c=1, ∵a>0, , b>0 ∴3a+2b≥2 6ab, 2 6ab ≤1, 即 1 ∴ab≤ . 24 答案:B 3.解析:记“不发芽的种子数为 ξ”,则 ξ~B(1 000,0.1), 所以 E(ξ)=1 000×0.1=100,而 X=2ξ, 故 E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200. 答案:B
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4.解析:据题意知正态曲线关于直线 x=1 对称, 1 1 故 P(0<X<1)= -P(X≤0)= -m, 2 2 1 因此 P(0<X<2)=2P(0<X<1)=2( -m)=1-2m. 2 答案:A

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5.解析:设 X 表示此运动员罚球 2 次的得分,则 X 的所有可能取值为 0,1,2.其分布列

为 X P 0 0.3×0.3 1 2×0.7×0.3 2 0.7×0.7

∴E(X)=0×0.09+1×0.42+2×0.49=1.4. 答案:C 6.解析:对称轴在 y 轴的左侧(a 与 b 同号)的抛物线有 2C1C1C1=126 条,ξ 的可 能取 3 3 7 值有 0、1、2. 6×7 1 P(ξ=0)= = , 126 3 8×7 4 P(ξ=1)= = , 126 9 4×7 2 8 P(ξ=2)= = ,E(ξ)= . 126 9 9 答案:A 二、填空题 1 7.解析:P(1 000<ξ≤1 080)= P(920<ξ≤1 080) 2 1 = P(1 000-80<ξ≤1 000+80) 2 1 = ×0.954 4=0.477. 2 答案:47.72% 8.解析:依题意得 P(-1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=P(ξ<1)-P(ξ<0)=0.841 3-0.5=0.341 3. 答案:0.3413 1 1 9.解析:∵P(X=0)= =(1-p)2× , 12 3 1 ∴p= ,随机变量 X 的可能值 为 0,1,2,3, 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 5 因此 P(X=0)= ,P(X=1)= ×( )2+ ×( )2= ,P(X=2)= ×( )2×2+ ×( )2= , 12 3 2 3 2 3 3 2 3 2 12 2 1 1 P(X=3)= ×( )2= , 3 2 6 1 5 1 5 因此 E(X)=1× +2× +3× = . 3 12 6 3 5 答案: 3 三、解答题 10.解:(1)由已知得,(0.003 2+0.004 3+0.005 0)×20=0.25,0.25×60=15,所以此次

拦查中醉酒驾车的人数为 15 人. (2)易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人, 所以 X 的所有可能取值为 0,1,2. C3 5 C2C1 15 6 6 2 P(X=0)= 3= ,P(X=1)= 3 = , C8 14 C8 28 C1C2 3 6 2 P(X=2)= 3 = , C8 28 X 的分布列为 X P 0 5 14 1 15 28 2 3 28

5 15 3 3 E(X)=0× +1× +2× = . 14 28 28 4 2 3 4 1 1 1 59 11.解:(1)这一技术难题被攻克的概率 P=1-(1- )(1- )(1- )=1- × × = . 3 4 5 3 4 5 60 a a (2)X 的可能取值分别为 0, , ,a. 3 2 1 1 1 ×?1- × ? 3 4 5 19 P(X=0)= = , 59 59 60 2 3 4 × × a 3 4 5 24 P(X= )= = , 3 59 59 60 2 3 1 1 4 ×? × + × ? a 3 4 5 4 5 14 P(X= )= = , 2 59 59 60 2 1 1 × × 3 4 5 2 P(X=a)= = . 59 59 60 ∴X 的分布列为 X P 0 19 59 a 3 24 59 a 2 14 59 a 2 59

19 a 24 a 14 2 17 E(X)=0× + × + × +a× = a. 59 3 59 2 59 59 59 12.解:(1)法一:所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式

C2·2 8 42 有 C2·2 种,从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 4 = . 42 3 27 法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 1 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P(A)= . 3 从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的 概率计算公式知,恰有 2 人申请 A 片区 8 2 1 2 房源的概率为 P4(2)=C4( )2( )2= . 3 3 27 (2)ξ 的所有可能值为 1,2,3. 3 1 P(ξ=1)= 4= , 3 27 C2?C1C3+C2C2? 14 C2?24-2? 14 3 2 4 4 2 3 P(ξ=2)= = (或 P(ξ=2)= = ), 4 3 27 34 27
1 C1C2C2 4 C2A3 4 3 4 4 3 P(ξ=3)= = (或 P(ξ=3)= 4 = ). 4 3 9 3 9

综上知,ξ 有分布列 ξ P 1 1 27
[来源:学§

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[来源:学科网

3 4 9

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14 27

科§网 Z§X§X§K]

1 14 4 65 从而有:E(ξ)=1× +2× +3× = . 27 27 9 27


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